陕西省西安市庆安高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．若命题：，，则的否定为（    ）

A．，   B．，

C．，   D．，

3．若，则（    ）

A．    B．

C．    D．

4．若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ）

A．   B．

C．或  D．或

5．你见过古人眼中的烟花吗?那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（    ）

A．第2秒   B．第3秒   C．第4秒   D．第6秒

6．已知集合，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ）

A．   B．   C．  D．

8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．

C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题是存在量词命题的是（    ）

A．能被5整除的整数都是偶数   B．有的偶数是质数

C．梯形的对角线相等     D．某些平行四边形不是菱形

10．设集合，，若，则的取值可能是（    ）

A．-3   B．1   C．-1   D．0

11．下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为2

C．若，则的最大值为2

D．若，则的最小值为2

12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．或

B．若，则关于的不等式的解集为

C．若，则的最小值为3

D．若，函数在时取得最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知集合，则集合的非空真子集的个数为_____________．

14．“”是“”的_____________条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”中选一个合适的填入横线中）

15．已知二次函数图象的顶点坐标为，则不等式的解集为_____________

16．若，且，则的最小值为_____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

（1）设全集，集合，，求；

（2）已知集合，，若，求．

18．（12分）

已知函数．

（1）求使函数图象位于轴下方的的取值范围；

（2）若函数的图象在函数的图象上方，求实数的取值范围．

19．（12分）

已知集合，．

（1）若，，求a，b；

（2）若，，求a的取值范围．

20．（12分）

已知正数a，b满足．

（1）求的最小值；

（2）若正数c满足，证明：与之和为定值，且．

21．（12分）

某商家准备促销某商品，根据市场调查，当该商品的售价定为x元时，销售量可达到万件．已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为20元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每件商品的利润=售价-供货价格．

（1）当每件商品的售价定为40元时，求该商家所获得的总利润；

（2）该商品的售价定为多少元时，单件商品的利润最大?

22．（12分）

已知二次函数，．

（1）若不等式的解集为，求实数的值及该二次函数的最小值；

（2）若是不等式成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

高一数学试卷参考答案

1．C因为，，所以．

2．C全称量词命题的否定是存在量词命题．

3．C因为，，，所以，所以，故A错误；取，，，，则，，故B错误；因为，且，，所以，所以，故C正确；取，，，，则，，故D错误．

4．D因为不等式的解集为，所以，所以或，所以或．

5．C依题意，，当时，烟花达到最高点．

6．B因为，所以．

7．B存在，使得不等式成立，等价于．令，，当时，，所以．

8．A因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，即．因为恒成立，所以，即，解得．

9．BD  AC是全称量词命题，BD是存在量词命题．

10．ABD因为，所以或或，所以或或．

11．AD因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，所以C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确．

12．ABD易知且，所以或，故A正确；因为，，，所以，，所以关于的不等式的解集为，故B正确；因为，所以，因为，当且仅当时，等号成立，故C错误；因为时，，二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，所以当时，二次函数取得最大值，故D正确．

13．30因为中有5个元素，所以的非空真子集的个数为．

14．必要不充分  由可得．由可得．故“”是“”的必要不充分条件．

15．  由得，所以不等式，即，所以，所以所求不等式的解集为．

16．5因为，所以．因为，所以，，则．

故

，

当且仅当，即，时，等号成立．

17．解：（1）因为，，所以．

因为，所以．

（2）因为，所以．

当时，，此时，不符合集合中元素的互异性；

当时，，舍去2，此时，，符合题意．

故．

18．解：（1）因为函数的图象位于轴下方，所以，

即，所以．

（2）因为函数的图象在函数的图象上方，

所以，所以．

由，得，，所以．

19．解：（1）因为，，

所以关于的方程的两个根分别为-1，5．

由得

（2）因为，所以．

当，即时，，符合题意．

当，即或时，解得．

故的取值范围是．

20．（1）解：因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

所以的最小值为．

（2）证明：因为，所以，

则，所以与之和为定值，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立．

故得证．

21．解：（1）当每件商品的售价定为40元时，销售量为万件，

该商家所获得的总利润为万元

（2）该商品的售价定为元，由得．

设单件商品的利润为元，

则

，

当且仅当时，等号成立

所以该商品的售价定为110元时，单件商品的利润最大，最大值为80元．

22．解：（1）由题意知不等式的解集为，

即方程的两根为-1，3，所以得．

因为，所以当时，．

（2）不等式，即．

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

因为是不等式成立的必要不充分条件，所以不等式的解集是的真子集．

当时，满足；

当时，由得；

当时，由得．

所以实数的取值范围是.