安徽省合肥世界外国语学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（有答案）

高中部2022-2023学年第一学期期末考试

高二数学试题

考试范围：选择性必修第一册；考试时间：120分钟；满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知两个向量，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若方程表示一个圆，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 直线被圆截得的最短的弦长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 直线：与双曲线：的左右两支各有一个交点，则的取值范围为(    )

A. 或 B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 半径为的圆与轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 下列命题中，正确的有(    )

A. ，分别是平面，的法向量，若，则
B. ，分别是平面，的法向量，若，则
C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
D. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，，则与平面所成角为

11. 若点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的有(    )

A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 两个圆心所在直线的斜率为
D. 两个圆的相交弦所在直线的方程为

12. 已知双曲线：的实轴长是，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是(    )

A. 双曲线的离心率为
B. 抛物线的准线方程是
C. 双曲线的渐近线方程为
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知空间向量，，则的最小值为          ．
14. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为          ．
15. 过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，，则直线的方程为          ．
16. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知的三个顶点分别为，，，求：
    边所在直线的方程；
    边上中线所在直线的方程；
    边的垂直平分线的方程．

18. 本小题分

已知圆过点，，圆心在直线上．

求圆的方程；

判断点与圆的关系．

19. 本小题分

在平面直角坐标系中，点到点的距离的倍与它到直线的距离的倍之和记为，当点运动时，恒等于点的横坐标与之和．

求点的轨迹；

设过点的直线与轨迹相交于，两点，求线段长度的最大值．

20. 本小题分
    如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角．用空间向量知识证明：
    
    平面；        
    平面平面．

21. 本小题分

在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面，．

求点到直线的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．

22. 本小题分

已知椭圆：的左右焦点分别为，，若过点，且．

求的方程．

过点且斜率为的直线与交于点，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线定理、方程组的解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用向量平行的充要条件，即可得出方程组，进而求得答案．

【解答】

解：，
存在实数使得，，
，解得，，．
则．
故答案选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用直线的方向向量与斜率的关系求解．
本题考查直线的方向向量与斜率的关系，是基础题．

【解答】

解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题．
运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可．

【解答】

解：由，得，则．

故选：

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆与圆的位置关系及判定，两圆相交弦的有关综合问题，属于基础题．
两圆的圆心分别为，，由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，连心线的斜率为，即可得到答案．

【解答】

解：圆，则，圆心为，
圆，则，圆心为，
由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，
连心线的斜率为，
连心线方程为，整理得，
故的垂直平分线的方程为．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线过定点及与圆的弦有关的问题，属于基础题．
由已知直线过定点，且在圆内部，则过且与圆心和的连线垂直的弦最短，利用勾股定理和两点距离公式可得结论．

【解答】

解： 因为直线变形为，

所以直线过定点，

又圆的标准方程为，

所以在圆内，

所以过且与圆心和的连线垂直的弦最短，

所以，

即．

故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义，属于基础题．
求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．

【解答】

解：由题意可知：，则．
直线过椭圆的左焦点，
的周长
，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点到直线的距离，考查根据空间向量计算相关距离，属于基础题．
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．

【解答】

解直线的一个方向向量为，
取直线一个单位方向向量为，

又为直线外一点，且直线过点，
 ，

，，

点到直线的距离为．

故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
直线：与双曲线：的渐近线平行时，，与双曲线的右支只有一个交点，结合题意，即可得出结论．

【解答】

解：直线：与双曲线：的渐近线平行时，，与双曲线的右支只有一个交点，
直线：与双曲线：的左右两支各有一个交点，
的取值范围为，
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程，考查分析理解能力，属于基础题．
由题意知，半径为的圆与轴相切，设所求圆的圆心坐标为，即可得到答案．

【解答】
解：由题意知，半径为的圆与轴相切，且与圆内切，
设所求圆的圆心坐标为，则，
因为两圆内切，所以圆心距为，
即，可以解得，
故所求圆的方程为，
故选CD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用向量法来解决面面平行，面面垂直、线面平行等问题，考查线面角，属于基础题．
解题的关键是掌握平面法向量的应用，根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得答案．
【解答】
解：、因为，分别是两个不同平面，的法向量，所以    ，正确，
B、分别是平面的法向量，若，则，所以，正确；
C、是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则方向向量与法向量垂直，直线平面或直线平面，错误．
D、是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为，错误．  

11.【答案】 

【解析】【解析】根据题意，圆，其圆心，半径．

圆，即，其圆心，半径．

圆心距，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确．

对于，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率，C正确．

对于，两圆的圆心距，因为，所以两圆外离，不存在相交弦，D错误故选BC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线与抛物线的几何性质，属于中档题．
根据双曲线和抛物线的几何性质逐项求解即可．

【解答】

解：双曲线的实轴长为，抛物线的方程为，
，抛物线的焦点坐标为，，，
即双曲线的方程为．
，双曲线的离心率，错误；
，由抛物线的方程可知，准线方程是，正确；
，双曲线的渐近线方程为，正确；
，双曲线的方程为，与抛物线联立方程组消去得，解得舍，
则，所以，错误．
故选BC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量的坐标运算、空间向量模的求解和二次函数的基本性质，属于基础题．
先利用向量的坐标运算及向量模的公式求得，进而利用二次函数的性质求得其最小值．

【解答】

解：，，
，
即
，
当时，取最小值，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的条件，斜率公式．
分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求出的值．

【解答】

解：直线经过点和点，
，
直线经过点和点，
，
与无公共点，则，
，
解得经检验满足题意．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，由直线与圆的位置关系求出和的值，分析可得、在以为圆心，为半径为圆上，求出该圆的方程，进而分析可得直线的是圆与圆的公共弦，联立两个圆的方程，即可得公共弦的方程，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于中档题．

【解答】

解：根据题意，圆的圆心为，半径，
设该圆的圆心为，
又由，，
则，
则、在以为圆心，为半径为圆上，
该圆的方程为，
则直线的是圆与圆的公共弦，
则有，
两式相减可得：；
即直线的方程为；
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的相交问题，属于拔高题．
根据抛物线的定义，求出点的坐标，设出直线方程，联立抛物线方程，消去得到关于的二次方程，运用韦达定理求出，从而求出的坐标，即可求出的面积．

【解答】

解：抛物线的准线方程为，
设，，不妨设在第一象限，
如图，过作准线，垂足为，

由抛物线的定义可知：，
，
，，
易知直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，
由消去，
得，
，，
，
的面积为
．
故答案为．

17.【答案】解：因为直线经过和两点，

由两点式得的方程为，即 
设中点的坐标为，
则，，
边的中线过点，两点，

由截距式得所在直线方程为，即 
的斜率，则的垂直平分线的斜率，

由斜截式得直线的方程为，即．

【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂直的性质，考查直线的斜率的求解，属于中档题．

由和的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可；

根据中点坐标公式求出与的中点的坐标，利用和的坐标由直线的截距式写出中线方程即可；

求出直线的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为，求出垂直平分线的斜率，由中的坐标，写出直线的方程即可．

18.【答案】解：圆心在直线上，设圆心，半径为，
则圆的标准方程为，
而圆过点，，
所以有，
解方程组可得，从而可求出圆的方程为．
，
在圆内部． 

【解析】此题考查圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
由题意设出圆心和半径，把、的坐标代入，可得圆心和半径，从而得到圆的方程；
根据点到圆心的距离小于半径，可得在圆内部．
 

19.【答案】解：设点的坐标为，
由题设则，
当时，由得，
化简得；
当时，由得，
化简得；
故点的轨迹是椭圆在直线的右侧部分与抛物线：在直线的左侧部分包括它与直线的交点所组成的曲线，参见图．

图
如图所示，
易知直线与，的交点都是，，
直线，的斜率分别为，，                      图
当点在上时，由知，
当点在上时，由知，
若直线的斜率存在，则直线的方程为，
(ⅰ)当，或，即或时，
直线与轨迹的两个交点，都在上，
此时由知，
从而，
由得，
则，是这个方程的两根，
所以，，
因为当，或时，，
，
当且仅当时，等号成立．
(ⅱ)当时，
直线与轨迹的两个交点，分别在，上，
不妨设点在上，点在上，
则知，，
设直线与椭圆的另一交点为，
则，且，
，
所以，
而点，都在上，且，
由(ⅰ)知，
若直线的斜率不存在，则，
此时，
综上所述，线段长度的最大值为． 

【解析】本题主要考查了动点的轨迹方程，椭圆及抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，数形结合及分类讨论思想，属于难题．
由题意，要求动点的轨迹方程，根据动点所满足的约束条件利用直接法求其轨迹即可；
由题意及解析式画出图形，利用直线与曲线的轨迹方程联立，通过图形讨论直线与轨迹的交点，利用两点间的距离公式求解即可．
 

20.【答案】证明：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

平面，

为与平面所成的角，

．

，，，

，，，，，

，，

方法一令为平面的法向量，
则，即
，令，得．

，
．

又平面，
 平面．

方法二，．

令，

则解方程组得

．

由共面向量定理知与，共面，

又平面，

 平面．

取的中点，连接，

则，．

，．

又，

，
，
又，，平面，

平面，
又平面，

平面平面．

【解析】本题主要考查了向量法证明线面平行、面面垂直，涉及平面的法向量、平面向量基本定理、线面垂直的判定、面面垂直的判定，属于中档题．
建立空间直角坐标系，结合条件写出相关点的坐标、求出相关向量的坐标，
方法：求得平面的法向量利用向量法证明；
方法：引入参数结合平面向量基本定理设，求出，值标明向量共面来证明；
利用向量法证明线线垂直，再判断线面垂直，最后判定面面垂直．
 

21.【答案】解：由平面，、平面，
所以，，又，
建立以点为原点的空间直角坐标系，如图所示，  

则，，，，，
，，
则，，
所以点到直线的距离为：
；
由知，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
故，
由图知，平面与平面夹角为锐角，故余弦值为 ． 

【解析】本题考查利用空间向量求解空间距离，考查空间角，是中档题．
依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，得到，由到直线的距离的公式，即可求出；
分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
 

22.【答案】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以，
所以直线方程为，
代入得，．
，
设，，则，，不妨设在第一象限，
解得，，则，，
所以，
点到直线的距离为，
所以的面积为． 

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
由题意求出，，即可得到椭圆方程；
求出，再利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可．