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中考总复习数学（河北地区）3第三章函数及其图象课件
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这是一份中考总复习数学（河北地区）3第三章函数及其图象课件，共60页。PPT课件主要包含了考点1，x1y1，相反数，a2-a1，b2-b1，a-b，-ab，-a-b，-b-a，考点2等内容，欢迎下载使用。
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征考点2 函数考点3 函数的表示方法及图象的画法
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
2.特殊位置上点的坐标特征
第一、三象限的角平分线上点的横、纵坐标相等,即⑥ ; 第二、四象限的角平分线上点的横、纵坐标互为⑦ ,即x2=-y2.
3.平面直角坐标系中的距离
(1)点P(a,b)到x轴的距离为⑩ ; (2)点P(a,b)到y轴的距离为⑪ ; (3)点P(a,b)到原点的距离为⑫ ; (4)在x轴上或平行于x轴的直线上的两点P1(a1,b),P2(a2,b)间的距离为⑬ ; (5)在y轴上或平行于y轴的直线上的两点P1(a,b1),P2(a,b2)间的距离为⑭ ; *(6)任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)所连线段的中点坐标为 ;*(7)任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)间的距离P1P2= .
4.特殊位置上点的坐标特征
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为⑮ ; 点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为⑯ ; 点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为⑰ ; 点P(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为⑱ ; 点P(a,b)关于直线y=-x对称的点的坐标为⑲ .
5.点平移的坐标特征(m>0,n>0)
P(a,b)向上平移n个单位长度得到的点的坐标是(a,b+n);P(a,b)向下平移n个单位长度得到的点的坐标是(a,b-n);P(a,b)向左平移m个单位长度得到的点的坐标是(a-m,b);P(a,b)向右平移m个单位长度得到的点的坐标是(a+m,b).
2.函数自变量的取值范围
函数的表示方法及图象的画法
列表法、㉔ 、图象法.
1.函数的三种表示方法:
2.函数图象的画法:列表、描点、连线.注意:画一次函数的图象时,描出两点即可;画抛物线时需至少描出五个点.
高分突破·微专项1 函数图象的分析与判断
突破点1 根据实际问题判断函数图象突破点2 分析几何问题识别函数图象突破点3 由函数图象解决几何问题
根据实际问题判断函数图象
判断符合实际问题的函数图象的一般步骤:1.明确“两轴”所表示的意义.2.找特殊点,即交点或转折点. 3.判断图象趋势:从左至右向上倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而增大;与x轴平行的直线表示函数值不随自变量的变化而变化;从左至右向下倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而减小.4.看是否与坐标轴相交,若相交,则表示此时有一个量为0.
例1 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家,离开公园20分钟后,爷爷停下来与朋友聊天10分钟,接着又走了15分钟回到家中.下面图象中表示爷爷离家的距离y(米)与爷爷离开公园的时间x(分钟)之间的函数关系的是 ( )
【思路分析】先根据题意分析y随x的增大是如何变化的,再看哪一个图象符合上述变化特点,从而作出判断.
分析几何问题识别函数图象
分析几何图形中的动态问题判断函数图象的方法:1.判断趋势法根据题意分段,判断每段函数值的增减变化趋势,从而寻找相应图象.2.求解析式法根据题意求出每段函数图象的解析式,结合函数的图象与性质即可得到答案.3.定点排除法从选项中各图象的关键转折点入手,对应动点运动情况进行排除.
例2 如图,正方形ABCD的边长为4,点P,Q分别是CD,AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,到点Q时停止运动,点E,F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x之间的函数关系的图象是( )
由函数图象解决几何问题
分析函数图象解决几何问题的步骤:1.分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围;2.找出分段函数的特殊点(转折点、函数图象与坐标轴的交点等);3.根据特殊点的坐标求出相关的几何量,进而解决问题.
例3 如图(1),在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y(当P,A,B三点共线时,不妨设y=0),若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则矩形ABCD的面积为________.
【思路分析】通过分析图象可知,当0≤x≤4时,点P在AB上;当4
考点1 一次函数与正比例函数的一般形式考点2 一次函数与正比例函数的图象与性质考点3 一次函数解析式的确定(含平移)考点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系
第一课时 一次函数基础题命题角度1 一次函数的图象与性质命题角度2 一次函数解析式的确定命题角度3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 第二课时 一次函数综合题命题角度4 一次函数综合题——面积问题命题角度5 一次函数综合题——参数问题
一次函数与正比例函数的一般形式
注意:正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数与正比例函数的图象与性质
k,b符号的确定方法1.一次函数图象从左向右看:呈上升趋势⇔k>0;呈下降趋势⇔k<0.2.一次函数的图象与y轴的交点:在正半轴⇔b>0;在负半轴⇔b<0.
一次函数解析式的确定(含平移)
2.一次函数图象的平移
图象的平移规律可简记为:左加右减,上加下减.
一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.与一次方程的关系:方程kx+b=0的解⇔直线y=kx+b与x轴交点的⑨ ; 2.与二元一次方程组的关系:方程组 的解⇔直线y=kx+b与直线y=k1x+b1的⑩ .
1.不等式kx+b>0的解集⇔直线y=kx+b位于x轴⑪ 方的部分对应的自变量的取值范围; 2.不等式kx+b<0的解集⇔直线y=kx+b位于x轴下方的部分对应的自变量的取值范围;3.不等式⑫ 的解集⇔直线y=kx+b位于直线y=k1x+b1上方的部分对应的自变量的取值范围.
一次函数与一次方程（组）的关系
一次函数与一元一次不等式的关系
kx+b>k1x+b1
课时一 一次函数基础题
例1 已知函数y=kx+b(k,b为常数).(1)当b= 时,函数y=kx+b是正比例函数. (2)若函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则k 0,b 0(填“>”“<”或“=”). (3)若k=b-1,则函数y=kx+b的图象恒过点 . (4)若该函数图象是由直线y=2x向左平移2个单位长度得到的,则①该函数的解析式是 ; ②已知点A(m,n),B(m+1,t)均在该函数的图象上,则n t(填“>”“<”或“=”); ③若直线l'与该函数图象关于x轴对称,则直线l'的解析式是 ; ④若直线y=-x+e与该函数图象的交点D在第二象限,则e的取值范围是 ; ⑤在④中,若点D的纵坐标是2,直线y=kx+b与直线y=-x+e分别交x轴于点E,F,则不等式kx+b>-x+e的解集为 ,S△DEF= .
根据一次函数y=kx+b的图象或性质判断k,b的符号的方法1.已知函数值随着自变量的增大而变化的规律,可以推测k的符号.当函数值随着自变量的增大而增大时,k>0;当函数值随着自变量的增大而减小时,k<0.2.一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,b),所以由一次函数的图象与y轴的交点,可以推测b的符号.若一次函数的图象与y轴交于正半轴,则b>0;若一次函数的图象与y轴交于负半轴,则b<0.
一次函数解析式的确定
例2 [2019四川乐山]如图,过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积.
【思路分析】(1)先求点P的坐标,再结合点B的坐标利用待定系数法求直线l1的解析式.(2)先求点C,A的坐标,再结合 进行求解.
解:(1)∵点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴P(-1,2).设直线l1的解析式为y=kx+b,将B(1,0),P(-1,2)分别代入,得 解得 故直线l1的解析式为y=-x+1.(2)易知C(0,1).对于y=2x+4,令y=0,得x=-2,∴A(-2,0),∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC= ×3×2- ×1×1= .
利用待定系数法求一次函数解析式的方法1.求正比例函数的解析式时,只要代入图象上一个点的坐标即可,因为正比例函数只有一个待定系数.2.求一次函数(非正比例函数)的解析式时,需要代入图象上两个点的坐标.3.若已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标,则b值已知,故代入图象上一个点(非与y轴交点)的坐标即可求解.
一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系
【思路分析】(1)原方程组可化为 故方程组的解即为两函数图象交点的坐标,据此求解即可.(2)关于x的不等式组0
1.先确定关键点的坐标.如图,点A即为关键点.2.在关键点左右两侧观察图象的位置.如图,在点A左侧,直线l1在直线l2下侧,则y1y2,故x>xA即为不等式k1x>k2x+b的解集.
课时二 一次函数综合题
一次函数综合题——面积问题
例4[2017河北,24]如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=-5与x轴交于点D,直线 与x轴及直线x=-5分别交于点C,E.点B,E关于x轴对称,连接AB.(1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式.(2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值.(3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为求△AOC的面积,不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现S△AOC≠S,请通过计算解释他的想法错在哪里.
(2)根据面积公式计算即可.(3)通过判断点C不在直线AB上即可求解.
解:(1)把y=0代入 ,得x=-13,∴C(-13,0).把x=-5代入 ,得y=-3,∴E(-5,-3).∵点B,E关于x轴对称,∴B(-5,3).设直线AB的解析式为y=kx+b,则 解得 ∴直线AB的解析式为y= x+5.
(2)∵CD=8,DE=DB=3,OA=OD=5,∴S△CDE= ×8×3=12,S四边形ABDO= ×(3+5)×5=20,∴S=12+20=32.(3)当x=-13时,y= x+5=-0.2≠0,∴点C不在直线AB上,即A,B,C三点不共线,∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.
一次函数面积问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数面积问题的考查形式 (1)求规则图形的面积;(2)求不规则图形(此处的不规则是指图形的边均不与坐标轴平行或重合)的面积;(3)已知两个三角形的面积比,求点的坐标或边所在直线的解析式.2.解决一次函数面积问题的一般思路(1)求规则图形的面积时,根据解析式求图形顶点的坐标,利用面积公式和数形结合思想直接求解;(2)求不规则图形的面积时,通常采用同底等高法、等底等高法或割补法(分割求和、补形作差)求解;(3)已知两个三角形的面积比,根据同底不等高或同高不等底,将面积的比转化为线段的比,再进行求解.
一次函数综合题——参数问题
例5 如图,正方形ABCD的边长为2,点A的坐标为(0,4),直线l的解析式为y=mx+m(m≠0).(1)直线l经过一个定点,求此定点的坐标.(2)当直线l与正方形ABCD有公共点时,求m的取值范围.(3)直线l能否将正方形面积分成1∶3的两部分?如果能,请直接写出m的值;如果不能,请说明理由.
【思路分析】(1)由y=mx+m=m(x+1),知x=-1时,y=0,从而可得答案.
解:(1)∵y=mx+m=m(x+1),∴不论m为何值,当x=-1时,恒有y=0,故这个定点的坐标为(-1,0).(2)∵正方形ABCD的边长为2,点A的坐标为(0,4),∴B(0,2),C(2,2),D(2,4).当直线l经过点A(0,4)时,易得m=4.当直线l经过点C(2,2)时,易得m= .故当直线l与正方形ABCD有公共点时,m的取值范围是 ≤m≤4.(3)能.m的值为2或 .解法提示:∵正方形ABCD的边长为2,∴正方形的面积为4.分两种情况讨论.
①当直线l过点B时,设直线l与AD的交点为E,则E(1,4),如图(1),则S△ABE= AB·AE= ×2×1=1,∴S△ABE= S正方形ABCD.直线l过点B(0,2),则m=2.故当m=2时,直线l能将正方形面积分成1∶3的两部分.
②当直线l过点D时,易求m= ,直线l截正方形得到的三角形的面积为 .设直线l过线段DC上的点F,BC上的点G时,能将正方形面积分成1∶3的两部分,如图(2).把x=2代入y=mx+m,得y=3m,∴F(2,3m),∴FC=3m-2.把y=2代入y=mx+m,得2=mx+m,
故当m= 时,直线l能将正方形面积分成1∶3的两部分.综上所述,m的值为2或 .
一次函数中参数问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数中的参数问题的考查形式(1)已知一次函数的增减性,求一次函数解析式中的参数的取值范围;(2)求过定点且与某图形有交点的一次函数图象的解析式中参数的取值范围;(3)根据两个一次函数图象的交点的位置,求其中一个一次函数解析式中的参数的值或取值范围.2.解决一次函数中的参数问题的一般思路(1)一次函数y=kx+b中,当y的值随x的值增大而增大时,k>0,且图象必经过第一、三象限;当y的值随x的值增大而减小时,k<0,且图象必经过第二、四象限.(2)若一次函数的图象经过一定点且与某图形有交点,则相当于一次函数图象绕定点旋转,所以首先要确定旋转过程中经过的边界点,再把边界点的坐标代入,即可求出参数的取值范围.(3)已知两个一次函数图象的交点的位置,可用含参数的代数式表示交点的坐标,再根据已知条件求参数的值或取值范围.
第三节 一次函数的实际应用
考点 一次函数的实际应用
命题角度1 一次函数的实际应用——文字、 表格型命题角度2 一次函数的实际应用——图象型
1.利用一次函数解决问题的一般步骤(1)根据题意,设定问题中的变量;(2)建立函数模型(列一次函数解析式);(3)确定自变量的取值范围;(4)利用一次函数的图象与性质解决实际问题.2.利用一次函数解决实际问题的常见类型(1)文字型:根据实际问题中的文字信息建立一次函数模型,利用一次函数的图象与性质解决实际问题;(2)表格型:分析表格中数据,从表格中找出两组数据利用待定系数法求函数解析式;(3)图象型:从函数图象上找出两点,利用待定系数法求解析式;若函数图象为分段函数,注意要取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数解析式,最后注意标明自变量的取值范围.
一次函数的实际应用——文字、表格型
例1[2020浙江绍兴]我国传统的计重工具——秤的应用,方便了人们的生活.如图(1),可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米),秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图(2)中,通过描点、画图的方法,观察判断哪一对是错误的.(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少.
【思路分析】(1)用描点法画出一次函数的图象,观察图象可发现不在直线上的点.(2)利用待定系数法求出一次函数的解析式,由解析式求出当x=16时y的值.
解:(1)描点如图所示,观察图象,可知x=7,y=2.75这组数据错误.(2)设y=kx+b,把(1,0.75),(2,1)分别代入,可得 当x=16时,y=4.5.答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤.
一次函数的实际应用——图象型
例2[2020浙江金华]某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6 ℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:(1)求高度为5百米时的气温.(2)求T关于h的函数表达式. (3)测得山顶的气温为6 ℃,求该山峰的高度.
【思路分析】(1)先求出高度由3百米增加到5百米,气温降低了多少,再由高度为3百米时的气温减去前面所求气温降低值,问题得解.(2)根据待定系数法求解即可.(3)令T=6,列方程,解之即得h的值.
解:(1)由题中图象知,当高度为3百米时,气温为13.2 ℃.由题意得高度增加2百米,气温大约降低2×0.6=1.2(℃). 13.2-1.2=12(℃),∴高度为5百米时的气温大约是12 ℃.(2)设T=kh+b,将(3,13.2),(5,12)分别代入, ∴T=-0.6h+15. (3)当T=6时,6=-0.6h+15, 解得h=15.∴该山峰的高度大约为15百米.
一次函数实际应用问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数实际应用问题(行程、方案等问题)的考查形式(1)利用一次函数模型(可与方程(组)或不等式相结合)或单个一次函数图象解决实际问题;(2)用分段函数(分类讨论)解决实际问题; (3)利用多个函数图象解决实际问题. 2.解决一次函数实际应用问题的一般思路 (1)通过已知条件建立一次函数模型,结合不等式或方程(组),利用一次函数的增减性解决问题;解决单个一次函数图象应用类问题时,要善于寻找图象上点的坐标,正确认识点的坐标的实际意义,再结合题设中的条件进行求解.(2)分段函数的图象是一条折线,解决分段函数问题,关键是将每段的函数图象与所在的区间相对应.分段函数中的“折点”既是两段函数的分界点,又是两段函数的公共点,解题时要注意“折点”表示的实际意义,“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.(3)一题中有多个函数图象时,要关注图象交点的坐标,交点坐标同时满足两个图象的解析式.分析多个函数图象时,还应关注其交点两侧图象的上、下位置关系:同一自变量对应的函数值中,图象在上方的函数值大,图象在下方的函数值小,由此可解决方案选取型问题.
第四节 反比例函数及其应用
考点1 反比例函数的相关概念考点2 反比例函数的图象与性质考点3 反比例函数解析式中|k|的几何意义考点4 反比例函数解析式的确定考点5 反比例函数的应用
命题角度1 反比例函数的图象与性质命题角度2 反比例函数中|k|的几何意义命题角度3 反比例函数的实际应用命题角度4 反比例函数与一次函数、几何图形的综合
1.反比例函数的概念一般地,如果两个变量x,y之间的关系式可以表示为y=①_______(k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数,它的图象是②________.自变量x的取值范围为不等于0的一切实数.
2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数且k≠0)(1)y= ;(2)y=k·x-1;(3)xy=③____.
反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的图象不是连续的曲线,而是两支分布在不同象限的曲线,所以比较函数值的大小时,要注意所判断的点是否在同一象限.2.判断某点是否在反比例函数的图象上,只需判断该点的横、纵坐标之积是否等于k.若等于k,则点在图象上;若不等于k,则不在图象上.
反比例函数解析式中|k|的几何意义
1.|k|的几何意义:在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点P(x,y),如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足分别为点M,N,则矩形PMON的面积S=|xy|=⑪______.
点P与点P'关于原点对称,PA∥y轴,P'A∥x轴
注:其他图形详见“高分突破·微专项3”.
反比例函数解析式的确定
1.利用待定系数法确定
(1)设所求反比例函数的解析式为y= (k≠0);(2)找出此函数图象上一点P(a,b);(3)将P(a,b)代入解析式得k=⑯____.
2.利用反比例函数解析式中|k|的几何意义确定
先根据题中图形面积及|k|的几何意义,求得|k|,再根据函数图象所在象限确定k的符号,从而确定k的值.
实际问题中的反比例函数,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图象会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围.
2.与一次函数结合的综合应用
3.实际问题中常见的反比例函数关系
(1)行程问题:速度= ;(2)工程问题:工作效率= ;(3)电学问题:电阻= ;(4)压强问题:压强= .
例1 已知反比例函数y=- ,有下列结论:①图象必经过点(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④反比例函数的图象关于直线y=x对称;⑤若点(x1,y1),(x2,y2)均在该函数的图象上,且x1>x2>0,则y1
1.图象法:画出函数的图象,在图象上找出各点,再观察函数值的大小.2.利用反比例函数的性质:比较在同一分支上的两个点的函数值时,看函数的增减性;比较在不同分支上的两个点的函数值,看符号.3.特殊值法也是解决此类问题的常用方法.如例1⑤中,设x1=2,x2=1,则y1=-4,y2=-8,∴y1>y2.
例3 实验数据显示:一般成年人喝半斤低度白酒1.5小时后(含1.5小时),血液中的酒精含量y(毫克/百毫升)与饮酒后的时间x(小时)可近似地用反比例函数y= (k≠0)刻画,如图所示.通过测试发现酒后5小时,血液中的酒精含量为45毫克/百毫升.(1)求反比例函数解析式.(2)按国家规定:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升时属于“饮酒驾车”,不能驾驶车辆上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上8:00能否驾车去上班?请说明理由.
【思路分析】(1)根据酒后5小时血液中的酒精含量为45毫克/百毫升,利用待定系数法可求得反比例函数的解析式.(2)先求出晚上20:00到第二天早上8:00共几个小时,再将其作为x的值代入反比例函数的解析式中求得相应y值,将这个y值与20比较后即可得出结论.
解:(1)∵酒后5小时血液中的酒精含量为45毫克/百毫升,即当x=5时,y=45,∴k=5×45=225,故反比例函数的解析式为y= (x≥1.5).(2)第二天早上8:00能驾车去上班.理由:从晚上20:00到第二天早上8:00,共12个小时,将x=12代入y= ,得y= .∵ <20,∴第二天早上8:00能驾车去上班.
反比例函数与一次函数、几何图形的综合
例4 如图,已知A(-4,2),B(n,-4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象的两个交点,且一次函数y=kx+b的图象交x轴于点C.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b- >0的解集.
【思路分析】(1)将点A的坐标代入y= 中,求出m的值,即可确定反比例函数的解析式,再将点B的坐标代入反比例函数的解析式中,求出n的值,最后将点A,B的坐标分别代入y=kx+b中,求出一次函数的解析式;(2)根据“S△AOB=S△ACO+S△OCB”求解即可;(3)不等式kx+b- >0的解集,即为直线y=kx+b位于双曲线y= 上方的部分对应的x的范围.
解:(1)将点A(-4,2)代入反比例函数的解析式,得2= ,解得m=-8,故反比例函数的解析式为y= .将点B(n,-4)代入反比例函数的解析式,得-4=- ,解得n=2,∴点B的坐标为(2,-4).把点A(-4,2),B(2,-4)分别代入一次函数的解析式, 故一次函数的解析式为y=-x-2.(2)对于一次函数y=-x-2,令y=0,得x=-2,∴C(-2,0),∴S△AOB=S△ACO+S△OCB= ×2×2+ ×2×4=6.(3)x<-4或0
高分突破·微专项3 反比例函数中的面积问题
反比例函数中的面积问题
S△AOG=S四边形BGEFS△AOB=S四边形AEFB
第五节 二次函数的图象与性质
考点1 二次函数的概念考点2 二次函数的图象与性质考点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系考点4 二次函数解析式的确定考点5 二次函数图象的变换考点6 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
命题角度1 二次函数的图象与性质命题角度2 二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度3 用待定系数法求二次函数解析式命题角度4 二次函数图象的平移
如果明确指出函数是二次函数,那么就隐含了二次项系数不为0这一重要条件.
一般地,形如y=① (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.特别地,当b=c=0时,y=ax2(a≠0)是二次函数的特殊形式.
2.二次函数解析式常见的三种形式
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,且a≠0),该函数图象的顶点坐标是② ,对称轴是直线x=h; *(3)交点式:y=③ (a,x1,x2为常数,a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
y=a(x-x1)(x-x2)
抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系
二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种,在确定二次函数的解析式时,要根据题中不同的已知条件,设出相应的解析式,再利用待定系数法进行求解.
y=a(x-h)2+k
巧设二次函数解析式的方法
1.若顶点在原点,可设为y=ax2;2.若对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax2+c;3.若顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2;4.若抛物线过原点,可设为y=ax2+bx;5.若已知任意三个点的坐标,可设为y=ax2+bx+c;6.若已知顶点(h,k),可设为顶点式y=a(x-h)2+k;7.若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0),(x2,0),可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
2.二次函数图象的平移中相关面积的计算
S阴影=S▱AOCB=S矩形BODC S阴影=S△OCB=S矩形OABD S阴影=S▱ABDC=S▱BFED
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与㉚ 交点的横坐标.
*2.二次函数与不等式的关系
例1 关于抛物线y=x2+2x-8,有以下说法:①开口向上;②对称轴在y轴的右侧;③与y轴的交点坐标是(0,-8);④与x轴的交点坐标为(-2,0),(4,0);⑤当x>1时,y随x的增大而增大;⑥y有最小值,最小值为-9.其中正确说法的序号是 .
∵c=-8,∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,-8).令x2+2x-8=0,解得x=2或-4,故抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),(-4,0).
求抛物线的对称轴的方法
1.公式法:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=- ;2.配方法:将抛物线的解析式配方成顶点式y=a(x-h)2+k,对称轴为直线x=h;3.根据对称性求解:若抛物线上两点的纵坐标相等,则说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的,对称轴是这两点连线的垂直平分线,即若抛物线过点(x1,n),(x2,n),则对称轴为直线x= .
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
1.代入比较法:若已知二次函数的解析式,可将各点的横坐标代入解析式,求出各点的纵坐标,进而比较大小.2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.
3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下.对于二次函数y=ax2+bx+c:①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).
二次函数图象与系数a,b,c的关系
例2 [2019内蒙古呼和浩特]二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
【思路分析】由直线y=ax+a经过点(-1,0),可排除选项A,B.接着分析如下:
例3[2020湖北襄阳]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时,y随x的增大而减小.其中正确的有 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解有关抛物线与系数a,b,c关系的题的一般步骤
1.先根据抛物线开口方向判断a:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0.2.由a和对称轴的位置判断b:一般规律是“左同右异”,即对称轴在y轴左侧,a,b同号;对称轴在y轴右侧,a,b异号.3.由抛物线与y轴的交点判断c:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0.4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc的符号.
5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac与0的关系:若抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0;若抛物线与x轴有1个交点,则b2-4ac=0;若抛物线与x轴无交点,则b2-4ac<0.6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标;看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标.7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即- >1或- <1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置关系,即- >-1或- <-1,判断2a-b的符号.
用待定系数法求二次函数解析式
例4 [2019湖南永州中考改编]已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1.求此抛物线的解析式.
【思路分析】方法一(交点式):先求出抛物线与x轴的另一个交点,再利用交点式设出抛物线的解析式,最后将点B的坐标代入,即可得解.方法二(顶点式):根据抛物线的对称轴,设出抛物线的顶点式,再将A,B两点的坐标分别代入,即可得解.
解:方法一(交点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点为A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0).设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把B(0,3)代入,得3=-3a,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),即y=-x2-2x+3.方法二(顶点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将A(-3,0),B(0,3)分别代入,故抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
例5 将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为 ( )A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3
【思路分析】方法一:平移前抛物线的顶点坐标为(0,1) 平移后抛物线的顶点坐标为(-1,-1) 平移后抛物线的解析式为y=-5(x+1)2-1.方法二:直接利用“上加下减常数项,左加右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式,即y=-5x2+1 y=-5(x+1)2+1-2.
确定平移后抛物线的解析式的方法
1.平移顶点法(1)将抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,得到顶点坐标(h,k);(2)将点(h,k)平移,得到平移后抛物线的顶点;(3)利用顶点式的求法确定平移后抛物线的解析式.2.平移任意两点法先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.3.直接法针对抛物线的解析式,直接进行“左加右减自变量,上加下减常数项”.如将抛物线y=ax2+bx向右平移h(h>0)个单位,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h);向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线y=ax2+bx-k.
第六节 二次函数的实际应用
考点 二次函数的实际应用
命题角度1 最值问题命题角度2 抛物线形问题
二次函数的实际应用与一次函数、反比例函数的实际应用类似,都是先根据实际问题确定函数关系式,再利用二次函数的图象与性质解决问题.二次函数实际应用题常见类型:(1)最值问题:常见的有最大利润问题、图形面积的最值问题.解题时一般先求出利润、面积等关于自变量的函数解析式,再在自变量的取值范围内求二次函数的最值,同时要注意实际问题的具体要求.(2)抛物线形实际问题:常见的有抛物线形建筑物(桥拱、隧道等)、抛物线形运动轨迹问题.解决此类问题时,一般需要建立合适的平面直角坐标系,求出抛物线对应的函数解析式,再利用二次函数的图象与性质解决问题.
例1 [2020山东潍坊]因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是多少元?(利润=销售价-进价)
【思路分析】(1)利用待定系数法可求出y与x之间的函数表达式;(2)设药店每天获得的利润为w元.先根据“总利润=单桶利润×销售量”求得w关于x的表达式,再利用二次函数的性质求解即可.
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将点(60,100),(70,80)分别代入, 故y与x之间的函数表达式为y=-2x+220.(2)设药店每天获得的利润为w元,由题意得w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800,∵-2<0,∴当x=80时,w取得最大值,最大值是1 800.故每桶消毒液的销售价定为80元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是1 800元.
利用二次函数求最值的一般方法1.根据实际问题或几何图形列出二次函数解析式,并确定自变量的取值范围.2.将二次函数解析式配方成顶点式,并在自变量的取值范围内求出函数的最值.当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,可直接结合二次函数的增减性求最值.
例2 [2020山东青岛]某公司生产的A型活动板房成本是每个425元,图(1)表示A型活动板房的一面墙,它由矩形和抛物线的一部分构成,矩形的长AD=4 m,宽AB=3 m,抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图(1)所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式.(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房,如图(2),在抛物线与AD之间的区域内加装一扇矩形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2 m,求每个B型活动板房的成本是多少.(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本) (3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大?最大利润是多少?
【思路分析】(1)将点D,E的坐标分别代入表达式,求解即可.(2)由GM的长及抛物线的对称性可得点N的横坐标,进而求出MN的长,再由矩形的面积公式求出窗户的面积,从而求出每个B型活动板房的成本.(3)用含n的式子表示出w,并求出n的取值范围,再根据二次函数的性质求最大值即可.
解:(1)由题易知D(2,0),E(0,1).将D(2,0),E(0,1)分别代入y=kx2+m, ∴该抛物线的函数表达式为y=- x2+1.(2)由题意易知点N的横坐标为1.将x=1代入y=- x2+1中,
∴S矩形FGMN=GM×NM= ,∴一扇窗户的成本为 ×50=75(元),∴每个B型活动板房的成本是425+75=500(元).(3)根据题意可知w=(n-500)(100+20× ),整理得w=-2(n-600)2+20 000.∵公司每月最多能生产160个B型活动板房,∴20× ≤60,解得n≥620.易知当n≥600时,w随n的增大而减小,∴当n=620时,w最大,最大值为-2×(620-600)2+20 000=19 200.故将销售单价定为620元时,每月销售B型活动板房所获利润最大,最大利润是19 200元.
第七节 二次函数的简单综合
考点 二次函数的简单综合
命题角度 二次函数的简单综合
二次函数与其他函数、几何图形的综合题,常见的考查点有:(1)确定函数解析式;(2)图形呈特殊形状时确定点的坐标或确定参数的值;(3)讨论线段或图形面积的最值;(4)特定条件下求参数的取值范围;(5)新定义问题.解决此类问题常用的数学思想:数学建模思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等.
解决二次函数的综合应用题的注意事项(1)正确分类讨论;(2)正确画出图形;(3)有逻辑地分析各个量之间的关系,列出方程或函数关系式.
例 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x(x-b)- 与y轴相交于点A,与x轴相交于B,C两点,且点C在点B的右侧,设抛物线的顶点为P.(1)若点B与点C关于直线x=1对称,求b的值.(2)连接BP,CP,若OB=OA,求△BCP的面积.(3)当-1≤x≤1时,该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h,求出h与b的关系式;若h有最大值或最小值,直接写出这个最大值或最小值.
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征考点2 函数考点3 函数的表示方法及图象的画法
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
2.特殊位置上点的坐标特征
第一、三象限的角平分线上点的横、纵坐标相等,即⑥ ; 第二、四象限的角平分线上点的横、纵坐标互为⑦ ,即x2=-y2.
3.平面直角坐标系中的距离
(1)点P(a,b)到x轴的距离为⑩ ; (2)点P(a,b)到y轴的距离为⑪ ; (3)点P(a,b)到原点的距离为⑫ ; (4)在x轴上或平行于x轴的直线上的两点P1(a1,b),P2(a2,b)间的距离为⑬ ; (5)在y轴上或平行于y轴的直线上的两点P1(a,b1),P2(a,b2)间的距离为⑭ ; *(6)任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)所连线段的中点坐标为 ;*(7)任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)间的距离P1P2= .
4.特殊位置上点的坐标特征
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为⑮ ; 点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为⑯ ; 点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为⑰ ; 点P(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为⑱ ; 点P(a,b)关于直线y=-x对称的点的坐标为⑲ .
5.点平移的坐标特征(m>0,n>0)
P(a,b)向上平移n个单位长度得到的点的坐标是(a,b+n);P(a,b)向下平移n个单位长度得到的点的坐标是(a,b-n);P(a,b)向左平移m个单位长度得到的点的坐标是(a-m,b);P(a,b)向右平移m个单位长度得到的点的坐标是(a+m,b).
2.函数自变量的取值范围
函数的表示方法及图象的画法
列表法、㉔ 、图象法.
1.函数的三种表示方法:
2.函数图象的画法:列表、描点、连线.注意:画一次函数的图象时,描出两点即可;画抛物线时需至少描出五个点.
高分突破·微专项1 函数图象的分析与判断
突破点1 根据实际问题判断函数图象突破点2 分析几何问题识别函数图象突破点3 由函数图象解决几何问题
根据实际问题判断函数图象
判断符合实际问题的函数图象的一般步骤:1.明确“两轴”所表示的意义.2.找特殊点,即交点或转折点. 3.判断图象趋势:从左至右向上倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而增大;与x轴平行的直线表示函数值不随自变量的变化而变化;从左至右向下倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而减小.4.看是否与坐标轴相交,若相交,则表示此时有一个量为0.
例1 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家,离开公园20分钟后,爷爷停下来与朋友聊天10分钟,接着又走了15分钟回到家中.下面图象中表示爷爷离家的距离y(米)与爷爷离开公园的时间x(分钟)之间的函数关系的是 ( )
【思路分析】先根据题意分析y随x的增大是如何变化的,再看哪一个图象符合上述变化特点,从而作出判断.
分析几何问题识别函数图象
分析几何图形中的动态问题判断函数图象的方法:1.判断趋势法根据题意分段,判断每段函数值的增减变化趋势,从而寻找相应图象.2.求解析式法根据题意求出每段函数图象的解析式,结合函数的图象与性质即可得到答案.3.定点排除法从选项中各图象的关键转折点入手,对应动点运动情况进行排除.
例2 如图,正方形ABCD的边长为4,点P,Q分别是CD,AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,到点Q时停止运动,点E,F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x之间的函数关系的图象是( )
由函数图象解决几何问题
分析函数图象解决几何问题的步骤:1.分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围;2.找出分段函数的特殊点(转折点、函数图象与坐标轴的交点等);3.根据特殊点的坐标求出相关的几何量,进而解决问题.
例3 如图(1),在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y(当P,A,B三点共线时,不妨设y=0),若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则矩形ABCD的面积为________.
【思路分析】通过分析图象可知,当0≤x≤4时,点P在AB上;当4
考点1 一次函数与正比例函数的一般形式考点2 一次函数与正比例函数的图象与性质考点3 一次函数解析式的确定(含平移)考点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系
第一课时 一次函数基础题命题角度1 一次函数的图象与性质命题角度2 一次函数解析式的确定命题角度3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 第二课时 一次函数综合题命题角度4 一次函数综合题——面积问题命题角度5 一次函数综合题——参数问题
一次函数与正比例函数的一般形式
注意:正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数与正比例函数的图象与性质
k,b符号的确定方法1.一次函数图象从左向右看:呈上升趋势⇔k>0;呈下降趋势⇔k<0.2.一次函数的图象与y轴的交点:在正半轴⇔b>0;在负半轴⇔b<0.
一次函数解析式的确定(含平移)
2.一次函数图象的平移
图象的平移规律可简记为:左加右减,上加下减.
一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.与一次方程的关系:方程kx+b=0的解⇔直线y=kx+b与x轴交点的⑨ ; 2.与二元一次方程组的关系:方程组 的解⇔直线y=kx+b与直线y=k1x+b1的⑩ .
1.不等式kx+b>0的解集⇔直线y=kx+b位于x轴⑪ 方的部分对应的自变量的取值范围; 2.不等式kx+b<0的解集⇔直线y=kx+b位于x轴下方的部分对应的自变量的取值范围;3.不等式⑫ 的解集⇔直线y=kx+b位于直线y=k1x+b1上方的部分对应的自变量的取值范围.
一次函数与一次方程（组）的关系
一次函数与一元一次不等式的关系
kx+b>k1x+b1
课时一 一次函数基础题
例1 已知函数y=kx+b(k,b为常数).(1)当b= 时,函数y=kx+b是正比例函数. (2)若函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则k 0,b 0(填“>”“<”或“=”). (3)若k=b-1,则函数y=kx+b的图象恒过点 . (4)若该函数图象是由直线y=2x向左平移2个单位长度得到的,则①该函数的解析式是 ; ②已知点A(m,n),B(m+1,t)均在该函数的图象上,则n t(填“>”“<”或“=”); ③若直线l'与该函数图象关于x轴对称,则直线l'的解析式是 ; ④若直线y=-x+e与该函数图象的交点D在第二象限,则e的取值范围是 ; ⑤在④中,若点D的纵坐标是2,直线y=kx+b与直线y=-x+e分别交x轴于点E,F,则不等式kx+b>-x+e的解集为 ,S△DEF= .
根据一次函数y=kx+b的图象或性质判断k,b的符号的方法1.已知函数值随着自变量的增大而变化的规律,可以推测k的符号.当函数值随着自变量的增大而增大时,k>0;当函数值随着自变量的增大而减小时,k<0.2.一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,b),所以由一次函数的图象与y轴的交点,可以推测b的符号.若一次函数的图象与y轴交于正半轴,则b>0;若一次函数的图象与y轴交于负半轴,则b<0.
一次函数解析式的确定
例2 [2019四川乐山]如图,过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积.
【思路分析】(1)先求点P的坐标,再结合点B的坐标利用待定系数法求直线l1的解析式.(2)先求点C,A的坐标,再结合 进行求解.
解:(1)∵点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴P(-1,2).设直线l1的解析式为y=kx+b,将B(1,0),P(-1,2)分别代入,得 解得 故直线l1的解析式为y=-x+1.(2)易知C(0,1).对于y=2x+4,令y=0,得x=-2,∴A(-2,0),∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC= ×3×2- ×1×1= .
利用待定系数法求一次函数解析式的方法1.求正比例函数的解析式时,只要代入图象上一个点的坐标即可,因为正比例函数只有一个待定系数.2.求一次函数(非正比例函数)的解析式时,需要代入图象上两个点的坐标.3.若已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标,则b值已知,故代入图象上一个点(非与y轴交点)的坐标即可求解.
一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系
【思路分析】(1)原方程组可化为 故方程组的解即为两函数图象交点的坐标,据此求解即可.(2)关于x的不等式组0
1.先确定关键点的坐标.如图,点A即为关键点.2.在关键点左右两侧观察图象的位置.如图,在点A左侧,直线l1在直线l2下侧,则y1
课时二 一次函数综合题
一次函数综合题——面积问题
例4[2017河北,24]如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=-5与x轴交于点D,直线 与x轴及直线x=-5分别交于点C,E.点B,E关于x轴对称,连接AB.(1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式.(2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值.(3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为求△AOC的面积,不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现S△AOC≠S,请通过计算解释他的想法错在哪里.
(2)根据面积公式计算即可.(3)通过判断点C不在直线AB上即可求解.
解:(1)把y=0代入 ,得x=-13,∴C(-13,0).把x=-5代入 ,得y=-3,∴E(-5,-3).∵点B,E关于x轴对称,∴B(-5,3).设直线AB的解析式为y=kx+b,则 解得 ∴直线AB的解析式为y= x+5.
(2)∵CD=8,DE=DB=3,OA=OD=5,∴S△CDE= ×8×3=12,S四边形ABDO= ×(3+5)×5=20,∴S=12+20=32.(3)当x=-13时,y= x+5=-0.2≠0,∴点C不在直线AB上,即A,B,C三点不共线,∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.
一次函数面积问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数面积问题的考查形式 (1)求规则图形的面积;(2)求不规则图形(此处的不规则是指图形的边均不与坐标轴平行或重合)的面积;(3)已知两个三角形的面积比,求点的坐标或边所在直线的解析式.2.解决一次函数面积问题的一般思路(1)求规则图形的面积时,根据解析式求图形顶点的坐标,利用面积公式和数形结合思想直接求解;(2)求不规则图形的面积时,通常采用同底等高法、等底等高法或割补法(分割求和、补形作差)求解;(3)已知两个三角形的面积比,根据同底不等高或同高不等底,将面积的比转化为线段的比,再进行求解.
一次函数综合题——参数问题
例5 如图,正方形ABCD的边长为2,点A的坐标为(0,4),直线l的解析式为y=mx+m(m≠0).(1)直线l经过一个定点,求此定点的坐标.(2)当直线l与正方形ABCD有公共点时,求m的取值范围.(3)直线l能否将正方形面积分成1∶3的两部分?如果能,请直接写出m的值;如果不能,请说明理由.
【思路分析】(1)由y=mx+m=m(x+1),知x=-1时,y=0,从而可得答案.
解:(1)∵y=mx+m=m(x+1),∴不论m为何值,当x=-1时,恒有y=0,故这个定点的坐标为(-1,0).(2)∵正方形ABCD的边长为2,点A的坐标为(0,4),∴B(0,2),C(2,2),D(2,4).当直线l经过点A(0,4)时,易得m=4.当直线l经过点C(2,2)时,易得m= .故当直线l与正方形ABCD有公共点时,m的取值范围是 ≤m≤4.(3)能.m的值为2或 .解法提示:∵正方形ABCD的边长为2,∴正方形的面积为4.分两种情况讨论.
①当直线l过点B时,设直线l与AD的交点为E,则E(1,4),如图(1),则S△ABE= AB·AE= ×2×1=1,∴S△ABE= S正方形ABCD.直线l过点B(0,2),则m=2.故当m=2时,直线l能将正方形面积分成1∶3的两部分.
②当直线l过点D时,易求m= ,直线l截正方形得到的三角形的面积为 .设直线l过线段DC上的点F,BC上的点G时,能将正方形面积分成1∶3的两部分,如图(2).把x=2代入y=mx+m,得y=3m,∴F(2,3m),∴FC=3m-2.把y=2代入y=mx+m,得2=mx+m,
故当m= 时,直线l能将正方形面积分成1∶3的两部分.综上所述,m的值为2或 .
一次函数中参数问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数中的参数问题的考查形式(1)已知一次函数的增减性,求一次函数解析式中的参数的取值范围;(2)求过定点且与某图形有交点的一次函数图象的解析式中参数的取值范围;(3)根据两个一次函数图象的交点的位置,求其中一个一次函数解析式中的参数的值或取值范围.2.解决一次函数中的参数问题的一般思路(1)一次函数y=kx+b中,当y的值随x的值增大而增大时,k>0,且图象必经过第一、三象限;当y的值随x的值增大而减小时,k<0,且图象必经过第二、四象限.(2)若一次函数的图象经过一定点且与某图形有交点,则相当于一次函数图象绕定点旋转,所以首先要确定旋转过程中经过的边界点,再把边界点的坐标代入,即可求出参数的取值范围.(3)已知两个一次函数图象的交点的位置,可用含参数的代数式表示交点的坐标,再根据已知条件求参数的值或取值范围.
第三节 一次函数的实际应用
考点 一次函数的实际应用
命题角度1 一次函数的实际应用——文字、 表格型命题角度2 一次函数的实际应用——图象型
1.利用一次函数解决问题的一般步骤(1)根据题意,设定问题中的变量;(2)建立函数模型(列一次函数解析式);(3)确定自变量的取值范围;(4)利用一次函数的图象与性质解决实际问题.2.利用一次函数解决实际问题的常见类型(1)文字型:根据实际问题中的文字信息建立一次函数模型,利用一次函数的图象与性质解决实际问题;(2)表格型:分析表格中数据,从表格中找出两组数据利用待定系数法求函数解析式;(3)图象型:从函数图象上找出两点,利用待定系数法求解析式;若函数图象为分段函数,注意要取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数解析式,最后注意标明自变量的取值范围.
一次函数的实际应用——文字、表格型
例1[2020浙江绍兴]我国传统的计重工具——秤的应用,方便了人们的生活.如图(1),可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米),秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图(2)中,通过描点、画图的方法,观察判断哪一对是错误的.(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少.
【思路分析】(1)用描点法画出一次函数的图象,观察图象可发现不在直线上的点.(2)利用待定系数法求出一次函数的解析式,由解析式求出当x=16时y的值.
解:(1)描点如图所示,观察图象,可知x=7,y=2.75这组数据错误.(2)设y=kx+b,把(1,0.75),(2,1)分别代入,可得 当x=16时,y=4.5.答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤.
一次函数的实际应用——图象型
例2[2020浙江金华]某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6 ℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:(1)求高度为5百米时的气温.(2)求T关于h的函数表达式. (3)测得山顶的气温为6 ℃,求该山峰的高度.
【思路分析】(1)先求出高度由3百米增加到5百米,气温降低了多少,再由高度为3百米时的气温减去前面所求气温降低值,问题得解.(2)根据待定系数法求解即可.(3)令T=6,列方程,解之即得h的值.
解:(1)由题中图象知,当高度为3百米时,气温为13.2 ℃.由题意得高度增加2百米,气温大约降低2×0.6=1.2(℃). 13.2-1.2=12(℃),∴高度为5百米时的气温大约是12 ℃.(2)设T=kh+b,将(3,13.2),(5,12)分别代入, ∴T=-0.6h+15. (3)当T=6时,6=-0.6h+15, 解得h=15.∴该山峰的高度大约为15百米.
一次函数实际应用问题的常见考查形式及一般思路
1.一次函数实际应用问题(行程、方案等问题)的考查形式(1)利用一次函数模型(可与方程(组)或不等式相结合)或单个一次函数图象解决实际问题;(2)用分段函数(分类讨论)解决实际问题; (3)利用多个函数图象解决实际问题. 2.解决一次函数实际应用问题的一般思路 (1)通过已知条件建立一次函数模型,结合不等式或方程(组),利用一次函数的增减性解决问题;解决单个一次函数图象应用类问题时,要善于寻找图象上点的坐标,正确认识点的坐标的实际意义,再结合题设中的条件进行求解.(2)分段函数的图象是一条折线,解决分段函数问题,关键是将每段的函数图象与所在的区间相对应.分段函数中的“折点”既是两段函数的分界点,又是两段函数的公共点,解题时要注意“折点”表示的实际意义,“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.(3)一题中有多个函数图象时,要关注图象交点的坐标,交点坐标同时满足两个图象的解析式.分析多个函数图象时,还应关注其交点两侧图象的上、下位置关系:同一自变量对应的函数值中,图象在上方的函数值大,图象在下方的函数值小,由此可解决方案选取型问题.
第四节 反比例函数及其应用
考点1 反比例函数的相关概念考点2 反比例函数的图象与性质考点3 反比例函数解析式中|k|的几何意义考点4 反比例函数解析式的确定考点5 反比例函数的应用
命题角度1 反比例函数的图象与性质命题角度2 反比例函数中|k|的几何意义命题角度3 反比例函数的实际应用命题角度4 反比例函数与一次函数、几何图形的综合
1.反比例函数的概念一般地,如果两个变量x,y之间的关系式可以表示为y=①_______(k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数,它的图象是②________.自变量x的取值范围为不等于0的一切实数.
2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数且k≠0)(1)y= ;(2)y=k·x-1;(3)xy=③____.
反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的图象不是连续的曲线,而是两支分布在不同象限的曲线,所以比较函数值的大小时,要注意所判断的点是否在同一象限.2.判断某点是否在反比例函数的图象上,只需判断该点的横、纵坐标之积是否等于k.若等于k,则点在图象上;若不等于k,则不在图象上.
反比例函数解析式中|k|的几何意义
1.|k|的几何意义:在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点P(x,y),如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足分别为点M,N,则矩形PMON的面积S=|xy|=⑪______.
点P与点P'关于原点对称,PA∥y轴,P'A∥x轴
注:其他图形详见“高分突破·微专项3”.
反比例函数解析式的确定
1.利用待定系数法确定
(1)设所求反比例函数的解析式为y= (k≠0);(2)找出此函数图象上一点P(a,b);(3)将P(a,b)代入解析式得k=⑯____.
2.利用反比例函数解析式中|k|的几何意义确定
先根据题中图形面积及|k|的几何意义,求得|k|,再根据函数图象所在象限确定k的符号,从而确定k的值.
实际问题中的反比例函数,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图象会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围.
2.与一次函数结合的综合应用
3.实际问题中常见的反比例函数关系
(1)行程问题:速度= ;(2)工程问题:工作效率= ;(3)电学问题:电阻= ;(4)压强问题:压强= .
例1 已知反比例函数y=- ,有下列结论:①图象必经过点(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④反比例函数的图象关于直线y=x对称;⑤若点(x1,y1),(x2,y2)均在该函数的图象上,且x1>x2>0,则y1
1.图象法:画出函数的图象,在图象上找出各点,再观察函数值的大小.2.利用反比例函数的性质:比较在同一分支上的两个点的函数值时,看函数的增减性;比较在不同分支上的两个点的函数值,看符号.3.特殊值法也是解决此类问题的常用方法.如例1⑤中,设x1=2,x2=1,则y1=-4,y2=-8,∴y1>y2.
例3 实验数据显示:一般成年人喝半斤低度白酒1.5小时后(含1.5小时),血液中的酒精含量y(毫克/百毫升)与饮酒后的时间x(小时)可近似地用反比例函数y= (k≠0)刻画,如图所示.通过测试发现酒后5小时,血液中的酒精含量为45毫克/百毫升.(1)求反比例函数解析式.(2)按国家规定:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升时属于“饮酒驾车”,不能驾驶车辆上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上8:00能否驾车去上班?请说明理由.
【思路分析】(1)根据酒后5小时血液中的酒精含量为45毫克/百毫升,利用待定系数法可求得反比例函数的解析式.(2)先求出晚上20:00到第二天早上8:00共几个小时,再将其作为x的值代入反比例函数的解析式中求得相应y值,将这个y值与20比较后即可得出结论.
解:(1)∵酒后5小时血液中的酒精含量为45毫克/百毫升,即当x=5时,y=45,∴k=5×45=225,故反比例函数的解析式为y= (x≥1.5).(2)第二天早上8:00能驾车去上班.理由:从晚上20:00到第二天早上8:00,共12个小时,将x=12代入y= ,得y= .∵ <20,∴第二天早上8:00能驾车去上班.
反比例函数与一次函数、几何图形的综合
例4 如图,已知A(-4,2),B(n,-4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象的两个交点,且一次函数y=kx+b的图象交x轴于点C.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b- >0的解集.
【思路分析】(1)将点A的坐标代入y= 中,求出m的值,即可确定反比例函数的解析式,再将点B的坐标代入反比例函数的解析式中,求出n的值,最后将点A,B的坐标分别代入y=kx+b中,求出一次函数的解析式;(2)根据“S△AOB=S△ACO+S△OCB”求解即可;(3)不等式kx+b- >0的解集,即为直线y=kx+b位于双曲线y= 上方的部分对应的x的范围.
解:(1)将点A(-4,2)代入反比例函数的解析式,得2= ,解得m=-8,故反比例函数的解析式为y= .将点B(n,-4)代入反比例函数的解析式,得-4=- ,解得n=2,∴点B的坐标为(2,-4).把点A(-4,2),B(2,-4)分别代入一次函数的解析式, 故一次函数的解析式为y=-x-2.(2)对于一次函数y=-x-2,令y=0,得x=-2,∴C(-2,0),∴S△AOB=S△ACO+S△OCB= ×2×2+ ×2×4=6.(3)x<-4或0
高分突破·微专项3 反比例函数中的面积问题
反比例函数中的面积问题
S△AOG=S四边形BGEFS△AOB=S四边形AEFB
第五节 二次函数的图象与性质
考点1 二次函数的概念考点2 二次函数的图象与性质考点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系考点4 二次函数解析式的确定考点5 二次函数图象的变换考点6 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
命题角度1 二次函数的图象与性质命题角度2 二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度3 用待定系数法求二次函数解析式命题角度4 二次函数图象的平移
如果明确指出函数是二次函数,那么就隐含了二次项系数不为0这一重要条件.
一般地,形如y=① (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.特别地,当b=c=0时,y=ax2(a≠0)是二次函数的特殊形式.
2.二次函数解析式常见的三种形式
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,且a≠0),该函数图象的顶点坐标是② ,对称轴是直线x=h; *(3)交点式:y=③ (a,x1,x2为常数,a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
y=a(x-x1)(x-x2)
抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系
二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种,在确定二次函数的解析式时,要根据题中不同的已知条件,设出相应的解析式,再利用待定系数法进行求解.
y=a(x-h)2+k
巧设二次函数解析式的方法
1.若顶点在原点,可设为y=ax2;2.若对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax2+c;3.若顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2;4.若抛物线过原点,可设为y=ax2+bx;5.若已知任意三个点的坐标,可设为y=ax2+bx+c;6.若已知顶点(h,k),可设为顶点式y=a(x-h)2+k;7.若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0),(x2,0),可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
2.二次函数图象的平移中相关面积的计算
S阴影=S▱AOCB=S矩形BODC S阴影=S△OCB=S矩形OABD S阴影=S▱ABDC=S▱BFED
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与㉚ 交点的横坐标.
*2.二次函数与不等式的关系
例1 关于抛物线y=x2+2x-8,有以下说法:①开口向上;②对称轴在y轴的右侧;③与y轴的交点坐标是(0,-8);④与x轴的交点坐标为(-2,0),(4,0);⑤当x>1时,y随x的增大而增大;⑥y有最小值,最小值为-9.其中正确说法的序号是 .
∵c=-8,∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,-8).令x2+2x-8=0,解得x=2或-4,故抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),(-4,0).
求抛物线的对称轴的方法
1.公式法:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=- ;2.配方法:将抛物线的解析式配方成顶点式y=a(x-h)2+k,对称轴为直线x=h;3.根据对称性求解:若抛物线上两点的纵坐标相等,则说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的,对称轴是这两点连线的垂直平分线,即若抛物线过点(x1,n),(x2,n),则对称轴为直线x= .
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
1.代入比较法:若已知二次函数的解析式,可将各点的横坐标代入解析式,求出各点的纵坐标,进而比较大小.2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.
3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下.对于二次函数y=ax2+bx+c:①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).
二次函数图象与系数a,b,c的关系
例2 [2019内蒙古呼和浩特]二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
【思路分析】由直线y=ax+a经过点(-1,0),可排除选项A,B.接着分析如下:
例3[2020湖北襄阳]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时,y随x的增大而减小.其中正确的有 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解有关抛物线与系数a,b,c关系的题的一般步骤
1.先根据抛物线开口方向判断a:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0.2.由a和对称轴的位置判断b:一般规律是“左同右异”,即对称轴在y轴左侧,a,b同号;对称轴在y轴右侧,a,b异号.3.由抛物线与y轴的交点判断c:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0.4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc的符号.
5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac与0的关系:若抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0;若抛物线与x轴有1个交点,则b2-4ac=0;若抛物线与x轴无交点,则b2-4ac<0.6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标;看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标.7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即- >1或- <1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置关系,即- >-1或- <-1,判断2a-b的符号.
用待定系数法求二次函数解析式
例4 [2019湖南永州中考改编]已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1.求此抛物线的解析式.
【思路分析】方法一(交点式):先求出抛物线与x轴的另一个交点,再利用交点式设出抛物线的解析式,最后将点B的坐标代入,即可得解.方法二(顶点式):根据抛物线的对称轴,设出抛物线的顶点式,再将A,B两点的坐标分别代入,即可得解.
解:方法一(交点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点为A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0).设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把B(0,3)代入,得3=-3a,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),即y=-x2-2x+3.方法二(顶点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将A(-3,0),B(0,3)分别代入,故抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
例5 将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为 ( )A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3
【思路分析】方法一:平移前抛物线的顶点坐标为(0,1) 平移后抛物线的顶点坐标为(-1,-1) 平移后抛物线的解析式为y=-5(x+1)2-1.方法二:直接利用“上加下减常数项,左加右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式,即y=-5x2+1 y=-5(x+1)2+1-2.
确定平移后抛物线的解析式的方法
1.平移顶点法(1)将抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,得到顶点坐标(h,k);(2)将点(h,k)平移,得到平移后抛物线的顶点;(3)利用顶点式的求法确定平移后抛物线的解析式.2.平移任意两点法先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.3.直接法针对抛物线的解析式,直接进行“左加右减自变量,上加下减常数项”.如将抛物线y=ax2+bx向右平移h(h>0)个单位,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h);向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线y=ax2+bx-k.
第六节 二次函数的实际应用
考点 二次函数的实际应用
命题角度1 最值问题命题角度2 抛物线形问题
二次函数的实际应用与一次函数、反比例函数的实际应用类似,都是先根据实际问题确定函数关系式,再利用二次函数的图象与性质解决问题.二次函数实际应用题常见类型:(1)最值问题:常见的有最大利润问题、图形面积的最值问题.解题时一般先求出利润、面积等关于自变量的函数解析式,再在自变量的取值范围内求二次函数的最值,同时要注意实际问题的具体要求.(2)抛物线形实际问题:常见的有抛物线形建筑物(桥拱、隧道等)、抛物线形运动轨迹问题.解决此类问题时,一般需要建立合适的平面直角坐标系,求出抛物线对应的函数解析式,再利用二次函数的图象与性质解决问题.
例1 [2020山东潍坊]因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是多少元?(利润=销售价-进价)
【思路分析】(1)利用待定系数法可求出y与x之间的函数表达式;(2)设药店每天获得的利润为w元.先根据“总利润=单桶利润×销售量”求得w关于x的表达式,再利用二次函数的性质求解即可.
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将点(60,100),(70,80)分别代入, 故y与x之间的函数表达式为y=-2x+220.(2)设药店每天获得的利润为w元,由题意得w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800,∵-2<0,∴当x=80时,w取得最大值,最大值是1 800.故每桶消毒液的销售价定为80元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是1 800元.
利用二次函数求最值的一般方法1.根据实际问题或几何图形列出二次函数解析式,并确定自变量的取值范围.2.将二次函数解析式配方成顶点式,并在自变量的取值范围内求出函数的最值.当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,可直接结合二次函数的增减性求最值.
例2 [2020山东青岛]某公司生产的A型活动板房成本是每个425元,图(1)表示A型活动板房的一面墙,它由矩形和抛物线的一部分构成,矩形的长AD=4 m,宽AB=3 m,抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图(1)所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式.(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房,如图(2),在抛物线与AD之间的区域内加装一扇矩形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2 m,求每个B型活动板房的成本是多少.(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本) (3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大?最大利润是多少?
【思路分析】(1)将点D,E的坐标分别代入表达式,求解即可.(2)由GM的长及抛物线的对称性可得点N的横坐标,进而求出MN的长,再由矩形的面积公式求出窗户的面积,从而求出每个B型活动板房的成本.(3)用含n的式子表示出w,并求出n的取值范围,再根据二次函数的性质求最大值即可.
解:(1)由题易知D(2,0),E(0,1).将D(2,0),E(0,1)分别代入y=kx2+m, ∴该抛物线的函数表达式为y=- x2+1.(2)由题意易知点N的横坐标为1.将x=1代入y=- x2+1中,
∴S矩形FGMN=GM×NM= ,∴一扇窗户的成本为 ×50=75(元),∴每个B型活动板房的成本是425+75=500(元).(3)根据题意可知w=(n-500)(100+20× ),整理得w=-2(n-600)2+20 000.∵公司每月最多能生产160个B型活动板房,∴20× ≤60,解得n≥620.易知当n≥600时,w随n的增大而减小,∴当n=620时,w最大,最大值为-2×(620-600)2+20 000=19 200.故将销售单价定为620元时,每月销售B型活动板房所获利润最大,最大利润是19 200元.
第七节 二次函数的简单综合
考点 二次函数的简单综合
命题角度 二次函数的简单综合
二次函数与其他函数、几何图形的综合题,常见的考查点有:(1)确定函数解析式;(2)图形呈特殊形状时确定点的坐标或确定参数的值;(3)讨论线段或图形面积的最值;(4)特定条件下求参数的取值范围;(5)新定义问题.解决此类问题常用的数学思想:数学建模思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等.
解决二次函数的综合应用题的注意事项(1)正确分类讨论;(2)正确画出图形;(3)有逻辑地分析各个量之间的关系,列出方程或函数关系式.
例 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x(x-b)- 与y轴相交于点A,与x轴相交于B,C两点,且点C在点B的右侧,设抛物线的顶点为P.(1)若点B与点C关于直线x=1对称,求b的值.(2)连接BP,CP,若OB=OA,求△BCP的面积.(3)当-1≤x≤1时,该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h,求出h与b的关系式;若h有最大值或最小值,直接写出这个最大值或最小值.
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