四川省南充高级中学2023届九年级上学期第四次月考数学试卷(含解析)

这是一份四川省南充高级中学2023届九年级上学期第四次月考数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

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南充高级中学2022－2023学年度上期
第四次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（    ）
A． B． C． D．0
2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．28° B．30° C．36° D．56°
3．如图，在中，，D是斜边上一点，若，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（     ）

A．24 B．27 C．30 D．33
5．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
6．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则（    ）

A． B． C． D．1
8．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．如图，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B-C-D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，圆锥的母线长为6cm，则侧面展开图的圆心角的度数为 °

12．在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
  
13．已知，则 ．
14．如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．

15．如图，为反比例函数上一点，延长至，使得，过作轴垂线交反比例函数图象于点，若，则 ；

16．如图，边长的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或者推演步骤．
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，四边形内接于，为的直径，．

(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
19．某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须区从“科普、绘画、诗歌、散文”四类书籍中选择最喜爱的一类．学校将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有_______人．
(2)扇形统计图中，“散文”类所对应的圆心角的度数为________．请补全条形统计图．
(3)最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生、3名男生，现从4名学生中随机抽取2人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好都是男生的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
21．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．

(1)根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
(2)求反比例函数与一次函数的解析式；
(3)点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
22．如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

(1)求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题：
  
(1)如果，，
①当点D在线段上时（与点B不重合），如图乙，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________．
②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果，点D在线段上运动，试探究：当满足一个什么条件时，（点C、F重合除外）？并说明理由．
25．如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E，当时，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．
答案
1．A
解析：解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
2．A
解析：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，

∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
3．C
解析：解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连结DE，
∴AD=AE，∠ACE=∠B，BD=CE=1，
∵，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
在Rt△DCE中，，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴在Rt△ADE中
∴AD=5，
故选择C．

4．B
解析：解：如图，延长CD交⊙O于点F，连接AF，

由题可知，,
垂直平分,
CD经过圆心O，
∴∠CAF＝90°，
由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，
∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，
∴AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵∠ADF是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，
∴∠BCA＝27°，
由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，
故选：B．
5．A
解析：二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
6．A
解析：解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
7．C
解析：解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，

∵点M、N是反比例函数y=图象上的点，
∴，
∴，
设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，），
∴=CM•CN=•2t•（-）=；
=（ME+BN）•BE=（+）•2t=，
∴．
故选：C．
8．A
解析：连接OC．过O作OD⊥BC于D．
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°．
∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2．
∵∠OBD=30°，OB=2，∴OD=1，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC．
故选A．

9．D
解析：解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；
对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；
对于③，，当x=0时，，③错误；
对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选D．
10．B
解析：（1）如图1当动点Q在BC上运动时

∵4÷3=（秒）
∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是秒
∵AP=2x，BQ=3x
∴
∴抛物线开口向上.
（2）如图2，当动点Q再CD边上运动时

∵(8+4)÷3=4（秒），（秒）
∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是秒
∵AP=2x，BQ=4
∴
综上所述：
故答案选择B.
11．120
解析：解：圆锥侧面展开图的弧长是：（cm）
设圆心角的度数是n度，则
解得
故答案为：120．
12．
解析：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
13．3．
解析：解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
14．（，4）
解析：解：∵的顶点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∵绕点O顺时针旋转，得到，
∴轴，
∴点D和点P的纵坐标均为4，
∴令，得，
解得：，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，4）
故答案为（，4）．
15．##0.75
解析：解：连接，过点作轴于点，延长交轴于点，
在和中，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点、都在反比例函数上，
设，则
∴，，，，，，
∴


，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．

16．####
解析：解：如图，在上截取，连接，，

是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点在过点平行于的直线上运动，
当时，有最小值，
此时，
，
，，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)

解析：（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；

解析：（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
19．(1)50
(2)，补全统计图见解析
(3)树状图见解析，

解析：（1）解：人，
∴本次被调查的学生人数为50人，
故答案为：50；
（2）解：，
∴“散文”类所对应的圆心角的度数为；
“绘画”类学生人数为人，
补全统计图如下：

（3）解：画树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中所选的2人恰好都是男生的结果数6种，
∴所选的2人恰好都是男生的概率是．
20．(1)见解析
(2)m的值为4或3

解析：（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
21．(1)
(2)y＝﹣，y＝x+6
(3)P（0，3）或（0，﹣3）

解析：（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
22．(1)直线与相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积

解析：（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，

∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
23．(1)y＝﹣10x+1200
(2)售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元

解析：（1）解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
，解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）解：由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∴当x＝65时，w取得最大值，最大值为﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
24．(1)①，；②成立，理由见解析；
(2)当时，成立．理由见解析

解析：（1）解：①，；
理由：正方形中，，，
∵，
∴，
在与中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：，；
②成立．
理由：在等腰直角中，，
在正方形中，，
，
，
在与中

，
，，
在等腰直角中，，
，
，
；
（2）解：当时，成立．
理由：过点A作，交的延长线于点G，则，如图所示：
    
，
∴是等腰直角三角形，
，
在正方形ADEF中，，
，
∵，
，
在与中

∴，
，
，
．
25．(1)；
(2)①4；②是，定值为8，理由见解析．

解析：（1）当时，，
，是的两根，，，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，；
②设，，
直线，，
因此可得：或，
解得：或，
直线，．
令得，，
，，
．