2022-2023学年安徽省省十联考高一下学期期中联考数学试题含解析

  2022~2023学年度第二学期期中联考高一数学

命题单位：蚌埠第二中学 校审单位：合肥一六八中学

特别鸣谢联考学校：（排名不分先后）

合肥一六八中学、阜阳一中、蚌埠二中、明光中学、邱一中、蒙城一中、临泉一中、天长中学、长丰一中

考生注意：

1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.

【详解】∵集合，

，

则

故选：A.

2. 已知i是虚数单位，若，则实数a=（    ）

A. 2 B. 2 C. -2 D. ±2

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数模的概念求解即可.

【详解】，

，

解得，

故选：D

3. 若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B. （，）

C. （，） D. （4，2）

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.

【详解】向量在向量上的投影向量为，

故选：B

4. “，”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.

【详解】若，则，

若，则，不能推出

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

5. 计算：（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式求解.

【详解】因为

故选：B.

6. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积．

【详解】因为勒洛三角形ABC的周长为π，

所以每段圆弧长为，解得，

即正三角形的边长为1，

由题意可得，

故选：C

7. 已知函数的部分图象如图所示，，为f（x）的零点，在已知的条件下，下列选项中可以确定其值的量为（    ）

A. Asinφ B.  C.  D. φ

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.

【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的，

由图可知，利用整体代换可得，

所以，若为已知，则可求得.

故选：D.

8. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（    ）

A.   B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.

【详解】由，得，由余弦定理得，

∴，即，

由正弦定理得，

∵，

∴，

即.

∵，∴，∴，

又为锐角三角形，∴，

∴，解得，

又，，，

∴，

∴.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 设是非零向量，则

B. 若，是复数，则

C. 设是非零向量，若，则

D. 设，是复数，若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据向量数量积公式，判断AC；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.

【详解】A. 设是非零向量，则，只有当时，，，其他情况不相等，故A错误；

B.设，，

，

，

，所以，故B正确；

C. 设是非零向量，若，两边平方后得，故C正确；

D. 设，，

，，

，，

若，则，

又，不能推出，故D错误.

故选：BC

10. 已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.

【详解】因为正实数、满足，

对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，因为，则，

当且仅当时，等号成立，B错；

对于C选项，当，时，，C错；

对于D选项，，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：AD.

11. 中，角、、所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用正弦函数的单调性可判断A选项；利用两角和与差的正弦公式可判断B选项；利用余弦定理可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为且、，则，

若为锐角，则，且，

此时，即；

若为钝角，则，且，

此时，即.

综上所述，为直角三角形或钝角三角形，A不满足条件；

对于B选项，因为，

即

，

即，因为，则，

所以，，

即，所以，，

所以，或，

因、，则或为直角，故为直角三角形，B满足条件；

对于C选项，因为，即，

整理可得，所以，或，

故为等腰三角形或直角三角形，C不满足条件；

对于D选项，因为，整理可得，

所以，为直角三角形，D满足条件.

故选：BD.

12. 已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C选项.

【详解】当时，，，

对于A选项，，且，

所以，，

因为函数在上为增函数，故，A对；

对于B选项，因为，则，

因为，即，

因为函数在上为增函数，则，B对；

对于C选项，因为函数在上单调递增，

且，，

所以，存在，使得，则，

此时，，C错；

对于D选项，因为，则，

因，即，

因为函数在上为增函数，则，D对.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则实数___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示直接解即可.

【详解】由题意得，，

因，所以，得.

故答案为：.

14. 求值：___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据对数的运算法则、换底公式求解．

【详解】

故答案为：1.

15. 已知，则tanβ=___________.

【答案】

【解析】

【分析】由得，根据倍角正切公式求得，而，利用差角正切公式即可求解.

【详解】由得，

所以，

．

故答案为：

16. 中，，点P为所在平面内一点且，则C=___________，若，则的最大值为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由得，从而得到，由可得，从而得到是等腰直接三角形，建立直角坐标系，令，设，由得到点的轨迹是以为直径的圆，从而得到，由圆方程确定，从而求解.

【详解】因为，所以，即，

所以，即，

又因为，所以，

由正弦定理可得，所以，

所以是等腰直角三角形，令，则，

如图，以点为原点，以为轴，轴建立直角坐标系，设，

则，

，，，

因为，所以，即.

因为，则点的轨迹是以为直径的圆，

所以点的轨迹方程为

所以，即，

所以当时，有最大值，最大值为.

故答案为：；

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知向量，在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题

（1）若______，求实数t的值；

（2）若向量，且，求.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①，由向量垂直的坐标表示求解；选②由模的坐标表示求解；

（2）由向量相等的坐标运算列方程组求得值，然后由模的坐标表示计算．

【小问1详解】

选①：

由，得，即

解得或

选②：

由，得，即

所以.

【小问2详解】

所以，解得，所以

．

18. 已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.

（1）求复数z的共轭复数；

（2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数；

（2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可.

【小问1详解】

设，则

由为实数，则，所以，

由为实数，则，所以

则，复数z的共轭复数.

【小问2详解】

由（1）可知，

由对应的点在第三象限，得，即，

解得

故实数m的取值范围为

19. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.

（2）由可得

【小问1详解】

由三角函数的定义，，，

两边平方，得

则，，，

所以，

.

【小问2详解】

由（1）知，，

.

20. 设函数．其中．

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为，并求此时在上的对称中心．

【答案】（1）   

（2），对称中心为，.

【解析】

【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简，进而求其最小正周期；

（2）根据正弦型函数性质求值域，结合已知确定m值，整体法求其对称中心即可.

【小问1详解】

由题设，

所以，最小正周期.

【小问2详解】

当，则，故，

所以，故时满足的值域恰为，

此时，令，，则，，

所以在上的对称中心为，.

21. 如图，两个直角三角板拼在一起，，.

（1）若记，试用表示向量，；

（2）若，求

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；

（2）由平行线分线段成比例可得，再由向量的数量积运算及性质求解即可.

【小问1详解】

由条件，得，，

因为，，

所以，可得，

，

.

【小问2详解】

由条件，得，，

因为，所以，

则，

，

则

，

而

所以.

22. 某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道，，，以及两条排水沟，，其中，，分别为边，，中点．

（1）若，求排水沟的长；

（2）当变化时，求4条人行道总长度的最大值．

【答案】（1）（百米）；（2）（百米）．

【解析】

【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在和中，分别利用余弦定理表示可求；

（2）先设，，，然后由余弦定理可表示，再在中，由正弦定理：，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式，结合函数的单调性可求最大值．

【详解】解：（1）因为，，，

所以，所以，

因为，

所以：，

可得：，

在中：，

在中：，

解得：，即排水沟的长为百米；

（2）设，，，

由余弦定理得：．

在中，由正弦定理：，得，

连接，在中，，，

由余弦定理：，

同理：，

设，，则，

所以，

该函数单调递增，所以时，最大值为，

所以4条走道总长度的最大值为百米．