2022-2023学年陕西省西安市高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市高一上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质，解对数不等式求集合A，利用集合的并运算求.

【详解】由题设，，而，

∴.

故选：A.

2．函数的零点所在的大致区间是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】，

函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，

∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，

∴f(3)·f(e)＜0，

∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.

故选C.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由偶次根式和对数定义域的基本要求可构造不等式组求得结果.

【详解】由题意得：，解得：，即定义域为.

故选：C.

4．函数的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用复合函数法求解即可.

【详解】内层函数在区间单调递减 ，在单调递增，

外层函数为减函数，

所以函数的单调递减区间是，

故选：C

5．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】与0和1比较大小即可.

【详解】由题知，

，即，

，即，

，因为，所以，

所以

故选：C

6．若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由函数 的反函数在定义域内单调递增，可得a>1,所以函数的图象在上单调递增，故选D

7．设则的值

A．9 B． C．27 D．

【答案】C

【详解】因为，故，所以，故选C.

8．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据单调区间是定义域的子集可知：在上恒成立，然后再将原函数看成一个对数和一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案.

【详解】依题意在上恒成立且，

又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.

故选：B

二、多选题

9．若，，则下列表达正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．

【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，

又∵，

∴，

∴，

即，所以选项A正确，选项B正确，

∵幂函数在上单调递增，且，

∴，所以选项C错误，

∵指数函数在R上单调递减，且，

∴，所以选项D错误，

故选：AB．

10．已知，则等于（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】AB

【分析】将平方可以得到，可得的值.

【详解】令

故选：AB

11．已知函数（为自然对数的底数），则（    ）

A．为奇函数

B．方程的实数解为

C．的图象关于轴对称

D．，，且，都有

【答案】ABD

【分析】根据函数为奇函数，上的增函数即可解决.

【详解】对于A，由题知，其定义域为，因为，所以函数为奇函数，故A正确；

对于B，由，得，解得，故B正确；

对于C，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，故C错误；

对于D，，

因为函数为上的增函数，

所以为上的增函数，

所以，，且，都有，故D正确.

故选：ABD

12．已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】BC

【分析】作函数的图象，数形结合即可解决.

【详解】由题知，函数的图象如下，

方程可以看成与的交点，

所以由图知方程有三个不同的实数根时，，

故选：BC

三、填空题

13．函数的图像恒过一定点______．

【答案】

【分析】根据对数函数的性质可得结论．

【详解】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点

故答案为：

14．设，且，则________．

【答案】20

【分析】显然用对数式表示出后代入，运用对数的运算法则化简可得答案.

【详解】依题意有

.

故答案为：20

15．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据题意，由函数的单调性的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】由题意得，因为函数在上单调递减，则.

∴

∴实数的取值范围是．

故答案为.

【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.

四、双空题

16．某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感已知茶水温度y（单位：℃）与经过时间（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时，y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min．

【答案】     80     8

【解析】由时，茶水室温为20℃，茶水初始温度为100℃，代入解析式可得，

由时及a的值代入解析式可得产生最佳口感所需时间.

【详解】由题意，，当时，有，，

则，当时，即，所以，

，可得，.

故答案为：①80；②8.

五、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)8

【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求得结果；

（2）根据对数的运算性质可求得结果.

【详解】（1）原式=

（2）原式

.

18．已知幂函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；

（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，幂函数，

可得，即，解得或，

当时，函数为奇函数，

当时，为非奇非偶函数，

因为为奇函数，所以.

（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，

因为，所以，解得，

所以的取值范围为.

19．已知

（1）作出函数的图象，并写出单调区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据函数的表达式，作出函数的图象即可；

（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可．

【详解】解：（1）画出函数的图象，如图示：

，

由图象得：在，单调递增；

（2）若函数有两个零点，

则和有2个交点，

结合图象得：．

【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．

20．已知函数．

(1)求函数的定义域并判断奇偶性;

(2)讨论函数的单调性；

【答案】(1)定义域，偶函数

(2)在上单调递减，在上单调递增

【分析】（1）根据真数大于0求定义域，根据函数奇偶性的定义判断奇偶性；

（2）利用定义法证明单调性即可.

【详解】（1）由题意，

要使有意义则有解得，

所以函数的定义域为；

因为函数的定义域关于原点对称且，

所以函数为上的偶函数.

（2）任取，

，

因为，所以，所以，

所以即，

所以在上单调递减，

又因为为上的偶函数，所以在上单调递增，

综上,在上单调递减，在上单调递增.

21．已知函数为奇函数．

（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；证明见解析；（2）．

【分析】(1)利用奇函数定义可得值，再利用单调性定义借助“取值、作差、判断符号”的步骤即可作答；

(2)利用(1)的结论消去法则“f”，再利用一元二次不等式恒成立即可得解.

【详解】（1）函数的定义域为R，，

因函数为奇函数，即恒成立，

于是有恒成立，即恒成立，

所以，，

，且，

则

因是R上的增函数，即，，

从而得，即，

所以函数是R上的增函数；

（2）因是奇函数，且是R上的增函数，

，

即对任意的恒成立，

于是有，即，

所以实数的取值范围是.

22．已知，，为实数，

(1)当时，求函数的最大值；

(2)求函数的最大值的解析式；

(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)3

(2)

(3)

【分析】（1）利用对数运算性质化简即可；

（2）利用对数的运算性质化简，再根据一元二次函数对称轴的位置分类讨论求最大值即可；

（3）对任意恒成立，仅需即可，原问题转化为求的最小值.

【详解】（1）当时，

因为，所以当时取得最大值，

的最大值为.

（2），

令，，

所以二次函数的对称轴为，

①当即时，时取最大值，；

②当即，时取最大值，；

③当即时，时取最大值，，

综上.

（3）对任意恒成立，仅需即可，

由（2）得，

当时，的对称轴为，所以，

当时，单调递减，所以，

综上，

所以.