江苏省盐城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

盐城市2021—2022学年第一学期高一年级期终考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算求解即可.

【详解】，，

.

故选：D

2. 圆心角为，半径为1的扇形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用扇形面积公式直接求解即可

【详解】因为扇形的圆心角为，半径为1，

所以扇形的面积为，

故选：C

3. 设，则“”是“”，成立的什么条件（    ）

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】根据充要条件的定义可求解.

【详解】因为当时， 成立，

当时，，所以，

则“”是“”成立的充要条件，

故选：C.

4. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.

【详解】把函数图象向左平移个单位长度后可得：

故选：A

5. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可排除D，取特殊值验证可排除A,B,即得答案.

【详解】函数满足：，

故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除D;

又 ,，故排除A,B;

故选：C.

6. 已知函数的定义域为集合．函数的值域为集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合A,B，根据集合之间的包含关系建立不等式求解.

【详解】有意义，即

解得，

即，

所以

解得，

，

，

，

即，

，

，

解得，

故选：B

7. 若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定的范围即可得解.

【详解】由，

则

若使在开区间上取得最小值则必须，

解得，

故选：B

8. 若，记，则的大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，然后利用对数函数的单调性比较大小

【详解】因为，

所以，

所以，

，

，

因为，所以，

所以，即，

综上，，

故选：C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 函数和具有相同单调性的区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由正余弦函数的单调性逐个分析判断

【详解】对于A，在上单调递增，在上单调递减，所以A不合题意，

对于B，在上单调递减，在上单调递减，所以B符合题意，

对于C，在上单调递减，在上单调递增，所以C不合题意，

对于D，在上单调递增，在上单调递增，所以D符合题意，

故选：BD

10. 下列说法中正确的有（    ）

A. 函数的零点可以用二分法求得

B. 幂函数的图像一定不会出现在第四象限

C. 在锐角三角形中，不等式

D. 函数是最小正周期为的周期函数

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，先求判别式，从而可得，进而可判断，对于B，由幂函数的性质判断，对于C，利用诱导公式结合锐角三角形的性质判断，对于D，将函数化简后利用周期的定义判断

【详解】对于A，因为，函数的图象是开口向上的抛物线，所以恒成立，所以函数的零点不可以用二分法求得，所以A错误，

对于B，对于幂函数，当时，，所以幂函数图象一定过，因为当时，，所以幂函数的图像一定不会出现在第四象限，所以B正确，

对于C，在锐角三角形中，，所以，所以，同理可得，所以，所以C正确，

对于D，， 因为当时，的周期为，当时，的周期为，所以函数不是最小正周期为的周期函数，所以D错误，

故选：BC

11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，则下列叙述中正确的有（    ）

A.

B.

C.

D. 有最小值

【答案】ABD

【解析】

【分析】作出的图象如图：由条件知利用数形结合，基本不等式，函数与方程，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】作出的图象如图：由条件知

由得，即，得，得，则，即成立，故A正确，

由知是方程，即的两个根，则，故B正确，

,而，两者无法比较大小，故C错误，

，

当且仅当，即时，取等号，即有最小值，故D正确，

故选：ABD.

12. 通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将视为常数，视为自变量，那么就是(即)的函数，记为，则，也就是我们熟悉的指数函数．若令是自然对数的底数，将视为自变量，则为的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（    ）

A.

B. ，1)

C. 在，1)上单调递减

D. 若，不等式恒成立，则实数的值为0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意求出函数解析式，求函数值判断A，计算判断B，根据解析式判断C，根据分离参数及分类讨论的方法，利用极限思想求函数最值，可判断D.

【详解】由题意知，，两边取以为底的对数，故，

，故A正确；

，1)时，，故B错误；

当时，是增函数，所以为减函数，故C正确；

当时，，由恒成立可得恒成立，即，而时，，令，当时，，所以，同理，当时，，由不等式恒成立可得，此时，，时，所以，所以需满足，即，故D正确.

故选：ACD

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数的定义域为________．

【答案】

【解析】

【分析】由被开方数非负，解不等式可得答案

【详解】由，得，，

解得，

所以函数的定义域为

故答案为：

14. 求值：________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可.

【详解】原式=

故答案为：2

15. 已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意知，，

即，

化简得，

则

故答案为：1

16. 函数的最小值为________．

【答案】##

【解析】

【分析】设，则，其中，则原式化为，整理后利用基本不等式可求得答案

【详解】设，则，其中，

原式可化为

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式，并求出其单调减区间；

（2）当时，求满足不等式的实数的集合．

【答案】（1），单调减区间：   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图象得出振幅，周期，再由特殊点求出初相，即可求出解析式，根据正弦函数的单调性求出单调区间；

（2）根据正弦函数性质，解正弦不等式即可

【小问1详解】

由图可知，，

，

，

故，

令，

，

故单调减区间：；

【小问2详解】

，

，

又，

故的取值集合为．

18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，根据函数为偶函数求解；

（2）由函数解析式确定函数的单调性，再由偶函数性质建立不等式求解即可.

【小问1详解】

当时，则，

又是偶函数，故；

【小问2详解】

当时，单调递增，时，单调递减，

且函数为偶函数，

故，

即．

化简得，

解得，

故不等式的解集为.

19. 已知．

（1）若是第三象限角，且，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简后，再由同角三角函数的平方关系求出，代入求值即可；

（2）根据，化简变形可整体求出得解.

【小问1详解】

由诱导公式可知，

因为是第三象限角，故，

故；

【小问2详解】

＝－3

故

20. 一半径为的水轮(如图所示)，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间．

（1）将点到水面距离(单位：，在水下，则为负数)表示为时间(单位：)的函数；

（2）点第一次到达最高点大约需要多长时间？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出角速度、振幅得，令求得，从而得到；

（2）令，则，再根据的范围得到答案．

【小问1详解】

由题意知，每分钟逆时针转3圈，即转动弧度，所以角速度，水轮半径为4，所以振幅为4，故，

时，，所以，所以，

【小问2详解】

令，则，

所以，所以，

，

所以点第一次到达最高点需．

21. 已知函数(其中为常数)．

（1）若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用因式分解得到函数的两个零点，根据所处范围得到不等式组，求得答案；

（2）根据函数的零点，采用分类讨论的方法，即讨论两零点的大小关系，再根据要使得在区间上单调递增，列出相应的不等关系，解得答案.

【小问1详解】

，

因为有两个不同的零点所以，令，则，

所以,解得所以，且，

所以的取值范围为．

【小问2详解】

y，

当时，，

所以时，在上单调递增成立；

当时，，

所以时，在上单调递增成立，

当时，，

此时在和上单调递增，又，

所以在上单调递增，则，

解得；

当时，，所以上单调递减，不满足；

当时，，

此时在上单调递增，又，

所以在上单调递增，则，

解得，

综上的取值范围为．

22. 悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）已知函数，若对任意的，总存在不同的，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用单调性化简方程为有解，分离参数，求出函数的值域即可得解；

（2）利用单调性的定义证明的单调性，再由偶函数性质得出的值域，再分析的取值范围，即可建立不等式求解.

【小问1详解】

，

所以在上单调递增，

又，所以是上的奇函数，

，即，

故，

所以，所以，

所以，

令上单调递增，，

所以在上单调递减，

所以．

【小问2详解】

任取，且，

则，

所以在上单调递增．

又是偶函数，

所以时．

所以时，，当且仅当时取“"，

，且时，，

当时，时，，

且在上连续，

所以的取值范围为，

因为对任意的，总存在不同的，使得成立，

所以,所以，解得，

即的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：方程有解问题可转化为两个函数值域的包含关系问题，本题转化后，的取值范围为，故对任意的，总存在不同的，使得成立，可建立不等式求解.