2022-2023学年云南省部分学校高一上学期9月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年云南省部分学校高一上学期9月联考数学试题

一、单选题

1．下列各选项中能构成集合的是（    ）

A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才

C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家

【答案】D

【分析】根据集合的定义和集合中元素的特征分析判断.

【详解】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误，

对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误，

对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，

对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D正确，

故选：D

2．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据并集概念求解即可.

【详解】由题意得，所以.

故选：A

3．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质结合已知条件求解即可

【详解】因为，，

所以，即

得.

故选：C

4．在四边形中，，则“”是“四边形为直角梯形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别判断命题的充分性和必要性，即可得到答案.

【详解】若，则四边形为矩形或直角梯形，若四边形为直角梯形，则不一定为，所以“”是“四边形为直角梯形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法即可判断与的大小关系.

【详解】由题可知：，

且，所以.

故选：C

6．如图，全值，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，，或，再根据集合运算求解即可.

【详解】解：解不等式得，故，

解不等式得或，故或

所以，

所以阴影部分表示的集合是.

故选：B

7．某农家院有客房 20 间，日常每间客房日租金为 100 元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（    ）

A．2250 元 B．2300 元 C．2350 元 D．2400 元

【答案】A

【分析】依题意，列出函数关系，利用二次函数的性质，求解最大值即可

【详解】设每间客房日租金提高个10元，每天客房的租金总收入为元，则

当且仅当时，取得最大值

故选：

8．已知正数、满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.

【详解】由题意得，

得，即，当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为为.

故选：C.

二、多选题

9．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】对于A，直接判断，对于B，举例判断，对于CD，根据集合包含关系判断.

【详解】对于A，，所以A正确.

对于B，因为，所以集合不是的子集，所以B错误.

对于CD，因为，所以，所以C错误，D正确.

故选：AD

10．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据，，可得且，判断出AD选项；利用不等式的基本性质得到B错误，C正确.

【详解】因为，，

所以，

且，

故A正确，D错误；

因为，所以，不等式两边同乘以得：

，B错误；

因为，所以，不等式两边同乘以得：

，故，C正确.

故选：AC

11．已知，，且，则的值可以为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】BCD

【分析】由可得，再利用基本不等式即可求的最小值.

【详解】由，得，

所以，

因为，，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立.

即的最小值为，故BCD均满足.

故答案为：BCD.

12．已知集合，若，则的值可能为（    ）

A． B．2 C． D．12

【答案】ABD

【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值.

【详解】因为，所以或.

①当时，，，

所以或，得或4.

当时，不合题设，舍去.

当时，，，此时.

②当时，，，

所以或，解得：或或

当时，不合题设，舍去.

当时，，此时.

当时，，此时.

故选：ABD

三、填空题

13．集合{黄山，庐山，雁荡山}的非空真子集的个数为________.

【答案】6

【分析】利用非空真子集的定义一一列举出来即可求解.

【详解】集合{黄山，庐山，雁荡山}的非空真子集为

{黄山}，{庐山}，{雁荡山}，{黄山，庐山}，{黄山，雁荡山}，{庐山，雁荡山}，

共6个.

故答案为:6.

14．学校开运动会，某班有40名同学参加跳绳、赛跑、球类比赛，每名同学至多参加两项比赛.已知参加跳绳、赛跑比赛的人数分别为16，17，同时参加跳绳和赛跑比赛的人数为3，同时参加赛跑和球类比赛的人数为4，同时参加跳绳和球类比赛的人数为4，则参加球类比赛的人数________.

【答案】18

【分析】根据容斥原理计算．

【详解】由题意得参加球类比赛的人数为.

故答案为：18．

15．定义运算：，若，，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据定义新运算得到恒成立，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围.

【详解】由，得恒成立，

所以，解得：.

故答案为：.

四、双空题

16．若，，且，则的最小值为______，此时______．

【答案】         

【分析】将原等式中字母b用a来表示，即化简为，代入到9a+b中，将9a+3看作一个整体，即可用基本不等式解答.

【详解】由题意得，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故答案为：①；②.

五、解答题

17．设集合，，.

(1)求，；

(2)求.

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）根据集合的交集和并集概念求解即可.

（2）根据集合的补集和并集概念求解即可.

【详解】(1)，.

(2)由题意得，，

故.

18．判断下列两个命题的真假，并写出这两个命题的否定.

(1)命题：有些梯形的两条对角线相等；

(2)命题：.

【答案】(1)真命题，命题的否定：所有梯形的两条对角线都不相等

(2)假命题，命题的否定：，.

【分析】（1）根据等腰梯形对角线相等即可判断命题为真，再根据存在命题的否定是全程命题即可得到答案.

（2）当时，不满足，即可判断命题为假命题，根据全程命题的否定是存在命题即可得到答案.

【详解】(1)因为等腰梯形的两条对角线相等，所以是真命题，

命题的否定：所有梯形的两条对角线都不相等.

(2)当时，，所以是假命题，

命题的否定：，.

19．已知关于的不等式的解集为或.

(1)求a，b的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a，b的值；

（2）在（1）的前提下，对不等式变形为，对分类讨论，求解不等式的解集.

【详解】(1)易知，

由题意得b，3是关于的方程的两个不相等的实数根，

所以，

解得：，

所以.

(2)由（1）得，

当时，不等式无解；

当时，解得：；

当时，解得：.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20．已知集合，.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围.

【详解】(1)由题意,,即，解得，

所以.

由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，

则 ，

解得.

(2)当时，得，即，符合题意.

当时，得，即.

由，得或，解得或，

所以或.

【点睛】综上所述，的取值范围为.

21．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式得到，，，

相加即可证明；

（2）利用基本不等式得到，，，相加后得到证明.

【详解】(1)证明：因为，，，

所以，

得，

当且仅当时，等号成立.

故.

(2)因为，，，

所以.

当且仅当时，等号成立.

故.

22．为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.

(1)求x的值；

(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.

【答案】(1)6

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意直接列方程求解即可，

（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且，根据题意列不等式组可得，，，，分别求出方案1，2，3的总费用，再比较可得答案.

【详解】(1)由题意得，

解得.

(2)设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且.

由题意得，

得，得，

所以，，.

当乙、丙购买的文具总数最少时，，，，.

未选择优惠活动之前，文具总价格为元.

方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动①，可以优惠元.

方案2，乙，丙一起购买，选择优惠活动②，可以优惠元.

方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动②的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动②，另一个人购买11支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动①.

因为，所以可以优惠元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为元.

故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.