中考总复习数学（河北地区）5第四章三角形（后三节+高分突破·微专项7,8）课件

这是一份中考总复习数学（河北地区）5第四章三角形（后三节+高分突破·微专项7,8）课件，共60页。PPT课件主要包含了目录河北·中考，考点1，温馨提示，全等三角形的判定，考点2，三条边，命题角度，自主解答，提分技法，技巧一等内容，欢迎下载使用。

考点1 全等图形与全等三角形的概念与性质考点2 全等三角形的判定
命题角度 全等三角形的判定与性质
全等图形与全等三角形的概念与性质
“△1与△2全等”和“△1≌△2”的区别当两个三角形用符号“≌”连接时,它们的对应顶点、对应边、对应角都是唯一确定的;当用“△1与△2全等”表达时,两个三角形的顶点、边、角的对应关系不确定,此时需要进行分类讨论,以免漏解.
1.全等三角形的判定方法
在三角形全等的判定方法中,最少得有一条边相等的条件,但要注意的是,两边和其中一条边的对角分别相等的两个三角形不一定全等,也就是说“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如:如图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,∠B=∠B,AC=AD,但△ABC与△ABD不全等.
2.证明三角形全等的思路
3.全等三角形的常见模型
全等三角形的判定与性质
例1 [2020湖北仙桃]如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【思路分析】 过点A分别作BD,CE的垂线,垂足分别为点M,N.
例2 [2020浙江台州]如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
【思路分析】 (1)利用“SAS”证明.
(1)证明:∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,∴△ABD≌△ACE.(2)△BOC是等腰三角形.理由:∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,∴△BOC是等腰三角形.
两条线段之间的数量关系一般为相等,有时也会出现倍数关系;三条线段之间的关系一般是和、差关系.解题时,一般先观察图形,猜测线段之间的关系,然后进行证明.(1)证明两条线段相等时,若两条线段在一个三角形中,一般考虑通过“等角对等边”证明;若两条线段不在同一个三角形中,则一般利用全等三角形的判定与性质证明.(2)证明两条线段之和等于较长线段时,通常可借助截长补短法,构造全等三角形,将两条较短线段转化到一条线段上证明.
利用全等三角形证明线段间的数量关系的方法
高分突破·微专项7 构造全等三角形中的两大辅助线技巧
利用旋转构造全等三角形
旋转的基本性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前后的图形全等.利用旋转作辅助线的方法如下.
例1 如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD= 60°,点C为 的中点,则AC的长是　　　　 .
【思路分析】　∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵点C为 的中点,∴BC=CD.将△ABC绕点C旋转至△EDC,则A,D,E三点共线,这样就把分散的条件集中在一块儿了,旋转变换后得到等腰三角形,再利用等腰三角形“三线合一”的性质和锐角三角函数求出AC的长即可.(利用旋转变换时,一般要满足两个条件:①有相等的边;②有两个互补的角)
利用截长补短法构造全等三角形
1.截长补短法:具体作法是在某条线段上截取一条线段等于特定线段,或将某条线段延长,使延长部分等于特定线段(或使延长后的线段等于某特定线段).2.截长补短法的适用情况:(1)证明一条线段等于另两条线段的和或差;(2)证明一条线段的倍等于另两条线段的和或差;(3)某些特殊情况下线段间倍数关系的证明.3.用截长补短法证明一条线段等于另两条线段的和或差的方法:截长法:在长线段上截取一条线段,使其等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.补短法:延长短线段,使其延长部分等于另一条短线段,然后证明延长后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然后证明延长部分等于另一条短线段).
例2 如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D.求证:AB=AC+CD.
证明:方法一(截长法):在AB上截取AE=AC,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AE=AC,AD=AD, ∴△AED≌△ACD,∴DC=DE,∠AED=∠C.∵∠C=2∠B,∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法二(补短法):延长AC至点E,使CE=CD,连接DE,则∠CDE=∠E,∴∠ACD=2∠E.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又AD=AD,∴△ADE≌△ADB,∴AB=AE=AC+CE=AC+CD.
第五节　相似三角形(含位似)
考点1 比例线段及比例的性质考点2 平行线分线段成比例考点3 相似三角形的性质及判定考点4 相似多边形考点5 图形的位似
命题角度1 相似三角形的判定与性质命题角度2 图形的位似
相似三角形的性质及判定
1.相似三角形的性质及判定
2.常见的相似模型(1)平行线型
若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC.
若∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE.
相似三角形的判定与性质
例1 [2020浙江杭州]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求证:△BDE∽△EFC.(2)设 .①若BC=12,求线段BE的长.②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
【思路分析】　(1)结合平行线的性质,利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明.(2)①利用平行线分线段成比例得到 ,结合BC的长列方程求出BE的长;②由EF∥AB,得到△EFC∽△BAC,然后求出两三角形的相似比,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.
(1)证明:因为DE∥AC,所以∠BED=∠C.因为EF∥AB,所以∠B=∠FEC,所以△BDE∽△EFC.(2)解:①因为EF∥AB,所以又因为BC=12,所以 所以BE=4.②因为EF∥AB,所以△EFC∽△BAC.因为 所以设△EFC的面积为S1,△ABC的面积为S,则又因为S1=20,所以S=45,所以△ABC的面积是45.
例2 如图,△ABO与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是　　　　.
【思路分析】　先找出两对对应点,这两对对应点所在直线的交点即为位似中心.
高分突破·微专项8 “一线三等角”模型、“手拉手”模型、“半角”模型和“对角互补”模型
【模型说明】“一线三等角”模型指的是三个等角的顶点在同一条直线上的模型,也称为“K型”相似模型,如图,∠ABC=∠ACE=∠CDE.特别地,当∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°时,该模型是“一线三直角”模型.
【模型类别及相关结论】
例1 如图,抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A,B,C三点,点P在抛物线上,连接BC,PE⊥BC于点E,若PE=2CE,则点P的坐标为　　　　.
例2 (1)问题发现:如图(1),△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,若∠ADE=60°,则线段AB,CE,BD,DC之间的数量关系是　　　　　 . (2)拓展探究:如图(2),△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠B=α,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=α,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(3)解决问题:如图(3),在△ABC中,∠B=30°,AB=AC=4 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB匀速运动,同时点M从点B出发,以 cm/s的速度沿BC匀速运动,当其中一个点运动至终点时,另一点也随之停止运动.连接PM,在PM右侧作∠PMG=30°,该角的另一边交射线CA于点G,连接PG.设运动时间为t s,当△APG为等腰三角形时,请直接写出t的值.
【思路分析】　(1)通过角的关系可证△ABD∽△DCE,根据相似三角形对应边成比例可得到线段之间的关系.(2)可证△ABD∽△DCE,即可得到结论.(3)可证△PBM∽△MCG,得到 ,用含t的式子表示PB,BM,MC的长,进而用含t的式子表示CG的长.再分点G在线段AC上和点G在CA的延长线上两种情况讨论,并列方程进行求解.
解:(1)解法提示:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAD+∠ADB=180°-60°=120°.∵∠ADE=60°,∴∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴(2)(1)中的结论仍然成立.理由:∵AB=AC,∠B=α,∴∠C=∠B=α,∠BAD+∠ADB=180°-α.∵∠ADE=α,∴∠CDE+∠ADB=180°-α,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴
(3)t的值为1或2.解法提示:∵∠B=30°,AB=AC,∴∠C=∠B=30°,∠BPM+∠PMB=180°-30°=150°.∵∠PMG=30°,∴∠CMG+∠PMB=180°-30°=150°,∴∠BPM=∠CMG.又∠B=∠C=30°,∴△PBM∽△MCG,分两种情况讨论.①当点G在线段AC上时,如图(1),∵△APG为等腰三角形,∠PAG=120°,∴AP=AG,此时AG=AC-CG=(4-3t)cm,∴4-3t=t,解得t=1.②当点G在CA的延长线上时,如图(2),∵△APG为等腰三角形,∠PAG=30°+30°=60°,∴△APG为等边三角形,∴AP=AG,此时AG=CG-AC=(3t-4)cm,∴3t-4=t,解得t=2.综上可知,t的值为1或2.
【模型说明】两个三角形的顶点重合,其中一个三角形不动,另一个三角形绕着一个重合的顶点旋转,就好像手拉着手一样,故叫“手拉手”模型.【模型特征】(1)有共顶点的一对相似三角形(对应边相等时,是全等三角形);(2)一个三角形位置固定,另一个三角形绕公共顶点旋转;(3)“左手拉左手”“右手拉右手”(如下表中的“左手”点A与点C,“右手”点B与点D始终相连).
1.判断“左右手”的方法:将初始图形的公共顶点放在上方,图形正对我们,我们左边顶点为“左手”,右边顶点为“右手”.2.两条“拉手线”所在直线夹角与初始图形中公共顶点对应的角相等或互补.3.三角形顺时针或逆时针旋转,得到的结论都是一样的,要根据题干的条件灵活运用. 4.“手拉手”模型中,对应边与“拉手线”组成的两个三角形相似(若“手拉手”的两个三角形均是等腰三角形,且公共顶点是顶角顶点,则对应边与“拉手线”组成的两个三角形全等).
【模型构造】如果题中图形没有共顶点的相似图形,就需要“补形”,即构造一对共顶点的相似图形.“补形”方法:如图(1),此图形有一个等腰直角三角形ACD和一条“拉手线”BD,则以顶点A为直角顶点,补一个等腰直角三角形ABE,再连接另一条“拉手线”CE,得到图(2).结论:△ABD≌△AEC,△ABE∽△ADC.即“旋转相似+旋转全等”都出现了.注:其他“手拉手”模型的“补形”方法基本是一致的.
例3 [2019河南]在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图(1),当α=60°时, 的值是　　　,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　　　　. (2)类比探究当α=90°时,请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图(2)的情形说明理由.(3)解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值.
【思路分析】　(1)根据“手拉手”模型3,可以得到△ADB≌△APC,从而可得CP=BD,直线BD与直线CP相交所成的较小角为60°.(2)根据“手拉手”模型5,可以得到△ADB∽△APC,从而可得 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角为45°.(3)分点P在线段CD上和点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论即可.【自主解答】　
解:(1)1　60°解法提示:∵AC=BC,∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,AC=AB.由旋转可得∠APD=60°,AP=PD,∴△APD是等边三角形,∴∠PAD=60°=∠CAB,AP=AD,∴∠CAP=∠BAD,∴△ACP≌△ABD,∴CP=BD,∠ACP=∠ABD,∴ =1.如图(1),延长CP,BD交于点M,CM与AB交于点N,在△ANC和△BNM中,∠ACN=∠MBN,∠CNA=∠BNM,∴∠M=∠CAN=60°.
(2) 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.理由如下:∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CAB=45°,同理可得∠PAD=45°, ∠CAB=∠PAD,∴∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC,即∠DAB=∠PAC,∴△DAB∽△PAC, ∠DBA=∠PCA.设BD交CP于点G,交CA于点H.∵∠BHA=∠CHG,∴∠CGH=∠BAH=45°. 解法提示:分两种情况.①如图(2),当点P在线段CD上时,AP⊥CD.可设CP=a,则BD=设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.
可证∠DQB=∠DBQ=67.5°,则DQ=BD=②如图(3),当点P在CD延长线上时,可设AP=DP=b,则AD=易得EF∥AB,∴∠PEA=∠CAB=45°,可证∠ECD=∠EAD=22.5°,
【模型说明】半角模型是一种常见的模型,指的是在一个角的顶点处引出两条射线,使夹角为已知角的一半,且至少有一条射线在已知角内部,我们称之为大角夹半角模型,简称半角模型.本专题主要研究两种类型:①90°角夹45°角;②120°角夹60°角.【模型类别及相关结论】
注意:1.旋转的目的:将分散的条件集中起来,将隐蔽的关系显现出来;2.旋转的条件:具有公共端点的等线段;3.旋转的方法:以公共端点为旋转中心、相等的两条线段的夹角为旋转角进行旋转,使旋转后两线段重合.
例4 (1)如图(1),在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45°.探究BE,DF,EF三条线段之间的数量关系.(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,则(1)中的结论是否仍然成立?请加以证明.
(1)如图(1),将△ABE绕点A逆时针旋转90°,至△ADE'的位置,使AB与AD重合,则AE'=AE,DE'=BE,∠DAE'=∠BAE.又∵∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,∴∠DAE'+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°,∴∠E'AF=∠EAF,又AF=AF,∴△AEF≌△AE'F,∴EF=E'F,∴EF=DE'+DF=BE+DF.
例5 如图,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,点C,D是边AB上两点,且∠CPD=45°,则线段AC,CD,BD之间有怎样的数量关系,并说明理由.
方法二:以直线PC为对称轴,作△PAC的对称图形,以直线PD为对称轴,作△PBD的对称图形,易知点A,B的对应点重合,设为点A',在Rt△CA'D中,利用勾股定理及等量代换求解即可.
解:方法一:如图(1),将△APC绕点P逆时针旋转90°至△BPC'的位置,使PA与PB重合,连接DC',则PC'=PC,BC'=AC,∠BPC'=∠APC,∠PBC'=∠PAC=45°.又∵∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=45°,∴∠DPB+∠BPC'=∠DPB+∠APC=45°,∴∠DPC'=∠DPC,又PD=PD,∴△PDC≌△PDC',∴DC=DC'.∵∠DBC'=∠PBA+∠PBC'=45°+45°=90°,∴BC'2+BD2=C'D2,∴AC2+BD2=CD2.方法二:如图(2),以直线PC为对称轴,作△PAC的对称图形,以直线PD为对称轴,作△PBD的对称图形,易知点A,B的对应点重合,设为点A',则CA'=CA ,DA'=DB,∠CA'P=∠CAP=45°,∠DA'P=∠DBP=45°,∴∠CA'D=90°,∴CA'2+DA'2=CD2,∴CA2+BD2=CD2.
例6 如图,△ABD是等边三角形,点C是△ABD外一点,CA=CB且∠ACB=120°,点E,F分别在边AD,BD上,且∠ECF=60°,连接EF.求证:EF=AE+BF.
证明:如图,将△ACE绕点C逆时针旋转120°至△BCE'的位置,使CA与CB重合,则CE'=CE,BE'=AE,∠ACE=∠BCE'.又∵∠ECA+∠FCB=∠ACB-∠ECF=60°,∴∠FCB+∠BCE'=∠FCB+∠ACE=60°,∴∠FCE'=∠FCE,又CF=CF,∴△FCE≌△FCE',∴EF=E'F,∴EF=BE'+BF=AE+BF.
例7 如图(1),在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将一个直角的顶点P放在对角线BD的中点处,以点P为旋转中心转动这个直角,旋转过程中使得角的两边分别与边CD,BC交于点E,F,连接EF.(1)特例感知:如图(2),当点F是边BC的中点时,PE=　　　　,tan∠PFE=　　　　. (2)类比延伸:在∠EPF绕点P旋转的过程中,∠PFE的大小是否发生变化?若不变,请求出tan∠PFE的值;若变化,请说明理由. (3)拓展迁移:在∠EPF绕点P旋转的基础上,再在BD上移动点P,如图(3),当 时,请直接写出此时tan∠PFE的值.
【思路分析】　(1)直接求出PE,PF的长,即可求得tan∠PFE的值.(2)方法一:过点P分别作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,证明△PNE∽△PMF,得到 ,即可求得tan∠PFE的值.方法二:过点P作PH⊥BD交BC于点H,证明△PFH∽△PED,得到 ，即可求得tan∠PFE的值.方法三:过点P作BD的垂线,交DC的延长线于点K,易证△PEK∽△PFB,得到 ,即可求得tan∠PFE的值.方法四:易知点P,C均在以EF为直径的圆上,连接PC,则∠PFE=∠PCE=∠PDC,即可求得tan∠PFE的值.
(3)方法一:过点P分别作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,通过证明△PRE∽△PQF,得到 ,即可求得tan∠PFE的值.方法二:过点P作BD的垂线,交BC的延长线于点S,通过证明△PDE∽△PSF,得到 ，即可求得tan∠PFE的值.方法三:过点P作BD的垂线,交CD于点I,通过证明△PEI∽△PFB,得到 ,即可求得tan∠PFE的值.方法四:易知点P,C均在以EF为直径的圆上,连接PC,则∠PCE=∠PFE.过点P作PT⊥CD于点T,求出PT,CT的长度,即可求得tan∠PFE的值.
方法三:如图(7),过点P作BD的垂线,交CD于点I,方法四:如图(8),∵∠FPE=∠FCE=90°,∴点P,C均在以EF为直径的圆上,连接PC,则∠PCE=∠PFE.过点P作PT⊥CD于点T,易证△PDT∽△BDC,
第六节　锐角三角函数及其应用
考点1 锐角三角函数考点2 解直角三角形考点3 解直角三角形的实际应用
命题角度1 解直角三角形命题角度2 解直角三角形的实际应用
1.锐角三角函数的定义
2.特殊角的三角函数值
解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助.
解直角三角形的实际应用
1.仰(俯)角、坡度(角)、方向角
2.测量物体高度的常见三角函数模型(1)利用水平距离测量物体的高度(h)
(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)
(3)测量底部不可到达的物体的高度(h)
例1 [2019广西梧州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,B=5,BD=1,tan B= .(1)求AD的长;(2)求sin α的值.
解:(1)由 ,可设AC=3x,BC=4x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,解得x1=-1(不合题意,舍去),x2=1,∴AC=3,BC=4.∵BD=1,∴CD=3,(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E,在Rt△BDE中,由 ,可设DE=3y,BE=4y.∵BE2+DE2=BD2,∴(4y)2+(3y)2=12,
在解直角三角形时,当所求元素不在直角三角形中时,通常作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数求出要求的线段长或角度,或通过已知直角三角形中的元素进行等量代换来求解.
例2 [2020江苏南京]如图,在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B,C.一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方向航行至D处,在B,C处分别测得∠ABD=45°,∠C=37°,求轮船航行的距离AD.(参考数据:sin 26°≈0.44,cs 26°≈0.90,tan 26°≈0.49,sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
解:如图,过点D作DH⊥AC,垂足为点H.在Rt△DCH中,∠C=37°,在Rt△DBH中,∠DBH=45°,在Rt△DAH中,易知∠ADH=26°,因此,轮船航行的距离AD约为20 km.