2021-2022学年云南省丽江市第一高级中学高二上学期月考（三）数学试题含答案

丽江市第一高级中学2021-2022学年高二上学期月考（三）数学试卷

一、单选题

1. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值为

A. 1 B.  C.  D.

2. 已知平面，的法向量分别为其中，，若，则的值为

A.  B.  C.  D. 5

3. 与向量共线的单位向量是

A.  B.
C. 和 D. 和

4. 如图，正方体中，E是棱BC的中点，G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为
   
    

A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

5. 在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC的中点．若，，，则等于

A.  B.
C.  D.

6. 已知是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱的中点，则平面ABC与平面所成的锐二面角为

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数的图象恒过定A，若点A在直线上，其中，则的最小值为

A. 2 B.  C.  D. 8

8. 若直线：与：垂直，则实数k的值是

A. 3或 B. 3或4 C. 或 D. 或4

9. 两条直线：和：在同一直角坐标系中的图象可以是

A.  B.
C.  D.

10. 设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是
    
     

A.  B.  C.  D.

11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论：其中正确的结论是
     

A.  B. 是等边三角形
C. AB与平面BCD所成的角为 D. AB与CD所成的角为

12. 已知菱形ABCD中，，AC与BD相交于点将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是

A.
B. 存在一个位置，使为等边三角形
C. DM与BC不可能垂直
D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为

13. 已知，，，则与的夹角为______ .
14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，点M在侧棱SC上，若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M的坐标为______.

15. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，则直线BC的一般式方程为______.
16. 在长方体中，，，为平面内一点，，则______.
17. 已知空间三点，，，设，
    求和的夹角的余弦值；
    若向量与互相垂直，求实数k的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 的三个顶点分别为、、
    求边AC和AB所在直线的方程
    求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
19.  如图，在正四棱柱中，，，点N是BC的中点，点M在上．设二面角的大小为，
    当时，求AM的长；
    当时，求CM的长．
    
    
    
    
     
20. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到的位置，如图
    
    证明：平面；
    若平面平面BCDE，求平面与平面夹角的余弦值．
     
21. 如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点，B，D的平面与棱交于点
    证明：四边形是矩形；
    求二面角的余弦值．

22. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，
    ，，
    
    求证：平面PAB；

求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

在棱PA上是否存在点M，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

答案

1.【答案】A
 

2.【答案】D
 

3.【答案】D
 

4.【答案】B
 

5.【答案】C
 

6.【答案】A
 

7.【答案】D
 

8.【答案】A
 

9.【答案】A
 

10.【答案】A
 

11.【答案】ABD
 

12.【答案】ABD
 

13.【答案】
 

14.【答案】
 

15.【答案】
 

16.【答案】
 

17.【答案】解：


和的夹角的余弦值为
，

，
，
即，解得或
 

18.【答案】解：，，
直线AC的截距式方程得：，化简得…分
，
由直线的两点式方程，得AB方程为，即
综上所述，边AC所在直线的方程为，边AB所在直线的方程为…分
设点，由线段的中点坐标公式，
可得，
中点D坐标为
再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为，
化简得，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．…分
 

19.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，，设，则各点的坐标为，，
，；
所以，
设平面DMN的法向量为，则，，
即，，令，则，所以，
设平面的法向量为，则，，
即，，令则，所以，

因为，所以解得从而，
 

所以
因为，所以，

因为或，所以解得或
根据图形和的结论，可知，从而CM的长为
 

20.【答案】证明：在图1中，，，
E是AD的中点，，，
，
即在图2中，，，
，、平面，
则平面；
，
平面；
若平面平面BCDE，
由知，，
为二面角的平面角，
，
如图，建立空间坐标系，

，，
，，，，
，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，
则得，令，则，，即，
由得，
取，
则，
平面与平面夹角的余弦值为
 

21.【答案】解：连接，DE，
在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以，因此，
因为点D是AC的中点，所以E为中点，所以，
所以四边形为平行四边形，
在正中，因为D是AC的中点，所以，
由题意可知，平面ABC，又BD，平面ABC，
所以，，又，
 

所以平面，又平面，则，
故四边形为矩形；
由可知，DB，AC，两两垂直，
以DB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
在中，，，所以，
故，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
 

设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
设二面角的大小为，由图可知，
则，
故所求二面角的余弦值为
 

22.【答案】证明：平面平面ABCD，且平面平面，
且，平面ABCD，
平面PAD，
平面PAD，
，
又，且，PA、平面PAB，
平面PAB；
解：取AD中点为O，连接CO，PO，
，
，
又，

平面平面ABCD，且平面平面，
且平面PAD，
 

平面ABCD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

 

则，，，，
则，，
设为平面PCD的法向量，
则由，得，令，则
设PB与平面PCD的夹角为，则
；
解：假设存在M点使得平面PCD，设，，
 

由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面PCD，为平面PCD的法向量，
，即，解得
综上，存在点M，即当时，M点即为所求．