湖北省武汉市江汉区励志中学2022-2023学年+九年级上学期数学第三次月考测试题+

这是一份湖北省武汉市江汉区励志中学2022-2023学年+九年级上学期数学第三次月考测试题+，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30分）
1．将方程x2﹣5＝3x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣3，﹣5B．3，﹣5C．3，5D．﹣3，5
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，必然事件是（ ）
A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王
C．通常情况下，水加热到100℃时沸腾D．三角形内角和为360°
4．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，C是劣弧BD的中点，延长DA到E点．若∠COD＝70°，则∠BAE的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
7．AB为⊙O的直径，AB＝9cm，圆所在的平面内有一点P，记∠APB＝α，下列说法正确的是（ ）
A．当α＜90°时，点P在⊙O上B．当α＝90°时，点P在⊙O上
C．当α＞90°时，点P在⊙O上D．当α≤90°时，点P在⊙O上
8．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．用一个圆心角为120°，半径为2cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为（ ）
A．B．C．1cmD．
10．对于任意实数a，关于x的方程x2+2ax+a+b＝0均有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．0＜b＜1D．
二、填空题（共18分）
11．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 ．
12．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
13．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2020年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2022年底贫困人口减少至1万人．设2020年底至2022年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以顶点A，B为圆心，边长2为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴分别交于（x1，0），（x2，0），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①a﹣b+c＞0；②2a+b＜0；③b＞1；④点M（m，y1），N（m+1，y2）在此函数图象上，当m＞时，y1＜y2，其中正确的有 .（只填序号）
16．如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．如图，二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，求二次函数的解析式和点B的坐标．
18．已知AB是⊙O的直径，C是圆上的点，D是优弧ABC的中点．
（1）若∠AOC＝100°，则∠D的度数为 ，∠A的度数为 ；
（2）求证：∠ADC＝2∠DAB．
19．武汉的早点种类丰富，品种繁多，某早餐店供应甲类食品有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）；乙类食品有：“米粑粑”、“烧梅”、“欢喜坨”、“发糕”（分别记为E、F、G、H），共八种美食．小童和小郑同时去品尝美食，小童准备在“热干面”、“面窝”、“米粑粑”、“烧梅”（即A、B、E、F）这四种美食中选择一种，小郑准备在“生煎包”、“锅贴饺”、“欢喜坨”、“发糕”（即C、D、G、H）这四种美食中选择一种，用列举法求小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率．
20．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，BC为其中一个小长方形的边，仅用无刻度直尺完成下列作图：
（1）在图①中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB在这个角的一边上；
（2）在图②中画出边BC的中点D；
（3）在图③中画出线段AB的垂直平分线．
21．如图，AP切⊙O于点A，AB为⊙O的弦，BP⊥AP于点P，PC⊥OB于点C，PC与AB交于点D．
（1）求证：BA平分∠PBO；
（2）若PB＝5，BC＝3，求⊙O的半径．
22．某商家购进一批产品，成本为每件10元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售每件售价为12元时可以销售1200件，每涨价1元则少售出100件．设线下售价为每件x元（12≤x＜24且x为整数），月销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若线上销售每件售价始终比线下便宜2元，且线上的月销售量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和线下月总利润总最大？并求出此时的最大利润；
（3）在（2）的条件下，若月总利润不低于6900元，则x的取值范围为 ．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD的中点，以AE为边，A为直角顶点在AD的右侧构造等腰直角三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图①，EF交AC于点M，连接MN，求线段MN的长；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连DM，DN，当0°≤α≤135°，猜想∠MDN的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）在（2）问的旋转过程中，直接写出点N运动的路径长．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为第一象限抛物线上一点，满足∠BCP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为第四象限抛物线上的一动点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线BN∥AQ，交y轴于点N．当点Q运动时，线段MN的长度是否会改变？若不变，求出其值，若变化，求出变化的范围．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：∵x2﹣5＝3x，
∴x2﹣3x﹣5＝0，
∴一次项系数和常数项分别是﹣3和﹣5，
故选：A．
2．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：A、任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，故B不符合题意；
C、通常情况下，水加热到100℃时沸腾，是必然事件，故C符合题意；
D、三角形内角和为360°，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．解：∵y＝﹣（x+1）2﹣1为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故选：A．
5．解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝55°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝55°﹣15°＝40°．
故选：D．
6．解：∵C是劣弧BD的中点，
∴＝，
∵∠COD＝70°，
∴∠DOC＝∠BOC＝70°，
∴∠BAD＝70°，
∴∠BAE＝110°．
故选：B．
7．解：当α＜90°时，点P在⊙O内；
当α＝90°时，点P在⊙O上；
当α＞90°时，点P在⊙O外．
所以B选项正确．
故选：B．
8．解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，
∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是＝．
故选：B．
9．解：设圆锥底面的半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝．
故选：B．
10．解：Δ＝（2a）2﹣4（a+b）＝4a2﹣4a﹣4b＝4a2﹣4a+1﹣4b﹣1＝（2a﹣1）2﹣4b﹣1，
∵方程x2+2ax+a+b＝0均有实数根，
∴Δ≥0，
∵（2a﹣1）2≥0，
∴﹣4b﹣1≥0，
∴b≤，
故选：A．
二、填空题（共18分）
11．解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．
故答案为：．
12．解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．
13．解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故答案是：9（1﹣x）2＝1．
14．解：如图所示，设与交于F，过点F作FE⊥AB于点E，
∵正方形ABCD的边长为2，
∵AF＝BF＝AB＝2，FE⊥AD，
∴AE＝AD＝AF＝1，∠AFB＝∠FAB＝60°，
∴∠AFE＝30°，
在RtAEF中，
∴EF＝＝＝．
∴S弓形AF＝S扇形BAF﹣S△ABF＝﹣×2×＝π﹣，
∴S阴影＝S阴影＝2S弓形AF+S△ABF＝2×（π﹣）+×2×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
15．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴分别交于（x1，0），（x2，0），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴抛物线开口向下，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故①错误；
∵对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴满足0＜﹣＜1，点M（m，y1），N（m+1，y2）在此函数图象上，
∴当m＞时，点M（m，y1）到对称轴的距离小于点N（m+1，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故④错误；
综上所述，正确的结论有：②③，
故答案为：②③．
16．解：如图，连接OI，IB，作△OIB的外接圆，圆心为P，连接PO，PB，IC，ON，BN，
∵点I为△OCD的内心，
∴∠IOC＝∠IOB，
在△IOC和△IOB中，
，
∴△IOC≌△IOB（SAS），
∴∠OIC＝∠OIB，
∵CD⊥x，
∴∠ODC＝90°，
∴∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠COD+∠OCD＝45°，
∴∠IOC+∠ICO＝45°，
∴∠OIC＝135°，
∴∠OIC＝∠OIB＝135°，
∴∠ONB＝45°，
∴∠OPB＝90°，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴OP＝BP＝OB＝2，
∴P（2，﹣2），
当A，I，P三点共线时，AI取得最小值，
此时AI＝AP﹣PI
＝﹣2
＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（共72分）
17．解：将（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3得0＝a﹣2+3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点B坐标为（3，0）．
18．（1）解：连接OD．
∵＝，
∴AD＝CD，
∵OD＝OD，OA＝OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∵∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠A＝∠ADO＝∠ADC＝25°，
故答案为50°，25°．
（2）证明：∵△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∴∠ADC＝2∠DAB．
19．解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的情况数，其中小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的结果共有4种，
则小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率是＝．
20．解：（1）如图①，∠AEB为所作；
（2）如图②，点D为所作；
（3）如图③，PQ为所作．
21．（1）证明：连接OA，如图，
∵AP切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∵PB⊥AP，
∴OA∥PB，
∴∠OAB＝∠PBA，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAP，
∴∠OBA＝∠PBA，
∴BA平分∠PBO；
（2）过O点作OH⊥PB于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵OA⊥PA，AP⊥PB，OH⊥PB，
∴四边形OAPH为矩形，
∴PH＝OA＝r，
∴BH＝PB﹣PH＝5﹣r，
∵∠OBH＝∠PBC，∠OHB＝∠PCB，
∴△OBH∽△PBC，
∴＝，即＝，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
22．解：（1）根据题意，可得y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400（12≤x＜24且x为整数）；
（2）设线上和线下月总利润为w元，
则w＝400（x﹣2﹣10）+（x﹣10）（﹣100x+2400）＝﹣100x2+3800x﹣28800，
∵﹣100＜0，且12≤x＜24且x为整数，
∴当x＝＝19时，w取得最大值，最大利润为7300元；
（3）根据题意，得﹣100x2+3800x﹣28800≥6900，
解得17≤x≤21，
故答案为：17≤x≤21．
23．解：（1）如图①，连接BE，CF，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴BC＝AB＝4，AD＝BD＝CD＝2，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵E为线段AD的中点，
∴AE＝DE＝，
∴BE＝＝＝，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠DAC＝∠FAC＝45°，
∴EM＝MF，
∵N为CE的中点，
∴MN＝CF，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAF＝45°，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝，
∴MN＝CF＝；
（2）∠MDN的大小是定值，理由如下：
如图②，连接MN，FC，BE，设AC与BE的交点为H，BE与CF的交点为O，
∵∠BAC＝90°＝∠EAF，AB＝AC＝4，AE＝AF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
又∵∠AHB＝∠CHE，
∴∠BAC＝∠BOC＝90°，
∵M为线段EF的中点，N为CE的中点，
∴MN＝FC，MN∥CF，
∴MN⊥BE，
∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
又∵N为CE的中点，
∴DN＝BE，DN∥BE，
∴MN＝DN，DN⊥CM，
∴∠MDN＝45°；
（3）如图②，取AC的中点P，连接PN，
∵点P是AC的中点，点N是EC的中点，
∴PN＝AE＝，
∴点N在以点P为圆心，PN长为半径的圆上运动，
∴点N运动的路径长＝＝π．
24．解：（1）由图象，可知a＞0，
将x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中，得y＝﹣3a，
∴点C（0，﹣3a），
∴OC＝﹣3a，
令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∴﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，当点P在第一象限抛物线上时，∠BCP＝∠ACO，过点A作AH⊥CP于H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AC＝＝，
∵OC＝3，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠BCP＝∠ACO，
∴∠ACH＝∠OCB＝45°，
∴AH＝AC＝，
∵S△ACK＝AK•OC＝CK•AH，
∴＝，
设AK＝m，CK＝3m，OK＝m﹣1，
在Rt△COK中，OC2+OK2＝CK2，
∴32+（m﹣1）2＝（3m）2，
解得m＝或﹣（负值不合题意，舍去），
∴K（，0），
∴直线CK解析式为y＝2x﹣3，
∴P（n，2n﹣3）
∵P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴2n﹣3＝n2﹣2n﹣3，解得n＝0（不合题意，舍去）或4，
∴P（4，5）；
（3）设Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵B（3，0），
设直线BQ的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BQ的解析式为y＝（m+1）x﹣3（m+1），
∴M（0，﹣3m﹣3），
同理得：直线AQ的解析式为y＝（m﹣3）x+（m﹣3），
∵BN∥AQ，
设BN的解析式为y＝（m﹣3）x+n，
∵B（3，0），
∴0＝3（m﹣3）+n，解得n＝﹣3m+9，
∴BN的解析式为y＝（m﹣3）x﹣3m+9，
∴N（0，﹣3m+9），
∴线段MN的长度为﹣3m+9﹣（﹣3m﹣3）＝12，
∴线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12．
A
B
E
F
C
A、C
B、C
E、C
F、C
D
A、D
B、D
E、D
F、D
G
A、G
B、G
E、G
F、G
H
A、H
B、H
E、H
F、H