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无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）
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这是一份无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共37页。试卷主要包含了 的值等于， 下列函数中一定是二次函数的是， 两个相似三角形面积比是1， 下列四个命题等内容，欢迎下载使用。
无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2+bx+c C. y＝x2+ D. s＝2t2﹣2t+1
3. 如图为⊙O的直径，弦于E，，，则直径的长为（ ）
A. B. 13 C. 25 D. 26
4. 两个相似三角形面积比是1：4，若小三角形的周长为8cm，则另一个三角形的周长是（ ）
A. 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4或16cm
5. 下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦以及所对的两条弧；②相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④内心是三角形各边垂直平分线的交点．其正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A. 4 B. 3.2 C. 20 D. 5
7. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
10. 如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
二．填空题（共8小题，每空3分，满分24分）
11. 已知4a＝3b，则＝________________．
12. 在△ABC中，若，则∠C=____________．
13. 已知斜坡的水平宽度为4米，斜面坡度为，则斜坡的长为________．
14. 圆锥的底面半径r为6，母线长为8，则圆锥的侧面积为__________．
15. 若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 __________．
16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
17. 已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为：________________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19. 解方程：
（1）
（2）
20. 计算
（1）计算：；
（2）．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
23. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
24. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
25. 已知△ABC，∠B=60°，．
（1）如图1，若，求AC的长；
（2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
26. 已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
27. 如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．
28. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．直线DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE．
（2）当AE=2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．
答案与解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2. 下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2+bx+c C. y＝x2+ D. s＝2t2﹣2t+1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．
3. 如图为⊙O的直径，弦于E，，，则直径的长为（ ）
A. B. 13 C. 25 D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】连接，设圆的半径为x，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接OA，
设圆的半径为x，
由垂径定理可得，，
中，，
，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
4. 两个相似三角形面积比是1：4，若小三角形的周长为8cm，则另一个三角形的周长是（ ）
A. 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4或16cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：设另一个三角形的周长为x，则,
解得：x=16．
故选：C．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5. 下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦以及所对的两条弧；②相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④内心是三角形各边垂直平分线的交点．其正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各小题即可判断
【详解】①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，①是正确的；
②一条弦所对的圆周角有两个，不一定相等，故②是错误的；
③三角形有且只有一个外接圆，③是正确的；
④内心是三角形三个内角的角平分线的交点，故④是错误的；
故选：B
【点睛】本题主要考查与圆有关的基本概念，熟练掌握与圆有关的基本概念是解决问题的关键
6. 如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A. 4 B. 3.2 C. 20 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．
【详解】由相似三角形的性质可得：，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．
7. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似中心的定义可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
则端点的坐标为，即为，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，理解定义是解题关键．
8. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系．
9. 如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】解：连接AD，如图，
令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．
10. 如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设，，由函数图像利用△EBF面积列出方程组即可解决问题．③由，，得，设，，在中，由列出方程求出，即可判断．④求出即可解决问题．
【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点运动到点时用了2.5秒，运动到点时共用了4秒．故①正确．
设，，
由题意，
解得，
所以，，故②正确，
，，
，设，，
在中，，
，
解得或（舍，
，，，
故③错误，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共8小题，每空3分，满分24分）
11. 已知4a＝3b，则＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．把4a当作比例的外项，3b当作比例的内项写出比例即可．
【详解】解：∵4a＝3b，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键在于能够熟练掌握比例的性质．
12. 在△ABC中，若，则∠C=____________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据非负数性质得，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】因为
所以
所以
所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
13. 已知斜坡的水平宽度为4米，斜面坡度为，则斜坡的长为________．
【答案】米
【解析】
【分析】根据斜面坡度为，斜坡的水平宽度为4米，可得坡高为2米，然后利用勾股定理可求得斜坡AB的长
【详解】∵斜面坡度为，且斜坡的水平宽度为4米，
∴坡高为：，
∴斜坡，
故答案为：米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求解
14. 圆锥的底面半径r为6，母线长为8，则圆锥的侧面积为__________．
【答案】##平方厘米
【解析】
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】∵圆锥的底面半径r为6，母线长为8，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于．
15. 若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 __________．
【答案】m＜4且m≠0
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4且m≠0．
故答案为：m＜4且m≠0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象的交点，利用图象解题即可
【详解】抛物线与直线交于，两点，
当时，抛物线在直线的下方，
即的解集为
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数与一次函数的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17. 已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为：________________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案
【详解】解：设函数，
当时，
，或，
当时，
由题意可知：的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：，
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系
18. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由抛物线的性质先求三点坐标，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，利用等边三角形与相似三角形的性质求解的坐标，利用两点间距离公式建立与之间的函数关系式，利用函数性质求的最小值．
【详解】解：
令，则或
如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，
∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，
则点，AE=CE=ED，
∵∠CEF+∠FCE=90°，∠CEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=∠ECF，
∴△CFE∽△EGD，
∴
为中点，轴，
解得：GE=，DG=
故点，
故当时，的最小值
的最小值为（负根舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质与相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握以上知识点是解题关键．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
【小问1详解】
解：∵
∴
∴，或
∴，；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
∴，或
∴，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
20. 计算
（1）计算：；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先分别计算负整数指数幂、零指数幂、三角函数、绝对值，再计算加减即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）先确定，再解方程，解得，然后分别把和代入一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0可得到满足条件的m的值．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得；
【小问2详解】
解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程，
解得，
当相同的解为时，把代入方程得，
解得；
当相同的解为时，把代入方程得，
解得，而，不符合题意，舍去，
所以m的值为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
23. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
【答案】（1）米；
（2）米．
【解析】
【分析】（1）利用， 米，可求出米，在利用勾股定理即可求出AP；
（2）设，则，作交MN于点E，所以，，利用可求出x，进一步求出MN．
【小问1详解】
解：∵，米，
∴米，
由勾股定理得：米．
【小问2详解】
解：设，作交MN于点E，如下图：
∵，
∴，
∴，
∵PDME是矩形，，，
∴，，
∵
∴，即：，解得：，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形，正切，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．要掌握正切的概念是解（1）的关键；证明是解（2）的关键．
24. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【答案】（1）
（2）应该增加5条生产线
（3）增加7或8条生产线，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个
【解析】
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：；
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意得：
，整理得：，
解得：，，
∵尽可能投入少，
∴舍去．
答：应该增加5条生产线．
【小问3详解】
解：
∴抛物线开口向下，
∴当时，w最大，
又∵x为整数，
∴当或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 已知△ABC，∠B=60°，．
（1）如图1，若，求AC的长；
（2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】（1）AC的长为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求得AB=3，在Rt△BCG中，求得BG=，CG3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；
（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．
【小问1详解】
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵，，
∴AB=3，
在Rt△BCG中，∠B=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=BC=，CG=3，AG=AB-BG=，
在Rt△ACG中，
AC=；
【小问2详解】
解：如图，四边形ABCD即为所求作．
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
由作图知BC=AD，则=，CD∥AB，
分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：
∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，
∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，
∴AF=BE，
∵∠B=60°，
∴∠DAF=60°，
∴BE=BC，AF=AD=BC=BE，
∵
∴AF=BE=EF=CD=BC，
∴AD=2CD，
∴四边形ABCD符合题意．
【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26. 已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
27. 如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．
【答案】（1），抛物线表达式为
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线得对称轴为直线，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，证出，求出点E的坐标，代入抛物线表达式即可求出a的值，进一步写出抛物线的表达式；
（2）由题意得，如图2，过点D作，垂足为点H，设点，通过，列出比例式，求出b的值即可；
（3）设，求出点B，C，D的坐标，分情况讨论：①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，求出直线的解析式，由得到，由可求出m的值，即可写出Q的坐标；②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，则，由可列出方程，由于方程无解，故此情况不存在．
【小问1详解】
由抛物线得对称轴为直线，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把点代入抛物线表达式，
得，
∴抛物线表达式为；
【小问2详解】
在中，，
当时，；当时，，
∴，，，
由题意得，
如图2，过点D作，垂足为点H，设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，
①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍去），
∴；
②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，
则，
∴，
即，
整理得，
，
∴方程无解，
综上所述：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解直角三角形，二次函数的图象及性质，切线的性质定理，三角形的面积等，综合性较强，解题的关键是能够熟练掌握各性质定理，并能灵活运用等．
28. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．直线DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE．
（2）当AE=2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）①E在点A上方，EH；②E在点A下方，H与E重合，HE=2
（3）AE=或8或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，即得出，再由即可证明；
（2）分类讨论①当E在点A上方时，根据三角形相似和全等的判定和性质即可解答；②当E在点A下方时，此时H与A重合，即直接得出答案；
（3）分类讨论①当E在点A上方时，根据矩形的判定和性质结合三角形相似的判定和性质即可解答；②当点H在点A的下方时，再细分为GH=GE、HG=HE和EG=EH，根据三角形相似的判定和性质，结合解直角三角形等知识，即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴．
又∵，
∴△ABF ∽△DAE；
【小问2详解】
①当E在点A上方时，
由AB=2，得点E与B重合，如图，
∵△ABF∽△DAE，
∴，
∴，
∴．
∵四边形AEGF是平行四边形，，
∴GF=AB=CD=2，，
即在△GMF和△DMC中，，
∴△GMF≌△DMC(AAS)，
∴，
∴．
∵，
∴△MGF∽△MHE，
∴，即，
∴EH=；
②当E在点A下方时，如图，
∵FG=AE=CD=2，
∴G、A、D共线
此时，H与A重合，
∴HE=2．
综上可知，EH的长为或2；
【小问3详解】
①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形
由等腰△EGH得，GH=GE．
作GQ⊥BH于点Q，则HQ=EQ．
∴四边形BFGQ为矩形，
∴QB=GF=EA，
∴QE=AB=2，
∴HQ=EQ=2．
设AE=2t，
由（1）得，
∴，
∴GQ=BF=t．
∵QG//AD，
∴△HQG ∽△HAD
∴，即，
解得 (舍去）
∴AE=2t=；
②当点H在点A的下方时，
（ⅰ）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ．
∵AE=GF=BQ，
∴QE=AB=2，HQ=EQ=2．
设AE=2t，同理：GQ=BF=t
由，得，
解得(舍去）
∴AE=2t=；
（ⅱ）若HG=HE，如图，
∴∠2=∠1．
同理△ABF ∽△DAE，则，
∵AF=GE，AF∥GE，AF⊥DE，
∴GE⊥DE，，
∴△DGE是直角三角形，
∵∠2+∠3=90°，∠GDE+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∴tan∠3= tan∠GDE==，
∴=，
∴AE=2AD=8；
（ⅲ）若EG=EH，如图，
同理可求出tan∠HGE=2，
则tan∠AHD=tan∠GHQ=tan∠HGE=2，
∴．
设AE=2t，
同理可得：GQ=BF=t，EQ=AB=2，
由，得，解得，
∴ AE=2t=．
综上可知：AE=或8或．
【点睛】本题为四边形综合题．考查三角形全等和三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的定义以及解直角三角形等知识．综合性强，为中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2+bx+c C. y＝x2+ D. s＝2t2﹣2t+1
3. 如图为⊙O的直径，弦于E，，，则直径的长为（ ）
A. B. 13 C. 25 D. 26
4. 两个相似三角形面积比是1：4，若小三角形的周长为8cm，则另一个三角形的周长是（ ）
A. 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4或16cm
5. 下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦以及所对的两条弧；②相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④内心是三角形各边垂直平分线的交点．其正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A. 4 B. 3.2 C. 20 D. 5
7. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
10. 如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
二．填空题（共8小题，每空3分，满分24分）
11. 已知4a＝3b，则＝________________．
12. 在△ABC中，若，则∠C=____________．
13. 已知斜坡的水平宽度为4米，斜面坡度为，则斜坡的长为________．
14. 圆锥的底面半径r为6，母线长为8，则圆锥的侧面积为__________．
15. 若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 __________．
16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
17. 已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为：________________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19. 解方程：
（1）
（2）
20. 计算
（1）计算：；
（2）．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
23. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
24. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
25. 已知△ABC，∠B=60°，．
（1）如图1，若，求AC的长；
（2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
26. 已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
27. 如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．
28. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．直线DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE．
（2）当AE=2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．
答案与解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2. 下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2+bx+c C. y＝x2+ D. s＝2t2﹣2t+1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．
3. 如图为⊙O的直径，弦于E，，，则直径的长为（ ）
A. B. 13 C. 25 D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】连接，设圆的半径为x，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接OA，
设圆的半径为x，
由垂径定理可得，，
中，，
，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
4. 两个相似三角形面积比是1：4，若小三角形的周长为8cm，则另一个三角形的周长是（ ）
A. 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4或16cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：设另一个三角形的周长为x，则,
解得：x=16．
故选：C．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5. 下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦以及所对的两条弧；②相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④内心是三角形各边垂直平分线的交点．其正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各小题即可判断
【详解】①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，①是正确的；
②一条弦所对的圆周角有两个，不一定相等，故②是错误的；
③三角形有且只有一个外接圆，③是正确的；
④内心是三角形三个内角的角平分线的交点，故④是错误的；
故选：B
【点睛】本题主要考查与圆有关的基本概念，熟练掌握与圆有关的基本概念是解决问题的关键
6. 如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A. 4 B. 3.2 C. 20 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．
【详解】由相似三角形的性质可得：，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．
7. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似中心的定义可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
则端点的坐标为，即为，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，理解定义是解题关键．
8. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系．
9. 如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】解：连接AD，如图，
令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．
10. 如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设，，由函数图像利用△EBF面积列出方程组即可解决问题．③由，，得，设，，在中，由列出方程求出，即可判断．④求出即可解决问题．
【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点运动到点时用了2.5秒，运动到点时共用了4秒．故①正确．
设，，
由题意，
解得，
所以，，故②正确，
，，
，设，，
在中，，
，
解得或（舍，
，，，
故③错误，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共8小题，每空3分，满分24分）
11. 已知4a＝3b，则＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．把4a当作比例的外项，3b当作比例的内项写出比例即可．
【详解】解：∵4a＝3b，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键在于能够熟练掌握比例的性质．
12. 在△ABC中，若，则∠C=____________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据非负数性质得，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】因为
所以
所以
所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
13. 已知斜坡的水平宽度为4米，斜面坡度为，则斜坡的长为________．
【答案】米
【解析】
【分析】根据斜面坡度为，斜坡的水平宽度为4米，可得坡高为2米，然后利用勾股定理可求得斜坡AB的长
【详解】∵斜面坡度为，且斜坡的水平宽度为4米，
∴坡高为：，
∴斜坡，
故答案为：米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求解
14. 圆锥的底面半径r为6，母线长为8，则圆锥的侧面积为__________．
【答案】##平方厘米
【解析】
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】∵圆锥的底面半径r为6，母线长为8，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于．
15. 若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 __________．
【答案】m＜4且m≠0
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得m≠0且△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4且m≠0．
故答案为：m＜4且m≠0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象的交点，利用图象解题即可
【详解】抛物线与直线交于，两点，
当时，抛物线在直线的下方，
即的解集为
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数与一次函数的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17. 已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为：________________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案
【详解】解：设函数，
当时，
，或，
当时，
由题意可知：的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：，
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系
18. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由抛物线的性质先求三点坐标，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，利用等边三角形与相似三角形的性质求解的坐标，利用两点间距离公式建立与之间的函数关系式，利用函数性质求的最小值．
【详解】解：
令，则或
如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，
∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，
则点，AE=CE=ED，
∵∠CEF+∠FCE=90°，∠CEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=∠ECF，
∴△CFE∽△EGD，
∴
为中点，轴，
解得：GE=，DG=
故点，
故当时，的最小值
的最小值为（负根舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质与相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握以上知识点是解题关键．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
【小问1详解】
解：∵
∴
∴，或
∴，；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
∴，或
∴，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
20. 计算
（1）计算：；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先分别计算负整数指数幂、零指数幂、三角函数、绝对值，再计算加减即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）先确定，再解方程，解得，然后分别把和代入一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0可得到满足条件的m的值．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得；
【小问2详解】
解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程，
解得，
当相同的解为时，把代入方程得，
解得；
当相同的解为时，把代入方程得，
解得，而，不符合题意，舍去，
所以m的值为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
23. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
【答案】（1）米；
（2）米．
【解析】
【分析】（1）利用， 米，可求出米，在利用勾股定理即可求出AP；
（2）设，则，作交MN于点E，所以，，利用可求出x，进一步求出MN．
【小问1详解】
解：∵，米，
∴米，
由勾股定理得：米．
【小问2详解】
解：设，作交MN于点E，如下图：
∵，
∴，
∴，
∵PDME是矩形，，，
∴，，
∵
∴，即：，解得：，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形，正切，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．要掌握正切的概念是解（1）的关键；证明是解（2）的关键．
24. 疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产的口罩W个，请求出W与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
【答案】（1）
（2）应该增加5条生产线
（3）增加7或8条生产线，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个
【解析】
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：；
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意得：
，整理得：，
解得：，，
∵尽可能投入少，
∴舍去．
答：应该增加5条生产线．
【小问3详解】
解：
∴抛物线开口向下，
∴当时，w最大，
又∵x为整数，
∴当或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 已知△ABC，∠B=60°，．
（1）如图1，若，求AC的长；
（2）试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】（1）AC的长为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求得AB=3，在Rt△BCG中，求得BG=，CG3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；
（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．
【小问1详解】
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵，，
∴AB=3，
在Rt△BCG中，∠B=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=BC=，CG=3，AG=AB-BG=，
在Rt△ACG中，
AC=；
【小问2详解】
解：如图，四边形ABCD即为所求作．
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
由作图知BC=AD，则=，CD∥AB，
分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：
∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，
∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，
∴AF=BE，
∵∠B=60°，
∴∠DAF=60°，
∴BE=BC，AF=AD=BC=BE，
∵
∴AF=BE=EF=CD=BC，
∴AD=2CD，
∴四边形ABCD符合题意．
【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26. 已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
27. 如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．
【答案】（1），抛物线表达式为
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线得对称轴为直线，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，证出，求出点E的坐标，代入抛物线表达式即可求出a的值，进一步写出抛物线的表达式；
（2）由题意得，如图2，过点D作，垂足为点H，设点，通过，列出比例式，求出b的值即可；
（3）设，求出点B，C，D的坐标，分情况讨论：①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，求出直线的解析式，由得到，由可求出m的值，即可写出Q的坐标；②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，则，由可列出方程，由于方程无解，故此情况不存在．
【小问1详解】
由抛物线得对称轴为直线，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把点代入抛物线表达式，
得，
∴抛物线表达式为；
【小问2详解】
在中，，
当时，；当时，，
∴，，，
由题意得，
如图2，过点D作，垂足为点H，设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，
①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍去），
∴；
②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，
则，
∴，
即，
整理得，
，
∴方程无解，
综上所述：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解直角三角形，二次函数的图象及性质，切线的性质定理，三角形的面积等，综合性较强，解题的关键是能够熟练掌握各性质定理，并能灵活运用等．
28. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．直线DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE．
（2）当AE=2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）①E在点A上方，EH；②E在点A下方，H与E重合，HE=2
（3）AE=或8或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，即得出，再由即可证明；
（2）分类讨论①当E在点A上方时，根据三角形相似和全等的判定和性质即可解答；②当E在点A下方时，此时H与A重合，即直接得出答案；
（3）分类讨论①当E在点A上方时，根据矩形的判定和性质结合三角形相似的判定和性质即可解答；②当点H在点A的下方时，再细分为GH=GE、HG=HE和EG=EH，根据三角形相似的判定和性质，结合解直角三角形等知识，即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴．
又∵，
∴△ABF ∽△DAE；
【小问2详解】
①当E在点A上方时，
由AB=2，得点E与B重合，如图，
∵△ABF∽△DAE，
∴，
∴，
∴．
∵四边形AEGF是平行四边形，，
∴GF=AB=CD=2，，
即在△GMF和△DMC中，，
∴△GMF≌△DMC(AAS)，
∴，
∴．
∵，
∴△MGF∽△MHE，
∴，即，
∴EH=；
②当E在点A下方时，如图，
∵FG=AE=CD=2，
∴G、A、D共线
此时，H与A重合，
∴HE=2．
综上可知，EH的长为或2；
【小问3详解】
①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形
由等腰△EGH得，GH=GE．
作GQ⊥BH于点Q，则HQ=EQ．
∴四边形BFGQ为矩形，
∴QB=GF=EA，
∴QE=AB=2，
∴HQ=EQ=2．
设AE=2t，
由（1）得，
∴，
∴GQ=BF=t．
∵QG//AD，
∴△HQG ∽△HAD
∴，即，
解得 (舍去）
∴AE=2t=；
②当点H在点A的下方时，
（ⅰ）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ．
∵AE=GF=BQ，
∴QE=AB=2，HQ=EQ=2．
设AE=2t，同理：GQ=BF=t
由，得，
解得(舍去）
∴AE=2t=；
（ⅱ）若HG=HE，如图，
∴∠2=∠1．
同理△ABF ∽△DAE，则，
∵AF=GE，AF∥GE，AF⊥DE，
∴GE⊥DE，，
∴△DGE是直角三角形，
∵∠2+∠3=90°，∠GDE+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∴tan∠3= tan∠GDE==，
∴=，
∴AE=2AD=8；
（ⅲ）若EG=EH，如图，
同理可求出tan∠HGE=2，
则tan∠AHD=tan∠GHQ=tan∠HGE=2，
∴．
设AE=2t，
同理可得：GQ=BF=t，EQ=AB=2，
由，得，解得，
∴ AE=2t=．
综上可知：AE=或8或．
【点睛】本题为四边形综合题．考查三角形全等和三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的定义以及解直角三角形等知识．综合性强，为中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
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