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专题 18.8 三角形的中位线（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.8 三角形的中位线（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的面积问题，与三角形中位线有关的证明，与三角形中位线有关的应用等内容，欢迎下载使用。
专题 18.8 三角形的中位线（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
1．如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为2，4，H、Q分别为线段、的中点，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．
3．如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（ ）．
A．4 B．10 C．6 D．8
4．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．9
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
5．如图，在中，分别是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，在△ABC中，DE为中位线，连CD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BC＝2DE
B．∠EDC＝∠BCD
C．S△ADC＝S△BDC
D．C△ABC＝2C△DEC（代表周长）
8．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则四边形AFDG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
类型三、与三角形中位线有关的证明
9．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
10．如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（ ）
A． B．
C．和互相平分 D．以上答案都不对
11．如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．8
类型四、与三角形中位线有关的应用
13．东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．24米 C．27米 D．32米
14．图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线（图中虚线）剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为（ ）
A．6cm B．4cm C．（4+2）cm D．（4+）cm
15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
16．如图，在中，，，分别是，的中点，，，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、 填空题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
17．如图，中，对角线交于点O，E为边的中点，连结，若，则OE=_______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝9，则EF的长为___．
19．如图，在中，，是的角平分线，是中点，连接，若，则______．
20．如图，在中，、分别是、的中点，连结．若，则______．
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
21．如图，在△中，，分别是，的中点，是边上的一个动点，连结，，．若△的面积的为18，则△的面积是____．
22．如图，在中，为中线，和分别为和的一条高．若，，，则__________．
23．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．
24．如图，△ABC的中位线DE＝6cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_____cm2．
类型三、与三角形中位线有关的证明
25．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使BD＝3CD，连接DM、DN、MN，若AB＝5，则DN＝________．
26．如图，在中，，点，分别是、的中点，点在上，且，当时，的长是______．
27．如图，点，，分别是的边，，的中点，如果，那么等于______．
28．如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______．
类型四、与三角形中位线有关的应用
29．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为________．
30．在湖的两侧有，两个消防栓，为测定它们之间的距离，小东在岸上任选一点，并量取了中点和中点之间的距离为18米，则，之间的距离为_________米．
三、解答题
31．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
32．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证：
33．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
34．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
2．C
【分析】
先根据三角形中位线定理得到，然后利用正方形的性质和勾股定理求出DE即可.
【详解】
解：∵H、Q分别为线段DF、EF的中点，
∴HQ为三角形FDE的中位线，
∴，
∵点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，4，
∴AD=AB=2，BE=4，∠A=90°，
∴AE=AB+BE=6，
∴，
∴，
故选C.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．B
【分析】
根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD//BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ==10，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．C
【分析】
根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【详解】
解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质易得所求三角形的三边，判断出形状后可直接求得面积．
【详解】
：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，
∴EF= AB，DE=AC，DF=BC，
又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，
而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．
∴△EDF为直角三角形，
∴S△EDF=DE•DF=×3×4=6（cm2）．
故选：A
【点拨】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质；要注意，根据三角形中位线定理解得所求三角形三边的长后要先判断三角形的形状，不要盲目求解．
6．B
【分析】
根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
【详解】
，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选B
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
7．D
【分析】
由在△ABC中，DE为中位线，可得DE∥BC，DE=，即BC=2DE，可判断选项A；由DE∥BC，内错角相等可得∠EDC=∠BCD，可判断选项B；由DE为△ABC的中位线，可得D为AB中点，可得AD=BD，过C作CH⊥AB于H，由CH是△BCD的高，也是△ACD的高，根据三角形面积等底同高可得S△ADC= S△BDC，可判断选项C；由CD为AB边中线，当∠ACB=90°，或∠ACB≠90°时，分类考虑C△ABC= 2C△DEC，或C△ABC≠2C△DEC，可判断选项D．
【详解】
解：∵在△ABC中，DE为中位线，
∴DE∥BC，DE=，
∴BC=2DE，
∴选项A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
故选项B正确，不符合题意；
∵DE为△ABC的中位线，
∴D为AB中点，
∴AD=BD，
过C作CH⊥AB于H，
∴CH是△BCD的高，也是△ACD的高，
∴S△ADC＝，
S△BDC=，
∴S△ADC= S△BDC，
故选项C正确，不符合题意；
∵CD为AB边中线，
当∠ACB=90°时，
∴AB=2CD，
∵BC=2DE，点E为AC中点，
∴AC=2EC，
∵C△ABC=AB+BC+CA=2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC= 2C△DEC，
当∠ACB≠90°时，
AB≠2CD，
∴C△ABC=AB+BC+CA≠2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC≠2C△DEC，
∴选项D的结论不一定成立，符合题意．
故选择D．
【点拨】本题考查三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系，掌握三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系是解题关键．
8．D
【分析】
根据中线的性质，可得的面积=的面积的面积的面积的面积，的面积=的面积，相加可得结果．
【详解】
解：点，，，分别是，，，的中点，
是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
的面积=的面积的面积的面积的面积，
同理可得的面积=的面积，
∴四边形AFDG的面积==6，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
9．C
【分析】
连接AG，根据三角形中位线定理可得EF= AG，因此线段EF的长不变．
【详解】
解：如图，连接AG，
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF= AG，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．
10．C
【分析】
连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】
解：如图，连接FD，ED，
∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；
根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，
故选C．
【点拨】本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．C
【分析】
根据三角形中位线的性质得到、、、，再根据平行四边形的判定条件，即可求解．
【详解】
解：已知点D、F、E分别是△ABC的边AB、CA的中点，
∴且，且
∴四边形、四边形和四边形为平行四边形，
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握中位线的性质以及平行四边形的判定是解题的关键．
12．C
【分析】
根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形EBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质性质定理解答即可．
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴EF＝BC＝4，
故选：C．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，关键是三角形中位线定理．
13．C
【分析】
根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可．
【详解】
解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝AC＝12米，BC＝10米，
∴EF＝BC＝5（米），BE＝AB＝6（米），CF＝AB＝6（米），
∴需要篱笆的长＝5＋6＋6＋10＝27（米），
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．C
【分析】
计算剪开前△ADE的各边的长度，即可求得拼成的四边形的周长．
【详解】
如图所示：
由题意可得：在图1中，BC＝AC＝2cm，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝DE＝BC＝1cm，
∵△ABC等腰直角三角形，且直角边的长度为2cm，
∴由勾股定理得：（cm），
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝（cm），
∵在图2中，AC＝1cm，
∴四边形的周长为：AB+BD+DE+AE＝AC+BC+BD+DE+AE＝1+2++1+＝（4+2）cm．
故选：C．
【点拨】本题考查图形的割补，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形中位线定理的应用是关键．
15．B
【分析】
根据已知条件可以得到，对选项判断即可求出解．
【详解】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B．
【点拨】此题考查了中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握有关性质即判定方法是解题的关键．
16．C
【分析】
首先根据DE是△ABC的中位线得出BC＝2DE＝6，再由CE是斜边中线，可得出AB＝2CE＝10，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC的长度．
【详解】
解：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝6，
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝10，
在Rt△ABC中，AC＝＝8．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是根据中位线的性质，及直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识求出BC，AB的长度．
17．2
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABC的中位线，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，即点O为AC的中点，
∵E为边的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，平形四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到点O为AC的中点是解题的关键．
18．9
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，CD=9，
∴AB=2CD=2×9=18，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
19．6
【分析】
根据等腰三角形三线合一可得D为BC的中点，再结合E为AC的中点，可得DE为△ABC的中位线，从而可求得AB的长度．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，能正确识图，判断DE为△ABC的中位线是解题关键．
20．8
【分析】
由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8．
故答案为： 8．
【点拨】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
21．4.5
【分析】
连接BE，根据三角形的面积公式求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积=△DEB的面积，得出答案．
【详解】
解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18cm2，
∴△AEB的面积=×△ABC的面积=9（cm2），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积=×△AEB的面积=4.5（cm2），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF的面积=△DEB的面积=4.5（cm2），
故答案为：4.5．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
22．2
【分析】
由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【详解】
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴•AB•ED=•AC•DF，
∴×3×ED=×4×1.5，
∴ED=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个点．
23．90
【分析】
由，点M是的中点，AM=BM=AB=6，分别用含代数式表示面积S正方形APCD，S正方形PBE，S△AMD，S△MBE，阴影面积为S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME求出即可．
【详解】
点M是的中点，，AM=BM=AB=6，
S正方形APCD=AP2=，S正方形PBEF=PB2=，S△AMD=，
S△MBE=，
S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME，
=，
．
故答案为90．
【点拨】本题考查动点图形的面积问题，掌握求面积的方法，会求正方形面积，三角形面积，熟悉面积公式，会用割法求面积是解题关键．
24．48
【分析】
根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．
【详解】
解：连接AF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE＝12cm；
由折叠的性质可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝BC×AF＝×12×8＝48cm2．
故答案为：48．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．
25．
【分析】
根据中位线定理，可得，，由已知可得，即可得证四边形是平行四边，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得，进而求得．
【详解】
如图，连接，
M，N分别是AB、AC的中点，
，，
,，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
∠ACB＝90°，M是AB的中点，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，掌握以上性质定理是解题的关键．
26．12
【分析】
延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长AF交BC于H，
∵AF⊥BF，D是AB的中点，
∴DF=AB=4，
∵DF=2EF，
∴EF=2，
则DE=DF+EF=6，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
27．50°
【分析】
根据三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质即可求得，从而求得．
【详解】
，，分别是的边，，的中点，
是的中位线
，，
故答案为：
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
28．
【分析】
根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．
【详解】
解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP=EC，
NP是ΔDBC的中位线
∴NP=BD，
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34∘
∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘
故答案位：112°
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．
29．100cm
【分析】
确定出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】
解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝2×50＝100cm．
故答案为：100cm．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
30．36
【分析】
连接AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
连接AB，
∵D、E分别是线段CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×18=36（米），
故答案为：36．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
31．证明见解析
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE∥BF，DE＝AB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF的形状．
【详解】
证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
32．证明见解析．
【分析】
先根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
证明：∵点分别为的中点，
是的中位线，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
33．（1）详见解析；（2）BA，QC，三角形的中位线定理
【分析】
（1）根据要求画出图形．
（2）利用三角形的中位线定理证明即可．
【详解】
解：（1）直线PQ即为所求．
（2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝QC．
∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．
故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）CO＝2OE，见解析
【分析】
（1）作的垂直平分线得到的中点；
（2）利用为的中位线，则，，然后根据平行线分线段成比例可得到．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求；
（2）．
理由：连接．如图，
、分别是、上的中线，
为的中位线，
，，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了基本作图．掌握中位线定理是解题关键 ．
专题 18.8 三角形的中位线（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
1．如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为2，4，H、Q分别为线段、的中点，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．
3．如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（ ）．
A．4 B．10 C．6 D．8
4．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．9
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
5．如图，在中，分别是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，在△ABC中，DE为中位线，连CD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BC＝2DE
B．∠EDC＝∠BCD
C．S△ADC＝S△BDC
D．C△ABC＝2C△DEC（代表周长）
8．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则四边形AFDG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
类型三、与三角形中位线有关的证明
9．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
10．如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（ ）
A． B．
C．和互相平分 D．以上答案都不对
11．如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．8
类型四、与三角形中位线有关的应用
13．东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．24米 C．27米 D．32米
14．图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线（图中虚线）剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为（ ）
A．6cm B．4cm C．（4+2）cm D．（4+）cm
15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
16．如图，在中，，，分别是，的中点，，，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、 填空题
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
17．如图，中，对角线交于点O，E为边的中点，连结，若，则OE=_______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝9，则EF的长为___．
19．如图，在中，，是的角平分线，是中点，连接，若，则______．
20．如图，在中，、分别是、的中点，连结．若，则______．
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
21．如图，在△中，，分别是，的中点，是边上的一个动点，连结，，．若△的面积的为18，则△的面积是____．
22．如图，在中，为中线，和分别为和的一条高．若，，，则__________．
23．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．
24．如图，△ABC的中位线DE＝6cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_____cm2．
类型三、与三角形中位线有关的证明
25．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使BD＝3CD，连接DM、DN、MN，若AB＝5，则DN＝________．
26．如图，在中，，点，分别是、的中点，点在上，且，当时，的长是______．
27．如图，点，，分别是的边，，的中点，如果，那么等于______．
28．如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______．
类型四、与三角形中位线有关的应用
29．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为________．
30．在湖的两侧有，两个消防栓，为测定它们之间的距离，小东在岸上任选一点，并量取了中点和中点之间的距离为18米，则，之间的距离为_________米．
三、解答题
31．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
32．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证：
33．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
34．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
2．C
【分析】
先根据三角形中位线定理得到，然后利用正方形的性质和勾股定理求出DE即可.
【详解】
解：∵H、Q分别为线段DF、EF的中点，
∴HQ为三角形FDE的中位线，
∴，
∵点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，4，
∴AD=AB=2，BE=4，∠A=90°，
∴AE=AB+BE=6，
∴，
∴，
故选C.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．B
【分析】
根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD//BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ==10，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．C
【分析】
根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【详解】
解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质易得所求三角形的三边，判断出形状后可直接求得面积．
【详解】
：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，
∴EF= AB，DE=AC，DF=BC，
又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，
而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．
∴△EDF为直角三角形，
∴S△EDF=DE•DF=×3×4=6（cm2）．
故选：A
【点拨】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质；要注意，根据三角形中位线定理解得所求三角形三边的长后要先判断三角形的形状，不要盲目求解．
6．B
【分析】
根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
【详解】
，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选B
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
7．D
【分析】
由在△ABC中，DE为中位线，可得DE∥BC，DE=，即BC=2DE，可判断选项A；由DE∥BC，内错角相等可得∠EDC=∠BCD，可判断选项B；由DE为△ABC的中位线，可得D为AB中点，可得AD=BD，过C作CH⊥AB于H，由CH是△BCD的高，也是△ACD的高，根据三角形面积等底同高可得S△ADC= S△BDC，可判断选项C；由CD为AB边中线，当∠ACB=90°，或∠ACB≠90°时，分类考虑C△ABC= 2C△DEC，或C△ABC≠2C△DEC，可判断选项D．
【详解】
解：∵在△ABC中，DE为中位线，
∴DE∥BC，DE=，
∴BC=2DE，
∴选项A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
故选项B正确，不符合题意；
∵DE为△ABC的中位线，
∴D为AB中点，
∴AD=BD，
过C作CH⊥AB于H，
∴CH是△BCD的高，也是△ACD的高，
∴S△ADC＝，
S△BDC=，
∴S△ADC= S△BDC，
故选项C正确，不符合题意；
∵CD为AB边中线，
当∠ACB=90°时，
∴AB=2CD，
∵BC=2DE，点E为AC中点，
∴AC=2EC，
∵C△ABC=AB+BC+CA=2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC= 2C△DEC，
当∠ACB≠90°时，
AB≠2CD，
∴C△ABC=AB+BC+CA≠2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC≠2C△DEC，
∴选项D的结论不一定成立，符合题意．
故选择D．
【点拨】本题考查三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系，掌握三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系是解题关键．
8．D
【分析】
根据中线的性质，可得的面积=的面积的面积的面积的面积，的面积=的面积，相加可得结果．
【详解】
解：点，，，分别是，，，的中点，
是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
的面积=的面积的面积的面积的面积，
同理可得的面积=的面积，
∴四边形AFDG的面积==6，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
9．C
【分析】
连接AG，根据三角形中位线定理可得EF= AG，因此线段EF的长不变．
【详解】
解：如图，连接AG，
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF= AG，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．
10．C
【分析】
连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】
解：如图，连接FD，ED，
∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；
根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，
故选C．
【点拨】本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．C
【分析】
根据三角形中位线的性质得到、、、，再根据平行四边形的判定条件，即可求解．
【详解】
解：已知点D、F、E分别是△ABC的边AB、CA的中点，
∴且，且
∴四边形、四边形和四边形为平行四边形，
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握中位线的性质以及平行四边形的判定是解题的关键．
12．C
【分析】
根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形EBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质性质定理解答即可．
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴EF＝BC＝4，
故选：C．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，关键是三角形中位线定理．
13．C
【分析】
根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可．
【详解】
解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝AC＝12米，BC＝10米，
∴EF＝BC＝5（米），BE＝AB＝6（米），CF＝AB＝6（米），
∴需要篱笆的长＝5＋6＋6＋10＝27（米），
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．C
【分析】
计算剪开前△ADE的各边的长度，即可求得拼成的四边形的周长．
【详解】
如图所示：
由题意可得：在图1中，BC＝AC＝2cm，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝DE＝BC＝1cm，
∵△ABC等腰直角三角形，且直角边的长度为2cm，
∴由勾股定理得：（cm），
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝（cm），
∵在图2中，AC＝1cm，
∴四边形的周长为：AB+BD+DE+AE＝AC+BC+BD+DE+AE＝1+2++1+＝（4+2）cm．
故选：C．
【点拨】本题考查图形的割补，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形中位线定理的应用是关键．
15．B
【分析】
根据已知条件可以得到，对选项判断即可求出解．
【详解】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B．
【点拨】此题考查了中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握有关性质即判定方法是解题的关键．
16．C
【分析】
首先根据DE是△ABC的中位线得出BC＝2DE＝6，再由CE是斜边中线，可得出AB＝2CE＝10，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC的长度．
【详解】
解：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝6，
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝10，
在Rt△ABC中，AC＝＝8．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是根据中位线的性质，及直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识求出BC，AB的长度．
17．2
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABC的中位线，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，即点O为AC的中点，
∵E为边的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，平形四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到点O为AC的中点是解题的关键．
18．9
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，CD=9，
∴AB=2CD=2×9=18，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
19．6
【分析】
根据等腰三角形三线合一可得D为BC的中点，再结合E为AC的中点，可得DE为△ABC的中位线，从而可求得AB的长度．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，能正确识图，判断DE为△ABC的中位线是解题关键．
20．8
【分析】
由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8．
故答案为： 8．
【点拨】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
21．4.5
【分析】
连接BE，根据三角形的面积公式求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积=△DEB的面积，得出答案．
【详解】
解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18cm2，
∴△AEB的面积=×△ABC的面积=9（cm2），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积=×△AEB的面积=4.5（cm2），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF的面积=△DEB的面积=4.5（cm2），
故答案为：4.5．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
22．2
【分析】
由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【详解】
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴•AB•ED=•AC•DF，
∴×3×ED=×4×1.5，
∴ED=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个点．
23．90
【分析】
由，点M是的中点，AM=BM=AB=6，分别用含代数式表示面积S正方形APCD，S正方形PBE，S△AMD，S△MBE，阴影面积为S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME求出即可．
【详解】
点M是的中点，，AM=BM=AB=6，
S正方形APCD=AP2=，S正方形PBEF=PB2=，S△AMD=，
S△MBE=，
S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME，
=，
．
故答案为90．
【点拨】本题考查动点图形的面积问题，掌握求面积的方法，会求正方形面积，三角形面积，熟悉面积公式，会用割法求面积是解题关键．
24．48
【分析】
根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．
【详解】
解：连接AF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE＝12cm；
由折叠的性质可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝BC×AF＝×12×8＝48cm2．
故答案为：48．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．
25．
【分析】
根据中位线定理，可得，，由已知可得，即可得证四边形是平行四边，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得，进而求得．
【详解】
如图，连接，
M，N分别是AB、AC的中点，
，，
,，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
∠ACB＝90°，M是AB的中点，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，掌握以上性质定理是解题的关键．
26．12
【分析】
延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长AF交BC于H，
∵AF⊥BF，D是AB的中点，
∴DF=AB=4，
∵DF=2EF，
∴EF=2，
则DE=DF+EF=6，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
27．50°
【分析】
根据三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质即可求得，从而求得．
【详解】
，，分别是的边，，的中点，
是的中位线
，，
故答案为：
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
28．
【分析】
根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．
【详解】
解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP=EC，
NP是ΔDBC的中位线
∴NP=BD，
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34∘
∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘
故答案位：112°
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．
29．100cm
【分析】
确定出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】
解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝2×50＝100cm．
故答案为：100cm．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
30．36
【分析】
连接AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
连接AB，
∵D、E分别是线段CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×18=36（米），
故答案为：36．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
31．证明见解析
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE∥BF，DE＝AB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF的形状．
【详解】
证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
32．证明见解析．
【分析】
先根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
证明：∵点分别为的中点，
是的中位线，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
33．（1）详见解析；（2）BA，QC，三角形的中位线定理
【分析】
（1）根据要求画出图形．
（2）利用三角形的中位线定理证明即可．
【详解】
解：（1）直线PQ即为所求．
（2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝QC．
∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．
故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）CO＝2OE，见解析
【分析】
（1）作的垂直平分线得到的中点；
（2）利用为的中位线，则，，然后根据平行线分线段成比例可得到．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求；
（2）．
理由：连接．如图，
、分别是、上的中线，
为的中位线，
，，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了基本作图．掌握中位线定理是解题关键 ．
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