中考总复习数学（河北地区）2第二章一次方程(组)及其应用课件

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考点1 一元一次方程及其解法考点2 二元一次方程(组)及其解法考点3 一次方程(组)的实际应用考点4 一次方程(组)的实际应用
命题角度1 一次方程(组)的解法命题角度2 一次方程(组)的实际应用
只含有④　　个未知数(元),未知数的次数是⑤　　,且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程,一般形式:ax+b=0(a≠0).
3.解一元一次方程的一般步骤
二元一次方程(组)及其解法
一次方程(组)的实际应用
(1)审:审清题意,分清题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系;(2)设:设出关键未知数(可设直接或间接未知数);(3)列:根据题中的等量关系,列方程(组);(4)解:解方程(组);(5)验:检验所解答案是否正确,是否符合题意和实际情况;(6)答:规范作答,注意单位名称.
1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤
2.几种常见的方程类型、基本数量关系
例1 [2020江苏南京]已知x,y满足方程组 则x+y的值为____. 
【思路分析】方法一:解方程组求得x,y的值,再求出x+y的值.方法二: ②×2+①可得5x+5y的值,从而求得x+y的值.
二元一次方程组的一般解法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数是相反数或相等时,可用加减消元法;当系数既不是相反数也不相等时,可通过找系数的最小公倍数将系数变成相等或相反数,再用加减消元法求解.注意:若涉及求方程组中两个未知数的代数式的值时,可以先考虑将方程组的两个方程相加或相减,再比较所得式子与所求代数式的异同,从而求解.
例2 [2019江苏盐城]体育器材室有A,B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克.(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克?(2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?
【思路分析】(1)根据1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程组,求解即可;(2)利用分类讨论得出方程的解即可.
解：(1)设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克,根据题意,得 解得 答:每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克.(2)设A型球a只,B型球b只,根据题意,得3a+4b=17.∵a,b都是正整数,∴a=3,b=2.答:A型球有3只,B型球有2只.
一次方程(组)实际应用题的解题思路
1.设元的方法.(1)直接设元法:直接设要求的量为未知数;(2)间接设元法:当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程.2.用一次方程组求解的应用题,一般有两个相等关系,若列一元一次方程求解,则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数,另一个相等关系用来列方程;若列二元一次方程组,则这两个相等关系均用来列方程.
第二节 分式方程及其应用
考点1 分式方程及其解法考点2 分式方程的实际应用
命题角度1 解分式方程命题角度2 分式方程的实际应用
1.分式方程的概念 分母中含有①________的方程叫做分式方程.
分式方程有增根与分式方程无解的关系:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母的值为0的根.
1.列分式方程解应用题的一般步骤
注意:若一项工程的工程量为1,甲单独做用x天完成,乙单独做用y天完成,则甲每天做③　 ,乙每天做④　　,甲、乙合作每天做⑤　　　　,甲、乙合作完成需要的时间是⑥　　　　　　　天.
例1 [2020 江苏南京]方程 的解是_________. 
【思路分析】根据分式方程的解法解之即可,注意不要忽略验根步骤.
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0(称为增根),所以解分式方程一定要验根,这也是不同于解整式方程的重要步骤.
解:设原来每天的用水量是x吨,则现在每天的用水量是 x吨.根据题意,得 ,解得x=10.经检验,x=10是原分式方程的根.当x=10时, x= ×10=8.答:现在每天的用水量是8吨.
列分式方程解决实际问题列分式方程解决实际问题与列其他方程解决实际问题的方法和过程类似,都需要经历审题、设元、列方程、解方程和作答这样几个步骤,不同的是如果所列方程是分式方程,必须检验该根是不是分式方程的根,然后再作答.另外,在列分式方程时,应注意方程两边的单位要统一.
第三节 一元二次方程及其应用
考点1 一元二次方程考点2 一元二次方程的解法考点3 一元二次方程根的判别式考点4 一元二次方程的应用
命题角度1 解一元二次方程命题角度2 一元二次方程的判别式命题角度3 一元二次方程的实际应用
一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为⑦　 　　,通常用希腊字母“Δ”表示. 方程ax2+bx+c=0的根的情况:b2-4ac>0⇔方程有⑧　　　　　　的实数根. b2-4ac=0⇔方程有⑨　　　　　的实数根. b2-4ac<0⇔方程⑩　　　实数根.
(1)增长率型①增长率=增量÷基础量×100%;②设a为原来量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数时,a(1-m)n=b.(2)利润型①利润=售价-成本; ②利润率= ×100%;③总利润=总售价-总成本=单件利润×总销量.
1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样,共分审、设、列、解、验、答六步.
2.一元二次方程的实际应用问题的常见类型
(3)图形面积型空白部分的图形的宽均为x.
(4)握手型共有n个人,每两人握手一次,共需握手 次.
(a-2x)(b-2x)
例1 解方程:x2-4x-12=0.
【思路分析】用因式分解法、配方法或公式法解方程即可.
解:方法一(因式分解法):(x+2)(x-6)=0,∴x+2=0或x-6=0,∴x1=-2,x2=6.方法二(配方法):x2-4x=12,x2-4x+4=12+4,(x-2)2=16,x-2=-4或x-2=4,∴x1=-2,x2=6.
方法三(公式法):∵a=1,b=-4,c=-12,∴x= =2±4,∴x1=-2,x2=6.
求解一元二次方程时的常用思路1.解一元二次方程的口诀:一元二次方程中,观察方程选解法.先看能否开平方,配方简易也能行.再看是否能分解,左右降次右化零.求根公式最后用,系数符号要辨明.2.已知一元二次方程一个根求另一个根、字母系数或代数式的值的问题的解法:已知一元二次方程的一个根,求另一个根或字母系数的解法一般是根据根的定义,直接将已知的根代入方程,得到关于字母系数的新方程,解之求得字母系数的值(此时如果二次项系数也含字母,则要排除使得二次项系数为0的值),再把符合题意的字母系数的值代入原方程,解出另一根.若是求代数式的值,常用整体代入法.
例2 [2020山东潍坊中考改编]关于x的一元二次方程x2+(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定
【思路分析】先将方程变形为一般式,再根据一元二次方程根的判别式与0的关系判断根的情况.
与方程根的情况有关的注意事项1.一元二次方程有实数根包括“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况,此时Δ≥0,注意不要漏掉等号.2.根据方程根的情况,确定形如方程ax2+bx+c=0字母系数的值时,先要注意该方程是不是一元二次方程,如果是,那么a≠0,再用根的判别式进一步确定字母系数的值;如果不一定是,那么要分a=0和a≠0进行讨论,当a=0时,需要对原方程根的情况进行具体分析.
一元二次方程的实际应用
例3 [2019山西]如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为　 　　　　　　　　　　　.
【思路分析】由题意可知剩余部分可合并成一个矩形,其长为(12-x)cm,宽为(8-x)cm,再根据矩形的面积公式列方程即可.
(12-x)(8-x)=77或x2-20x+19=0
列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审:审清题意,明确已知条件和未知条件,找出它们之间的等量关系.(2)设:设未知数,可分为直接设和间接设.(3)列:根据等量关系列出方程.(4)解:求出所列方程的解.(5)验:检验方程的解是否符合实际情况.(6)答:一定要遵循“问什么答什么,怎么问就怎么答”的原则.以上几个步骤中,审题是基础,找出等量关系是解决问题的关键,能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易,所以要根据不同的情况设元.
第四节 一元二次方程的实际应用
考点1 不等式的基本性质考点2 一元一次不等式及其解法考点3 一元一次不等式组的解法考点4 一元一次不等式的实际应用
命题角度1 解一元一次不等式组命题角度2 一元一次不等式的实际应用
性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向①　　 ,即若a>b,则a±c②　　　b±c. 性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向③　　　,即若a>b,c>0,则ac④　　　　bc(或 ⑤　　 ）. 性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向⑥　　 ,即若a>b,c<0,则ac⑦　　　bc(或 ⑧　　 ).
一元一次不等式及其解法
在数轴上表示解集时,要注意“两定”.1.定边界点:“≤”或“≥”在数轴上表示为实心圆点,“<”或“>”在数轴上表示为空心圆圈.2.定方向:小于向左,大于向右.
一元一次不等式组的解法
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
2.解不等式组的一般步骤
先分别解出每个一元一次不等式,再求出它们解集的⑨　　　　　,即为不等式组的解集.
3.一元一次不等式组的解集表示
一元一次不等式的实际应用
2.不等式实际问题中,常见关键词与不等号的关系表
例1 解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得___________; (2)解不等式②,得___________; (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来:(4)原不等式组的解集为___________; (5)原不等式组的非负整数解为_____.
【思路分析】先根据不等式的基本性质分别解不等式①,②,再根据不等式组解集的表示求解即可.
确定一元一次不等式组的解集的两种常用方法1.数轴法:先把不等式组中的每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,再找出它们的公共部分,就是不等式组的解集,若无公共部分,则该不等式组无解.2.口诀法:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到.
例2 [2020辽宁辽阳]某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元.(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1 600元,那么最多可购买甲种词典多少本?
【思路分析】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据题意列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可.(2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30-m)本,根据总费用不超过1 600元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出结论.
解:(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据题意,得 解得答:每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元.(2)设购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30-m)本,根据题意,得70m+50×(30-m)≤1 600,解得m≤5.答:学校最多可购买甲种词典5本.
列一元一次不等式解决实际问题的步骤1.审:认真审题,分清已知量和未知量,找出能表示题目含义的一个不等关系;2.设:设出适当的未知数;3.列:根据题中不等关系列出不等式;4.解:解一元一次不等式,求出其解集;5.验:检验所求出的不等式的解集是否符合题意;6.答:写出答案.注意:审题是解决实际问题的基础,找到题中的不等关系是解题的关键,也是解题的难点,要抓住题目中的关键词“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“最多”“超过”“不超过”等,理解它们的含义,并且要明确不等号中是否包含等号.