【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——第三课《规律探索问题精讲》期末复习精讲精练（练习）

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第三课 规律探索问题精讲

1.仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
…
则22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是（   ）
A. 1                  B. 3                C. 5                     D. 7
【答案】 A
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式 =(2-1)(22020+22019+22018+⋯+2+1)=22021-1 ，
∵ 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32⋯ ，
∵ 2n 的个位数字是2，4，8，6，2……，每四个数一循环，所以 2021÷4=505⋯1 ，
∴ 22021 的个位数字为2，
∴ 22021-1 的个位数字为1，
∴ 22020+22019+22018+⋯+2+1 的个位数字为1，
故答案为：A.
【分析】先按照题中的规律对原式进行变形，得 (2-1)(22020+22019+22018+⋯+2+1)=22021-1, 再根据2n的个位数的规律得出结论即可.

2.探索规律：观察下面的一列单项式：﹣x、2x2、﹣4x3、8x4、﹣16x5、…，根据其中的规律得出的第10个单项式是（　　）
A. -512x10               B. 512x10          C. 1024x10             D. ﹣1024x10
【答案】 B
【考点】单项式，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据分析的规律，得

第10个单项式是29x10=512x10 ．
故选B．
【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1 ． 指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
3.“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9═25＝52
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+7+……+101＝（　　）

A. 2601                B. 2501                 C. 2400                    D. 2419
【答案】 A
【考点】探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】【解答】解：观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9═25＝52
发现规律：1+3+5+…+（2n+1）＝（n+1）2
∵2n+1＝101，
解得n＝50，
∴1+3+7+……+101＝（50+1）2＝2601．
故答案为：A．
【分析】观察图形和算式可得规律1+3+5+…+（2n+1）＝（n+1）2 ， 得2n+1＝101，解得n＝50，进而可得结果．
4.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为（    ）（用含n的代数式表示）

A. 2+3n                  B. 2n+3                C. 3n-2                      D. 2n-3
【答案】 A
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：

观察每个图案发现纵向数白色瓷砖每列有3个，
第1个图案有1列，
第2个图案有2列，
第3个图案有3列，
...
以此类推，第n个图案有n列，因此纵向数n列共有3n块白色瓷砖，
由于最左边和最右边各有一块白色瓷砖，
所以共有白色瓷砖数（2+3n）．
故答案为：A．
【分析】先找出规律求出第n个图案有n列，因此纵向数n列共有3n块白色瓷砖，再计算求解即可。
5.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（   ）

A. 139               B. 94                C. 59                    D. 16
【答案】 B
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意，第1个“三角形数”为：1
第2个“三角形数”为： 3=1+2
第3个“三角形数”为： 6=1+2+3
第4个“三角形数”为： 10=1+2+3+4
…
∴第m个“三角形数”为： 1+2+...+m=m(m+1)2
∴第9个“三角形数”为： 9(9+1)2=45<50 ；第10个“三角形数”为： 10(10+1)2=55>50
∴最大的“三角形数”m为：45；
第1个“正方形数”为：1
第2个“正方形数”为： 4=2×2
第3个“正方形数”为： 9=3×3
第4个“正方形数”为： 16=4×4
…
∴第n个“正方形数”为： n2
∴第7个“正方形数”为： 72=49<50 ；第8个“正方形数”为： 82=64>50 ；
∴最大的“正方形数”n为：49；
∴ m+n=45+49=94
故答案为：B.
【分析】易得第1个“三角形数”为1；第2个“三角形数”为3=1+2；第3个“三角形数”为6=1+2+3；第4个“三角形数”为10=1+2+3+4，据此得第m个“三角形数”为1+2+……+m=m(m+1)2；第1个“正方形数”为1；第2个“正方形数”为4=2×2；第3个“正方形数”为9=3×3；第4个“正方形数”为16=4×4，可推出第n个“正方形数”为n2 ， 结合题意可得m、n的值，进而求出m+n的值.
6.观察下列图形，第一个图形中有2个圆点，第二个图形中有6个圆点，第三个图形中有11个圆点，第四个图形中有17个圆点， … 以此规律，第八个图形圆点的个数为（   ）

A. 32                  B. 41               C. 51                      D. 62
【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形发现：
第一个图形有2个黑点；
第二个图形有 2+4=6 个黑点；
第三个图形有个 2+4+5=11 个黑点；
第四个图形有 2+4+5+6=17 个黑点；
…
当n＝8时，有 2+4+5+6+7+8+9+10=51 个黑点，
故答案为：C.
【分析】根据图形可得：第一个图形、第二个图形、第三个图形、第四个图形中黑点的个数，进而推出第八个图形中黑点的个数.

7.下列图形都是由同样大小的“ ○ ”按一定的规律组成的，其中第1个图形中一共有5个“ ○ ”，第2个图形中一共有12个“ ○ ”，第3个图形中一共有21个“ ○ ”， ⋯⋯ ，则第7个图形中“ ○ ”的个数是（   ）

A. 60                           B. 66                    C. 77                      D. 96
【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形中一共有5个，即1×（4+1）；
第2个图形中一共有12个，即2×（4+2）；
第3个图形中一共有21个，即3×（4+3）；
第n个图形中“○”的个数为n（4+n）；
当n=7时， 7×（4+7）=77，
故答案为：C.
【分析】根据图形可得第1个图形、第2个图形、第3个图形中“○”的个数，推出第n个图形中“○”的个数，据此解答.
8.下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定 22021 的个位数字是(   )
A. 2                  B. 4                    C. 6                 D. 8
【答案】 A
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，
四个一循环：2，4，8，6
2021÷4=55⋯1
∴ 22021 的个位数字是是2.
故答案为：A.
【分析】观察算式的规律，可知四个一循环：2，4，8，6，用2021除以4，根据余数可得答案.
9.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， x 的值为（    ）

A. 135                  B. 153                  C. 169                    D. 170
【答案】 D
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第一个正方形左上角数字为：1
第二个正方形左上角数字为：2
第三个正方形左上角数字为：3
…
第n个正方形左上角数字为：n；
第一个正方形右上角数字为： 4=4+2×(1-1)
第二个正方形右上角数字为： 6=4+2×(2-1)
第三个正方形右上角数字为： 8=4+2×(3-1)
…
第n个正方形右上角数字为： 4+2(n-1)
∵题干中最后一个正方形右上角为：18
∴ 4+2(n-1)=18
∴ n=8
∴题干中最后一个正方形为第八个正方形；
第一个正方形左下角数字为： 2=1+1
第二个正方形左下角数字为： 3=2+1
第三个正方形左下角数字为： 4=3+1
…
第n个正方形左下角数字为： n+1
第八个正方形左下角数字为：9；
第一个正方形右下角数字为： 9=2×4+1
第二个正方形右下角数字为： 20=3×6+2
第三个正方形右下角数字为： 35=4×8+3
…
第n个正方形右下角数字为： (n+1)[4+2(n-1)]+n
∵ n=8
∴第8个正方形右下角数字为： (8+1)[4+2(8-1)]+8=9×18+8=170
故答案为：D．
【分析】根据规律可得2b=18，所以b=9，a=b-1=8，即可得出x的值。
10.如图，图①用了1块墙砖铺成；图②用了3块墙砖铺成；图③用了6块墙砖铺成：……，按图中所示规律，图⑥所需墙砖数为（   ）

A. 11                    B. 15                    C. 21                      D. 28
【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：在图①中，由1块墙砖铺成；
在图②中，由1+2=3块墙砖铺成；
在图③中，由1+2+3=6块墙砖铺成；
⋯ ，
∴图⑥所需墙砖数为：1+2+3+4+5+6=7 × 3=21，
故答案为：C.
【分析】观察前3个图形中墙砖的排列规律：在图①中，由1块墙砖铺成；在图②中，墙砖的数量为1+2；在图③中，墙砖的数量为1+2+3，由此规律可求出图⑥所需墙砖数.
11.如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑦个图形中共有（   ）个正方形.

A. 21                  B. 25                C. 29                     D. 32
【答案】 B
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图形中有1个正方形；
第②个图形中共有4+1＝5个正方形；
第③个图形中共有4×2+1＝9个正方形；
…
∴第⑦个图形中的正方形的个数为4×6+1=25（个）；
故答案为：B.
【分析】由图形可得：第①个图形中有1个正方形；第②个图形中共有4+1＝5个正方形；第③个图形中共有4×2+1＝9个正方形……据此可推出第⑦个图形中的正方形的个数.

12.观察下列图形的规律，依照此规律第9个图形中共有（    ）个点．

A. 135                   B. 140                C. 145                   D. 150
【答案】 A
【考点】探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点，
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点，
…
则第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）= 3n(n+1)2 个点，
当n=9时， 3×9×102 =135个点，
故答案为：A ．
【分析】观察图形，找到图形变化的规律，再按照规律求解即可。
13.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数，且两端的数均为 1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第9行第3个数(从左往右数)为(    )

A. 160                    B. 1168                       C. 1252                       D. 1280
【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），
由题意知a（6，1）＝ 16 ，a（7，1）＝ 17 ，a（8，1）＝ 18 ，a（9，1）＝ 19
∴a（7，2）＝a（6，1）−a（7，1）＝ 142 ，a（8，2）＝a（7，1）−a（8，1）＝ 156 ，a（9，2）＝a（8，1）−a（9，1）＝ 172 ，
a（8，3）＝a（7，2）−a（8，2）＝ 1168 ，a（9，3）＝a（8，2）−a（9，2）＝ 1252
故答案为：C.
【分析】根据图形中数字的变化规律， 第 n行有 n 个数，且两端的数均为 1n  ， 每个数是它下一行左右相邻两数的和， 根据此规律分别写出第7、8、9行从左往右的第一个数，第8、9行从左往右的第二个数，第9行的第三个数即可.
14.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个正三角形，第（2）个图案有7个正三角形，第（3）个图案有10个正三角形，…依此规律.第 n 个图案有22个三角形，则 n= （   ）

A. 6                        B. 7                            C. 8                          D. 9
【答案】 B
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第（1）个图案有4+（1-1）×3个正三角形，
第（2）个图案有4+（2-1）×3个正三角形，
第（3）个图案有4+（3-1）×3个正三角形，
…
第n个图案有4+（n-1）×3=3n+1个正三角形，
∴3n+1=22
解之：n=7.
故答案为：B.
【分析】观察图案的排列规律，可求出前三个图案中三角形的个数，根据其规律可得到第n个图案有3n+1个正三角形，由此建立关于n的方程，解方程求出n的值.

15.按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是(    )

A. 52根                B. 66根               C. 70根                    D. 72根
． 【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：1个正方形需要火柴棒的数量为2×1+2×1；一层
3个正方形需要火柴棒的数量为2×2+2（1+2）=10；两层
6个正方形需要火柴棒的数量为2×3+2（1+2+3）=18；三层
10个正方形需要火柴棒的数量为2×4+2（1+2+3+4）=28；四层
搭建n层2n+2（1+2+3+…+n）=2n+2×n1+n2=n2+3n
当n=7时原式=72+3×7=70.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知搭建一层需火柴棒的数量：2×1+2×1；搭建两层需火柴棒的数量：2×2+2（1+2）；搭建三层需火柴棒的数量：2×3+2（1+2+3）…由此规律可得到搭建n层需火柴棒的数量为n2+3n，据此可得答案.
 


16.杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示 (a+b)n （此处 n 为自然数）的展开式中各项的系数．
(a+b)1=1a+1b
(a+b)2=1a2+2ab+1b2
(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
…
那么 (a+b)6 展开式中第四项的系数为（   ）

A. 8                    B. 10                  C. 18                        D. 20
【答案】 D
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 ，
故第四项的系数为：20
故答案为：D

【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1，根据上面观察的规律即可解答问题。

17.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（   ）

A. 2025                 B. 2023                 C. 2021                    D. 2019
【答案】 B
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故答案为：B.
【分析】观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，据此求出n=32时的数据，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，从而求出结论.


18.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第一幅图中有1个菱形，第二幅图中有3个菱形，第三幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2021个菱形，则n为（　　）

A. 1000                   B. 1010                    C. 1011                   D. 2020
【答案】 C
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.第4幅图中有2×4﹣1＝7个.….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当图中有2021个菱形时，2n﹣1＝2021，所以：n＝1011，
故答案为：C.
【分析】第1幅图中有2×1-1=1个；第2幅图中有2×2-1＝3个；第3幅图中有2×3-1＝5个.….可推出第n幅图中共有（2n-1）个，然后令2n-1＝2021，求出n的值即可.