2022-2023学年陕西省西安交通大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年陕西省西安交通大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

2．命题，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据命题的否定形式直接得解.

【详解】命题的否定形式即条件不变，结论变相反，

：，或 解得

故选：B

【点睛】本题考查命题的否定形式，属于基础题.

3．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案

【详解】阴影部分表示的集合为，

故选

【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得，

由，得，即，

；反之，不成立.

 “”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知集合，定义，则集合的所有真子集的个数为（　　）

A．32 B．31 C．30 D．以上都不正确

【答案】B

【详解】本题考查的是集合子集个数问题．由条件可知，所以集合的所有真子集的个数为，应选B．

6．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.

【详解】由题可得和是方程的两个根，且，

，解得，

则，

则函数图象开口向下，与轴交于.

故选：C.

7．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.

【详解】因为，

由基本不等得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8

由题可知， 即 ，解得，

故选：A

8．关于x的不等式的解集不可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简不等式，然后根据的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.

【详解】因为，所以，

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

当时，，

若，，解集为；

若，，解集为；

若，，解集为；

所以解集不可能是，

故选：A.

二、多选题

9． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

10．下列命题正确的是

A． B．，使得

C．是的充要条件 D．，则

【答案】AD

【分析】对A．当时，可判断真假，对B.  当时，，可判断真假，对C.  当时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.

【详解】A．当时，不等式成立，所以A正确.

B.  当时，，不等式不成立，所以B不正确.

C.  当时，成立，此时，推不出.所以C不正确.

D.  由，因为，则,所以D正确.

故选：A D.

本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.

11．使得成 立的充分非必要条件有（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】ABC

【解析】解不等式，利用集合的包含关系可得出合适的选项.

【详解】由可得，如下图所示：

所以，不等式的解集为或，

A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，

因此，使得成 立的充分非必要条件有A、B、C选项.

故选：ABC.

【点睛】本题考查充分不必要条件的确定，同时也考查了分式不等式与高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

12．已知，若方程的两个根是，则的值可以是（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据基本不等式及韦达定理可解得结果.

【详解】由的两个实根是，，即，，

∴，

又，

∴，即，当且仅当时等号成立.

∴，可能值为C、D.

故选：CD.

三、填空题

13．设，集合，则___________．

【答案】2

【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．

【详解】根据题意，集合，

又，

，即，

故，，

则，

故答案为：

14．已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.

【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)

【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.

【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.

①，③，

则，

所以.

故答案为：①③推出⑤

【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.

15．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．

【答案】

【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.

【详解】因为对于一切实数恒成立，

所以，且，所以；

再由，使成立，

可得，所以，

所以，

因为，即，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：

16．已知实数，满足，若，则的最小值是_______．

【答案】16

【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，

，当且仅当，即时取等号，

所以，当且仅当，即时等号成立，此时．

故答案为：16．

四、解答题

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【答案】(1)；

(2)；

(3)

(4)

【分析】结合一元二次方程和二次函数以及一元二次不等式之间的关系，即可求得答案.

【详解】(1)即，解得，

故不等式解集为；

(2)即，

即 ，解得 ，

故不等式解集为；

(3)即，

而，所以的解集为，

故的解集为；

(4)因为恒成立，

故的解集为.

18．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据并集得定义求解即可；

（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

选③，根据列出不等式，解之即可得解.

【详解】(1)解：当时，，，

所以；

(2)解：若选择①，，则，

因为，所以，又，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，

则集合为集合的真子集，

因为，所以，

又，

所以，且，

解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择③，，

又因为，，

所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是．

19．若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B．

（1）求集合A；

（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用十字相乘法将原不等式化为，利用一元二次函数的性质即可求出集合；

（2）先利用分式不等式的解法求出集合，根据条件判断出，再列不等式组求出的范围.

【详解】（1）原不等式可化为：，解得，

所以集合；

（2）不等式可化为：，

等价于，解得，

所以集合，

因为是的必要不充分条件，所以，

故，解得.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.

20．已知关于的不等式.

（Ⅰ）若不等式的解集为，求，的值；

（Ⅱ）求不等式的解集.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；

【分析】（Ⅰ）的两根为或，且，根据根与系数的关系即可求出，的值；

（Ⅱ）原不等式化为，即可求出不等式的解集．

【详解】解：（Ⅰ）不等式的解集为或，

的两根为或，且，

，，

解得，；

（Ⅱ）

，

即，

，，

或

原不等式解集为

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题

21．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.

（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；

（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．

【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，

广告的高为，宽为(其中)

广告的面积

（2）由，所以

当且仅当，即时取等号，此时.

故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知函数.

(1)当时，求解关于的不等式；

(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)6

【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；

（2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.

【详解】(1)当时, 不等式即为，解得或，

故不等式解集为 ；

(2)方程有两个正实数根，

即有两个正实数根，

故，解得；

所以，

令，则，

故，

当且仅当即时取得等号，

故的最小值为6.