2021-2022学年河南省郑州二十六中九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河南省郑州二十六中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列调查中，适宜采用普查方式的是(    )

A. 调查电视台节目的收视率 B. 调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量
C. 调查炮弹的杀伤力的情况 D. 市民对皮影表演艺术的喜爱程度

4.    将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，光年约为    千米，则“比邻星”距离太阳系约为(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

6.    点、、在反比例函数的图象上，且，则有(    )

A.  B.  C.  D.

7.    定义新运算“”对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    )

A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

8.    九章算术内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐引木却行一尺，其木至地问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上问木杆长多少尺？”说明：丈尺
   设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点若，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 不等式组的解集是______ ．
13. 现有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，则点在第二象限的概率为______．
14. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过点作于点，连接，若为等腰直角三角形则的长为______．

15. 如图，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点做，交于点，设点运动路程为，，如图所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    先化简，再求值：，其中为整数，且满足．
17. 本小题分

每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调査了部分市民问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上统计图，解答下列问题：

本次接受调查的市民共有________人；

扇形统计图中，扇形的圆心角度数是________；

请补全条形统计图；

若该市约有万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．

18. 本小题分
    如图，已知在中，，，点、分别从点、出发沿、方向向点、匀速运动，运动速度均为，当点到达点时，两点都停止运动．以、为边作平行四边形，连接，交于点设运动的时间为．
    求四边形的最大面积．
    填空：
    当______时，四边形是矩形；
    当______时，四边形是菱形．

19. 本小题分
    如图已知点、是双曲线上两点且点在点的左边，的面积为．
    求点的坐标；
    在轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

20. 本小题分
    开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园内部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元年北宋皇祐元年，是年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称．某“综合与实践”小组开展了测量开封铁塔的高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该塔底部所在的平地上，选取两个测点，由甲、乙两位同学分别在两个测点处测量了该塔顶端的仰角，并测量了这两个测点之间的距离．测量数据如下表不完整．

根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出开封铁塔的高度结果精确到．
参考数据：，，，

21. 本小题分
    某中学组织师生共人，从市乘高铁前往市参加学习交流活动，高铁票价格如图所示：教师按成人票价购买，学生按学生票价购买

若师生均购买二等座票，则共需元．
求参加活动的教师和学生各有多少人？
由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．
求关于的函数关系式；
若购买一、二等座票全部费用不多于元，则提早前往的教师最多只能多少人？

22. 本小题分
    已知二次函数与轴交于，两点其中在的左侧，且．
    抛物线的对称轴是______；
    求点和点坐标；
    点坐标为，若抛物线与线段恰有一个交点，求的取值范围．

23. 本小题分
    如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点为的中点．
    观察猜想
    图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
    探究证明
    把绕点逆时针方向旋转到图的位置，小雨猜想中的结论仍然成立，请你证明小雨的猜想；
    拓展探究
    把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用此概念解答即可．
本题考查了相反数的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
B.主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C.主视图为底层三个小正方形，上层左边一个小正方形，俯视图为一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．
D.主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：调查电视台节目的收视率，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
B.调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量，适合进行普查，故本选项符合题意；
C.调查炮弹的杀伤力的情况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
D.市民对皮影表演艺术的喜爱程度，适合进行抽样调查，故本选项不合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据，即可得，利用三角形内角和和邻补角，即可得到．
【解答】
解：，，

，
，
，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：依题意得：光年．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
函数图象在二，四象限，由可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为，的点在第四象限．
第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
最大，在第二象限内，随的增大而增大，
．
故选：．
先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可．
在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．
 

7.【答案】 

【解析】解：为实数是关于的方程，
，
整理得．

，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
，
故选：．
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作交于点，过作于，如图所示，

由题意知：是的角平分线，
，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
，
设，
在中，有，
解得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
∽，
，，
，
，
，
故选：．
由已知条件证明≌，得到，，，在直角三角形中，由勾股定理求出，从而求出即，根据四边是平行四边形，得到，从而得到∽求出和即可．
此题考查三角形相似，全等以及平四边形的性质，关键是对知识的掌握和综合运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
，，
，
，
，，
的中点为，
平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，
把代入得，，解得，
，
平移距离为，
故选：．
作于，解直角三角形求得、的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，算术平方根，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为，
所以点在第二象限的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于点，则，
四边形是矩形，，，
，，，
由折叠得，，
于点，
，
四边形是矩形，
为等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
、、三点在同一直线上，
，
，
，
故答案为：．
作于点，由为等腰直角三角形，可证明四边形是正方形，则，即可在中根据勾股定理得，得，则，可证明、、三点在同一直线上，则，所以，得．
此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：若点在上时，如图

，，
，
在和中，，，
∽，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即，
，当时，代入方程式解得：舍去，，
，
，，
矩形的面积为；
故答案是：．
易证∽，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
，
为整数，且满足，
为或，
但是当时，分式无意义，
所以只有，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，求出后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的混合运算和求值和估算无理数的大小等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

17.【答案】解：；
；
选项的人数为，
补全条形图如下：


估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为万人．
答：估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为万人． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
将选项人数除以总人数即可得；
用乘以选项人数所占比例可得；
用总人数乘以选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；
用总人数乘以样本中选项人数所占百分比可得．
【解答】
解：本次接受调查的市民人数为人；
故答案为；
扇形统计图中，扇形的圆心角度数是，
故答案为；
见答案；
见答案．  

18.【答案】  

【解析】解：，，，
．
过作于．
，
∽，
，即，
．
，
当时，四边形的面积最大，最大面积为；
四边形是矩形，

又，
∽，
，
，
．
故当时，平行四边形为矩形．
当▱是菱形时，，
则，
即，
解得．
故当时，四边形是菱形．
故答案为：；．
首先利用勾股定理求得，然后表示出，利用∽，得出，从而得出，根据二次函数的性质即可得出四边形的最大面积为；
根据∽，利用相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
当▱是菱形时，，则，据此即可列方程求解．
本题是二次函数的最值，相似形和平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理的综合应用，正确理解平行四边形为矩形以及▱是菱形的条件是关键．
 

19.【答案】解：过作轴于，过作轴于，

过点，
，
，
设，
，
，
，
即：，
，
解得：，，
；
过作轴于，并延长到，使得，连接交轴于点，过作轴于，连接，

，
的周长最小，为，
，，
∽，
，
即：，
又，
，
，
． 

【解析】利用面积相等进行转化，列方程求解；
根据两点之间线段最短，添加辅助线，利用三角形相似求解．
本题考查了反比例函数的几何意义及最短路径，正确添加辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：
，，，，
，
设，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
，
开封铁塔的高度约为． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：设参加活动的教师有人，学生有人，依题意有：
，
解得，
答：参加活动的教师有人，学生有人；
依题意有：．
故关于的函数关系式是；
依题意有：
，
解得：．
为整数，
提早前往的教师最多人． 

【解析】设参加活动的教师有人，学生有人，根据等量关系：师生共人；若师生均购买二等座票，则共需元；列出方程组，求出方程组的解即可；
根据购买一、二等座票全部费用购买一等座票钱数教师购买二等座票钱数学生购买二等座票钱数，依此可得解析式；
根据不等关系：购买一、二等座票全部费用不多于元，列出不等式求解即可．
本题主要考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，理清题意，找出相关数量关系，正确列出方程组是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：；
抛物线对称轴为直线，
A、是抛物线与轴的交点，且，
点坐标，点坐标；
把点坐标代入，得：，
即，
，
抛物线顶点坐标为，
，，
线段的解析式为，
若与线段恰有一个交点，
当时，
线段恰过抛物线顶点，

，即；
当时，

，
解得：；
当时，

，即，
综上：或或．
由求出对称轴即可；
由，两点是抛物线与轴的交点，以及，对称轴可以求出两点坐标；
先求出线段的解析式，再根据抛物线与线段恰有一个交点，分和两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图中，设交于点．

，，，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

成立．，．
理由如下：
延长到，使得，连接延长交于，

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．

根据题意得，，，
由可知，
，
，
，
，
．
如图中，设交于点证明≌，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
结论成立．如图中，延长到，使得，连接延长交于证明≌，即可解决问题．
利用三角形的三边关系求出的取值范围，即可解决问题．
本题考查几何变换的综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．