一元二次方程经典必做好题2附详细解析教师版

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一元二次方程经典必做好题2附详细解析
一、单选题
1.若直角三角形的两边长分别是方程 x2−7x+12=0 的两根，则该直角三角形的面积是（   ）
A. 6                                  B. 12                                  C. 12或 372                                  D. 6或 372
【答案】 D
【解析】【解答】解方程 x2−7x+12=0 得 x1=3 ， x2=4
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 12×3×4=6 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 42−32=7 ，面积为 12×7×3=372 ；
则该直角三角形的面积是6或 372 ，
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可.
2.一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（   ）
A.（x＋3）2＝5
B.（x＋3）2＝14
C.（x﹣3）2＝5
D.（x﹣3）2＝14
【答案】 B
【解析】【解答】解： x2+6x−5=0 ，
x2+6x+9=14 ，
(x+3)2=14 ，
故答案为：B.
【分析】先把常数移到右边，然后两边同时加9将左式配成完全平方式即可.
3.一元二次方程 x2−4x−6=0 ，经过配方可变形为（   ）
A.(x−2)2=10
B.(x−2)2=6
C.(x−4)2=6
D.(x−2)2=2
【答案】 A
【解析】【解答】 x2−4x−6= x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10＝0，即（x-2）2=10;
故答案为：A.
【分析】先移项，再进行配方，由此可证得答案.
4.若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ）
A.k＞﹣ 94
B.k≥﹣ 94
C.k＜﹣ 94
D.k≤﹣ 94
【答案】 A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根，
a=1 ， b=3 ， c=−k ，
∴ △=b2−4ac=32−4×1×(−k)>0 ，
∴k＞ −94 .
故答案为：A.

【分析】已知一元二次方程有两个不相等的实数根可得到b2-4ac＞0，由此建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
5.一元二次方程4x2＋1＝﹣4x的根的情况是（   ）
A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【答案】 C
【解析】【解答】解：方程4x2+1=-4x化为一般形式为4x2+4x+1=0，
∴Δ=42-4×4×1=0，
∴该方程有两个相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
6.用配方法将 2x2−4x−3=0 变形，结果是（   ）
A.2(x−1)2−4=0
B.2(x−1)2−52=0
C.(x−1)2−52=0
D.(x−1)2−5=0
【答案】 C
【解析】【解答】解：二次项系数化1得 x2−2x−32=0 ，
加一次项系数一半的平方得 x2−2x+1−1−32=0 ，
整理得 (x−1)2−52=0 .
故答案为：C.
【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可.
7.某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个，则口罩日产量的月平均增长率是（   ）
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
【答案】 D
【解析】【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）.
故答案为：D.
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，则可列出方程20(1+x)2=45，求解即可.
8.下列方程中有两个相等实数根的是（   ）
A.(x−1)2=0
B.(x−1)(x+1)=0
C.(x−1)2=4
D.x(x−1)=0
【答案】 A
【解析】【解答】解：A、(x-1)2=0中x1=x2=1，故符合题意；
B、(x-1)(x+1)=0中x1=1，x2=-1，故不符合题意；
C、(x-1)2=4中x1=3，x2=-1，故不符合题意；
D、x(x-1)=0中x1=0，x2=1，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别求出各个选项中方程的根，然后根据方程的两个根相等进行判断.
9.如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（  ）
A.k≥﹣ 14
B.k≥﹣ 14 且k≠0
C.k＜﹣ 14
D.k＞－ 14 且k≠0
【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．
解得k≥- 14 且k≠0．
故答案为：B．
【分析】先求出△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0，再计算求解即可。
10.用配方法将方程x2-6x=1转化为(x+a)2=b的形式，则a，b的值分别为(    )
A. a=3，b=1                     B. a=-3，b=1                     C. a=3，b=10                     D. a=-3，b=10
【答案】 D
【解析】【解答】解：x2-6x=1，
∴x2-6x+9=1+9，即(x-3)2=10，
∴a=-3，b=10.
故答案为： D.
【分析】首先给方程x2-6x=1的两边同时加上9，可将其配方为(x-3)2=10，聚餐层次可得a、b的值.
11.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（   ）
A. 12 x（x﹣1）＝36             B. 12 x（x+1）＝36             C. x（x﹣1）＝36             D. x（x+1）＝36
【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意得12×x−1=36；
故答案为：A.
【分析】设有x个队参赛， 由参赛的每两个队之间都要比赛一场，则需要打12x（x﹣1）场，据此列出方程即可.
12.2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（   ）
A.    x(x+1)=132            B. x(x−1)=132            C. 12×(x+1)=132            D. 12x(x−1)=132
【答案】 B
【解析】【解答】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有（x-1）张票，
根据题意，列方程得 x(x−1)=132 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知每个站点售其它各站一张往返车票，可得到一共有的票数，然后根据往返车票一共有132张，建立关于x的方程即可.
13.某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（   ）
A. 7人                                      B. 8人                                      C. 9人                                      D. 10人
【答案】 C
【解析】【解答】解：设这个小组的人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9.
故答案为：C.
【分析】根据相等关系“人数×每一个人发送微信的数量= 全组共发微信的条数72”可列方程求解.
14.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（   ）
A. 12 x(x＋1)＝45                 B. 12 x(x－1)＝45                 C. x(x＋1)＝45                 D. x(x－1)＝45
【答案】 B
【解析】【解答】设有x家公司参加，依题意，得
12 x（x-1）=45，
故答案为：B.
【分析】 由每两家公司之间都签订了一份合同 ，可设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）分合同，共签订了12x(x-1)份合同，由题意得所有公司共同签订了45份合同，据此列出方程即可.
15.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（   ）
A. 6人                                       B. 7人                                       C. 8人                                       D. 9人
【答案】 B
【解析】【解答】解：设参加活动的同学有 x 人，
由题意得： x(x−1)=42 ，
解得 x=7 或 x=−6 （不符题意，舍去），
即参加活动的同学有7人，
故答案为：B.
【分析】设参加活动的同学有 x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为 (x−1) 张，再根据“共送贺卡 42 张”建立方程，然后解方程即可得.
16.己知方程x2+mx+2=0的一个根是1，则它的另一个根是(   )
A. 1                                          B. 2                                          C. -2                                          D. -3
【答案】 B
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：
1+m+2=0,
解得m=-3,
将m=-3代入方程得x2-3x+2=0,
(x-1)(x-2)=0,
解得x1=1, x2=2,
∴方程得另一个根为2，
故答案为：B
【分析】先把方程的一个根1代入方程求得m的值，再把m的值代入方程解方程即可得出结果。
17.关于x的一元二次方程 kx2−2x+1=0 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（   ）
A. k≤1                          B. k0
∴ x=−(−7)±(−7)2−4×1×82×1=7±172 ，
∴ x1=7+172 ， x2=7−172 .
【解析】【分析】（1）通过因式分解法，即可求解；（2）根据一元二次方程的求根公式，即可求解.


36.按照指定方法解下列方程：
（1）x(x−23)+3=0 ．（自选方法）
（2）3x2−6x−2=0 ．（配方法）
（3）x2−9=2x+6 （因式分解法）
【答案】 （1）解：原方程整理得： x2−23x+3=0
即 (x−3)2=0
∴ x1=x2=3

（2）解：方程两边同除以3，得： x2−2x−23=0
配方，得： (x−1)2=53
根据平方根的定义，得： x−1=153 或 x−1=−153
解得： x1=1+153 ， x2=1−153

（3）解：两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
∴ x1=−3,x2=5
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程求解即可；
（2）利用配方法计算求解即可；
（3）利用因式分解法计算求解即可。
四、综合题
37.已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若方程的两个根的平方和等于5，求k的值．
【答案】 （1）证明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数时（k≠0），方程总有实数根

（2）解：设方程kx2+（2k+1）x+2=0的两个根为x1、x2 ，
∴x1+x2=﹣ 2k+1k ，x1x2= 2k ．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣ 2k+1k ）2﹣ 4k =5，
整理，得：k2=1，
解得：k=±1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可；
（2）先求出 x1+x2=﹣ 2k+1k  ， x1x2= 2k  ，再利用完全平方公式计算求解即可。
38.已知x1 ， x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．
【答案】 （1）解：∵方程有两个实数根，
∴Δ＝16﹣4m≥0，
∴m≤4

（2）解：由根与系数的关系，得：x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴4﹣m＝1，
∴m＝3
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出 x1+x2＝4，x1x2＝m， 再求出 4﹣m＝1， 最后计算求解即可。
39.返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 x 瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当 x=80 时，每瓶洗手液的价格是________元；当 x=150 时，每瓶洗手液的价格是________元；当 x>100 时，每瓶洗衣手液的价格为________元（用含 x 的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【答案】 （1）8；7；(10−x50)
（2）解：①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）；
②∵最低价格不能低于每瓶5元，
∴ 10−x50≥5 ，
解得，x≤250，
∴当100＜x≤250时， x(8−x−10010×0.2)=1250 ．
解得，x1＝x2＝250，
答：一共购买了250瓶洗手液
【解析】【解答】解：（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是： 8−150−10010×0.2= 8﹣1＝7（元），
当 x>100 时，每瓶洗手液的价格是： 8−x−10010×0.2=(10−x50) （元），
故答案为：8，7， (10−x50) ；
【分析】（1）根据题目已知条件计算求解即可；
（2）分类讨论，根据学校一次性购买洗手液共花费1250元 ，计算求解即可。
40.校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【答案】 （1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2 ．
【解析】【分析】（1） 设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米， 根据矩形的面积公式列出方程， x(32﹣2x)=126， 解方程求出符合题意的x的值即可.（2） 设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米， 根据矩形的面积公式列出方程， y(36﹣2y)=170， 有△