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山东省德州市齐河县胡官屯中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷
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这是一份山东省德州市齐河县胡官屯中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省德州市齐河县胡官屯中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2+4x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2﹣2x＝5 D．x2+2x＝5
3．方程x（x﹣1）＝x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
4．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2
6．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠0
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
8．将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
10．已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．﹣3≤x≤1 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
12．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac＝0
D．若点A（0.5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
13．当m＝ 时，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．
14．二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 ．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为 ．
16．若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 ．
17．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为 ．
18．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝3，则x2+y2＝ ．
三、解答题（共78分）
19．（16分）解方程
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
20．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）根据图象说明：当x为何值时，y＞0；当x为何值时，y＜0．
22．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，我县某快递公司，今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司行月投递的快递总件数的增长率相同；
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率：
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件．那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务？如果不能．请问至少需要增加几名业务员？
23．（8分）如图，有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式；
（2）求出自变量x的取值范围；
（3）如果要围成面积为32米2的花圃，AB的长是多少米？
24．（12分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，错误；
C、原方程可化为﹣7x＝0，是一元一次方程，错误；
D、方程二次项系数可能为0，错误．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2+4x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2﹣2x＝5 D．x2+2x＝5
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把二次项系数化1，再在左右两边应加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：A、∵x2﹣4x＝5
∴x2﹣4x+4＝5+4；故该选项正确，
B、∵2x2﹣4x＝5
∴x2﹣2x+1＝+1；故该选项错误，
C、∵x2﹣2x＝5
∴x2﹣2x+1＝5+1；故该选项错误，
D、∵x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝5+1．故该选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．方程x（x﹣1）＝x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x＝0，
解得，x1＝2，x2＝0；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
【分析】抛物线平移不改变a的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看作把抛物线沿x轴方向向左平移2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2）．可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查抛物线的平移规律．
5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2
【分析】a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．
【解答】解：∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
故选：C．
【点评】抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．
6．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】方程有实数根，用一元二次方程的根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7＝0
由题意知k≠0，方程有实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝49+28k≥0
∴k≥﹣且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
8．将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后得到的新的二次函数的解析式为y＝x2﹣9，令x2﹣9＝0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y＝x2﹣9
而抛物线y＝x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝3，
则抛物线y＝x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线沿着y轴向下平移时解析式的变换规律，难点是二次函数与x轴的交点与对应一元二次方程的解之间的关系
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故选项①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴y＝a﹣b+c＜0，故选项②正确；
∵抛物线有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项③正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∵图象与坐标相交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
10．已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．﹣3≤x≤1 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
【分析】认真观察图中虚线表示的含义，判断要使y≥1成立的x的取值范围．
【解答】解：由图可知，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为（﹣1，1），（3，1），
观察图象可知，当y≥1时，x≤﹣1或x≥3．
故选：D．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1＝y2＞y3．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
12．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac＝0
D．若点A（0.5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5
【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、正确．因为x＝﹣1或﹣3时，y的值都是0.5，所以对称轴是直线x＝﹣2．
B、正确．根据对称性，x＝0时的值和x＝﹣4的值相等．
C、错误．因为抛物线与x轴有交点，所以b2﹣4ac＞0．
D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
13．当m＝ 1 时，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m2+1＝2且m+1≠0．
【解答】解：依题意得：m2+1＝2且m+1≠0．
解得m＝1．
故答案是：1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 3 ．
【分析】由二次函数y＝x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了．
【解答】解：由表达式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）×（x﹣3），
则与x轴坐标为：A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得y＝3，即C（0，3）
∴△ABC的面积为：．
【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为 （20﹣x）（32﹣x）＝540 ．
【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为x米，（1分）
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程．
16．若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 2 ．
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，
∴m＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．
17．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为 ±6 ．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，
∴顶点的纵坐标为零，即y＝＝＝0，
解得b＝±6．
【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．
18．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝3，则x2+y2＝ 3 ．
【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝3，解方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝3，
整理得（a﹣1）2＝4，
解得a＝3或﹣1（舍去）
∴x2+y2＝3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
三、解答题（共78分）
19．（16分）解方程
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可；
（4）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1•x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2中，解之即可得出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）根据图象说明：当x为何值时，y＞0；当x为何值时，y＜0．
【分析】（1）用配方法整理，进而得出顶点坐标和对称轴即可；
（2）让函数值为0，求得一元二次方程的两个解即为这个二次函数的图象与坐标轴的交点的横坐标，让x＝0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；找到与y轴的交点，x轴的交点，对称轴，即可画出大致图象；
（3）由（1）和（2）中的条件即可画出它的图象；
（4）分别找到x轴上方和下方函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+9＝﹣（x﹣2）2+9；
故它的顶点坐标为（2，9）、对称轴为：x＝2；
（2）图象与x轴相交是y＝0，则：
0＝﹣（x﹣2）2+9，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0），（﹣1，0）；
当x＝0时，y＝5，
∴与y轴的交点坐标为（0，5）；
（3）画出大致图象为：
；
4）﹣1＜x＜5时 y＞0；x＜﹣1或x＞5时 y＜0．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，用到的知识点为：抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0；函数值大于0，相对应的自变量的取值是x轴上方函数图象所对应的
22．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，我县某快递公司，今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司行月投递的快递总件数的增长率相同；
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率：
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件．那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务？如果不能．请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年11月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
∴x＝0.1＝10%；
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年11月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务．
至少要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（8分）如图，有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式；
（2）求出自变量x的取值范围；
（3）如果要围成面积为32米2的花圃，AB的长是多少米？
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）根据墙的最大可用长度a为10米求出自变量的取值范围；
（3）根据（1）的函数关系式，将S＝32代入其中，求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（20﹣2x）米．
根据题意得：S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+20x；
（2）∵0＜20﹣2x≤10，
∴5≤x＜10，
即自变量的取值范围是5≤x＜10；
（3）由题意，得﹣2x2+20x＝32，
整理得x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
∵5≤x＜10，
∴x＝2不合题意，舍去，
∴AB的长为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
24．（12分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；（50﹣x）．
（3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【分析】（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，根据PB＝CQ，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据矩形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm，根据勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于z的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x＝2x，
解得：x＝．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．
（2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得：×6（16﹣3y+2y）＝33，
解得：y＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3z﹣2z）2+62＝102，
整理得：（16﹣5z）2＝82，
解得：z1＝，z2＝．
答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键．
山东省德州市齐河县胡官屯中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2+4x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2﹣2x＝5 D．x2+2x＝5
3．方程x（x﹣1）＝x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
4．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2
6．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠0
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
8．将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
10．已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．﹣3≤x≤1 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
12．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac＝0
D．若点A（0.5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
13．当m＝ 时，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．
14．二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 ．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为 ．
16．若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 ．
17．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为 ．
18．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝3，则x2+y2＝ ．
三、解答题（共78分）
19．（16分）解方程
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
20．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）根据图象说明：当x为何值时，y＞0；当x为何值时，y＜0．
22．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，我县某快递公司，今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司行月投递的快递总件数的增长率相同；
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率：
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件．那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务？如果不能．请问至少需要增加几名业务员？
23．（8分）如图，有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式；
（2）求出自变量x的取值范围；
（3）如果要围成面积为32米2的花圃，AB的长是多少米？
24．（12分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，错误；
C、原方程可化为﹣7x＝0，是一元一次方程，错误；
D、方程二次项系数可能为0，错误．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2+4x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2﹣2x＝5 D．x2+2x＝5
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把二次项系数化1，再在左右两边应加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：A、∵x2﹣4x＝5
∴x2﹣4x+4＝5+4；故该选项正确，
B、∵2x2﹣4x＝5
∴x2﹣2x+1＝+1；故该选项错误，
C、∵x2﹣2x＝5
∴x2﹣2x+1＝5+1；故该选项错误，
D、∵x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝5+1．故该选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．方程x（x﹣1）＝x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x＝0，
解得，x1＝2，x2＝0；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
【分析】抛物线平移不改变a的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看作把抛物线沿x轴方向向左平移2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2）．可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查抛物线的平移规律．
5．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2
【分析】a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．
【解答】解：∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
故选：C．
【点评】抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．
6．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】方程有实数根，用一元二次方程的根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7＝0
由题意知k≠0，方程有实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝49+28k≥0
∴k≥﹣且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
8．将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后得到的新的二次函数的解析式为y＝x2﹣9，令x2﹣9＝0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y＝x2﹣9
而抛物线y＝x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝3，
则抛物线y＝x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y＝x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线沿着y轴向下平移时解析式的变换规律，难点是二次函数与x轴的交点与对应一元二次方程的解之间的关系
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故选项①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴y＝a﹣b+c＜0，故选项②正确；
∵抛物线有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项③正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∵图象与坐标相交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
10．已知函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．﹣3≤x≤1 C．x≥﹣3 D．x≤﹣1或x≥3
【分析】认真观察图中虚线表示的含义，判断要使y≥1成立的x的取值范围．
【解答】解：由图可知，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为（﹣1，1），（3，1），
观察图象可知，当y≥1时，x≤﹣1或x≥3．
故选：D．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1＝y2＞y3．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
12．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac＝0
D．若点A（0.5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5
【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、正确．因为x＝﹣1或﹣3时，y的值都是0.5，所以对称轴是直线x＝﹣2．
B、正确．根据对称性，x＝0时的值和x＝﹣4的值相等．
C、错误．因为抛物线与x轴有交点，所以b2﹣4ac＞0．
D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
13．当m＝ 1 时，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m2+1＝2且m+1≠0．
【解答】解：依题意得：m2+1＝2且m+1≠0．
解得m＝1．
故答案是：1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 3 ．
【分析】由二次函数y＝x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了．
【解答】解：由表达式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）×（x﹣3），
则与x轴坐标为：A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得y＝3，即C（0，3）
∴△ABC的面积为：．
【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为 （20﹣x）（32﹣x）＝540 ．
【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为x米，（1分）
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程．
16．若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 2 ．
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，
∴m＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．
17．若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为 ±6 ．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，
∴顶点的纵坐标为零，即y＝＝＝0，
解得b＝±6．
【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．
18．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝3，则x2+y2＝ 3 ．
【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝3，解方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝3，
整理得（a﹣1）2＝4，
解得a＝3或﹣1（舍去）
∴x2+y2＝3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
三、解答题（共78分）
19．（16分）解方程
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可；
（4）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1•x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2中，解之即可得出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）根据图象说明：当x为何值时，y＞0；当x为何值时，y＜0．
【分析】（1）用配方法整理，进而得出顶点坐标和对称轴即可；
（2）让函数值为0，求得一元二次方程的两个解即为这个二次函数的图象与坐标轴的交点的横坐标，让x＝0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；找到与y轴的交点，x轴的交点，对称轴，即可画出大致图象；
（3）由（1）和（2）中的条件即可画出它的图象；
（4）分别找到x轴上方和下方函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+9＝﹣（x﹣2）2+9；
故它的顶点坐标为（2，9）、对称轴为：x＝2；
（2）图象与x轴相交是y＝0，则：
0＝﹣（x﹣2）2+9，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0），（﹣1，0）；
当x＝0时，y＝5，
∴与y轴的交点坐标为（0，5）；
（3）画出大致图象为：
；
4）﹣1＜x＜5时 y＞0；x＜﹣1或x＞5时 y＜0．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，用到的知识点为：抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0；函数值大于0，相对应的自变量的取值是x轴上方函数图象所对应的
22．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，我县某快递公司，今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司行月投递的快递总件数的增长率相同；
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率：
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件．那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务？如果不能．请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年11月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
∴x＝0.1＝10%；
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年11月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务．
至少要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（8分）如图，有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式；
（2）求出自变量x的取值范围；
（3）如果要围成面积为32米2的花圃，AB的长是多少米？
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）根据墙的最大可用长度a为10米求出自变量的取值范围；
（3）根据（1）的函数关系式，将S＝32代入其中，求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（20﹣2x）米．
根据题意得：S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+20x；
（2）∵0＜20﹣2x≤10，
∴5≤x＜10，
即自变量的取值范围是5≤x＜10；
（3）由题意，得﹣2x2+20x＝32，
整理得x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
∵5≤x＜10，
∴x＝2不合题意，舍去，
∴AB的长为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
24．（12分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；（50﹣x）．
（3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【分析】（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，根据PB＝CQ，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据矩形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm，根据勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于z的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x＝2x，
解得：x＝．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．
（2）设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得：×6（16﹣3y+2y）＝33，
解得：y＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
设P，Q两点从出发开始到z秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3z﹣2z）2+62＝102，
整理得：（16﹣5z）2＝82，
解得：z1＝，z2＝．
答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键．
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