黑龙江省佳木斯实验中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷

2021-2022学年黑龙江省佳木斯实验中学高一（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知：，，则是的条件(    )

A. 既不充分又不必要 B. 充要
C. 必要不充分 D. 充分不必要

3. 下列函数在区间上不是单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，则的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数的零点所在的大致范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数且恒过定点，且满足，其中，是正实数，则的最小值(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 实数，，，满足：，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 关于命题：“，”，下面结论中正确的是(    )

A. 是一个真命题
B. 是一个假命题
C. 的否定：“，”
D. 的否定：“，”

11. 下列函数中，最小值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 下列说法正确的是(    )

A. 当时，的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点，
C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
D. 若幂函数在区间上单调递减，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角是______ 弧度．
14. 函数的定义域为______．
15. 已知函数，有如下结论：
    的一个周期为；
    的图像关于直线对称；
    的一个零点为；
    在单调递减．
    其中正确的是______．
16. 已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    求值：
    ．
18. 本小题分
    已知，
    求的值；
    求．
19. 本小题分
    已知．
    写出的最小正周期及的值；
    求的单调递增区间及对称轴．
20. 本小题分
    暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过，则每位同学需交费用元；若夏令营人数超过，则营员每多人，每人交费额减少元即：营员人时，每人交费元，营员人时，每人交费元，以此类推，直到达到满额人为止．
    写出夏令营每位同学需交费用单位：元与夏令营人数之间的函数关系式；
    当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？
21. 本小题分
    已知是定义在上的奇函数，且时，．
    求的解析式并画出函数的图像；
    利用所画图像判断函数的单调性并解关于不等式：．
22. 本小题分
    ，，．
    求值以及函数的定义域；
    求函数在区间上的最小值；
    求函数的单调递增区间．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用交集定义直接求解．

【解答】

解：集合，，
．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分式不等式的解法及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
解分式不等式，根据充分条件、必要条件的概念，从而判断选项．

【解答】

解：，
，
是的充分不必要条件．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：对于：函数在上单调递增，
对于：函数在上单调递减，
对于：函数在上单调递增，
对于：函数在上单调递增，
故选：．
逐个判断每个选项中函数的单调性，即可得出答案．
本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：；
．
故选：．
可变形原解析式得出，将换上即可得出的解析式．
考查函数解析式的定义及求法，换元求函数解析式的方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
则．
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可比较大小．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于函数在上是连续函数，由于，，
故，
故函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
函数在上是连续函数，根据，可得零点所在的大致区间．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数且，
令得，，此时，
定点，
，，
又，是正实数，
，当且仅当即时，等号成立，
故选：．
令，结合，可得定点，所以，再利用“的代换”结合基本不等式即可求出的最小值．
本题主要考查了对数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
先根据奇偶函数的性质求出，再根据，可得，结合复合函数定义域，求出解集．

【解答】

解：是定义在上的偶函数，
，
，
函数在上为增函数，
函数在上为增函数，
故函数在上为减函数，
则由，可得，
即，求得，
又因为函数定义域为，
故，解得，
综上，的解集为，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：实数，，，满足：，则，
又，
，故A正确；
，，
，故B正确；
，不一定对，例，，，，，故C错误；
，，
，故D正确．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐一判断即可．
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：解：对于，选项，当时，，故A选项错误，选项正确；对于，选项，命题的否定：“，”，故C选项错误，选项正确．
故选：．
根据时，判断，选项，根据全称命题的否定是特称命题判断．
本题考查了对命题真假的判断及否定，全称量词的否定是存在量词，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，对勾函数的图像与性质，属于中档题．
由基本不等式的性质依次对四个选项判断即可．

【解答】

解：对于选项A，，
当且仅当时，等号成立，故正确；
对于选项B，当时，，故不正确；
对于选项C，，，
由对勾函数的性质知，的最小值为，
故不正确；
对于选项D，，
当且仅当时，等号成立，
故正确；
故选AD．

12.【答案】 

【解析】解：当时，的图象是一条直线上去掉一个点，故A错误；
由于幂函数的图象不经过过，故B错误；
由于当时，幂函数，不可能，故幂函数的图象不可能出现在第四象限，故C正确；
若幂函数在区间上单调递减，则，故D正确，
故选：．
由题意利用幂函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径为，圆心角为，
则扇形的弧长为，
扇形的面积为，
解得，，
所以扇形的圆心角为．
故答案为：．
设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的弧长和扇形公式列方程组求出的值．
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
解得，
即函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：对于函数，它的最小正周期为，故正确；
令，求得，为最小值，故它的图像关于直线对称，故正确；
令，求得，可得的一个零点为，故正确；
在上，，函数没有单调性，故错误，
故答案为：．
由题意，利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：不等式，对于恒成立，
所以设，，
则，对于恒成立，
即，于恒成立，
所以，
即，
解得或，
即或，
解得或，
综上，的取值范围为．
设，，则，对于恒成立，问题转化为，于恒成立，即，即可解得答案．
本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：
；
． 

【解析】本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算性质，属于中档题．
运用指数幂的运算性质求解．
运用对数的运算性质求解．
 

18.【答案】解：由已知，
化简得，
整理得，
；
，
又，
上式可化简为． 

【解析】由已知弦化为正切，求出的值；
先用诱导公式化简，再弦化正切，从而求出结果．
本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
 

19.【答案】解：由，可得函数的周期为，
则．
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
令，，解得，，
故的对称轴为，． 

【解析】根据已知条件，结合周期公式，以及将代入，即可求解．
根据已知条件，结合正弦函数的单调性，以及对称轴的性质，即可求解．
本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知每人需交费关于人数的函数：
；
旅行社收入为，则，
即，
当，时，为增函数，所以，
当，时，为开口向下的二次函数，对称轴，所以在对称轴处取得最大值，．
综上所述：当人数为人时，最大收入为元． 

【解析】由题意可知每人需交费关于人数的函数：；
旅行社收入为，则，即，分段求的最大值，再比较即可．
本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
 

21.【答案】解：设，则，所以，
又因为是奇函数，所以，
显然，
所以，
作图如下：
由图像知函数在上是增函数，
，
因为是奇函数，所以，
，
又是增函数，，解得，
所以解集是． 

【解析】结合奇函数的性质先求出，然后结合奇函数定义可求时函数解析式，进而可求函数解析式；
先判断函数单调性，然后结合单调性及奇偶性可求不等式．
本题主要考查了奇函数的定义及性质在求解函数解析式中的应用，还考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
解得，
故，由，
解得，故函数的定义域是；
由得，
令，
得，则原函数为，
由于该函数在上单调递减，所以，
因此，函数在区间上的最小值是；
由得，
令，，的对称轴是，
故在递增，在递减，
所以在递增，在递减，
故函数单调递增区间为． 

【解析】根据，求出的值，根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
令，根据二次函数的性质及的单调性，即可求出函数的最小值；
由复合函数的单调性求解即可．
本题考查了函数的定义域、单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及对数函数的性质，属于中档题．