福建省漳州市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（a卷）及答案

这是一份福建省漳州市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（a卷）及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷（北师大版A卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂。
1．（4分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0.5 C． D．
2．（4分）在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
3．（4分）若点P（﹣3，b）在第三象限内，则b可以是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
4．（4分）下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．延长线段AB到C
C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗
5．（4分）如图，下列条件能判断AB∥DC的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠2＝∠3
6．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（4分）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（　　）

A．10吨 B．9吨 C．8吨 D．7吨
8．（4分）若函数y＝2x+a与y＝﹣x的图象交于点P（2，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3+＝3 B．+＝ C．＝3 D．＝﹣6
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），B（﹣1，4），点P在y轴上，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）若函数y＝2xm+3是一次函数，则m的值为 　 　．
12．（4分）若是二元一次方程2x+y＝4的一个解，则m的值为 　 　．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 　 　．
14．（4分）比较两数的大小：2　 　3．（填“＜”或“＞”）
15．（4分）把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中30°角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF＝100°，则∠BMD＝　 　°．

16．（4分）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）解方程组．
18．（8分）计算：．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．

20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作直线AD，使得AD∥BC；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

22．（10分）某公司销售甲、乙两种特产，这两种特产每月的销售量之和都是100吨，其中甲特产每吨成本价为5万元，销售价为5.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．设该公司甲特产每月销售量为x吨，两种特产每月销售的总利润为y万元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若甲特产每月销售量都不超过20吨，求该公司两种特产每月销售总利润的最大值．
23．（10分）某校对学生进行立定跳远水平测试随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩绘制成如下两幅不完整的图（表）．
组别
成绩/m
人数/人
第一组
1.2≤x＜1.6
a
第二组
1.6≤x＜2.0
12
第三组
2.0≤x＜2.4
b
第四组
2.4≤x＜2.8
10
根据图（表）中所提供的信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝　 　，中位数应落在第 　 　组；
（2）请直接把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．

24．（12分）在平面直角坐标系中，B（8，6），过点B作AB∥x轴，交y轴于点A．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点E为OC的中点，点F在线段BC上，连接EF，将△CEF沿直线EF折叠得△DEF．

（1）如图1，当四边形CFDE是正方形时，求点D的坐标；
（2）如图2，当BF＝2CF时，求点D到x轴的距离．

25．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴，y轴分别交于点C，D，△AOB≌△DOC．
（1）如图1，求直线CD的函数关系式；
（2）如图2，点M在线段AB上（不与点A、B重合），连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，连接MN．
①求证：OM＝ON；
②若点M的横坐标为a，且MN＝a时，求点N的坐标．



2021-2022学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷（北师大版A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂。
1．（4分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0.5 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B．0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2．（4分）在下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．（4分）若点P（﹣3，b）在第三象限内，则b可以是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据第三象限内点的坐标特点得到b＜0．
【解答】解：∵P（﹣3，b）在第三象限内，
∴b＜0，
故b可以为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
4．（4分）下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．延长线段AB到C
C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、垂线段最短，是命题；
B、延长线段AB到C，没有作出判断，不是命题；
C、过点O作直线a∥b，没有作出判断，不是命题；
D、锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
5．（4分）如图，下列条件能判断AB∥DC的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠2＝∠3
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：A、由∠3＝∠4，不能判断AB∥CD，故A选项不合题意；
B、由∠1＝∠4，不能判断AB∥CD，故B选项不合题意；
C、由∠1＝∠2，不能判断AB∥CD，故C选项不合题意；
D、由∠2＝∠3，能判定AB∥DC，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
6．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴此函数的图象经过一三四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
7．（4分）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（　　）

A．10吨 B．9吨 C．8吨 D．7吨
【分析】从图中得到6个月用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．
【解答】解：这6个月的平均用水量：（8+12+10+15+6+9）÷6＝10吨，
故选：A．
【点评】此题主要考查了折线图的应用以及平均数求法，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键．
8．（4分）若函数y＝2x+a与y＝﹣x的图象交于点P（2，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】解：∵函数y＝2x+a与y＝﹣x的图象交于点P（2，b），
∴b＝﹣×2＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
9．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3+＝3 B．+＝ C．＝3 D．＝﹣6
【分析】利用二次根式的除法、性质以及二次根式的加减法则进行分析即可．
【解答】解：A、3和不能合并，故原题计算错误；
B、和不能合并，故原题计算错误；
C、＝＝3，故原题计算正确；
D、＝6，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式加、减、乘、除的计算法则．
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），B（﹣1，4），点P在y轴上，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
【分析】如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，则PA+PB的最小值为A'B的长度．
【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，
则PA＝PA'，PA+PB＝PA'+PB≥A'B，
∵A（﹣3，1），B（﹣1，4），
∴A'（3，1），
∴A'B＝＝5，
则PA+PB的最小值为5．
故选：C．

【点评】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）若函数y＝2xm+3是一次函数，则m的值为 　1　．
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），进行计算即可．
【解答】解：由题意得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
12．（4分）若是二元一次方程2x+y＝4的一个解，则m的值为 　2　．
【分析】把方程的已知解代入mx﹣2y＝﹣4中，得到一个含有未知数m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【解答】解：把代入二元一次方程2x+y＝4，得
2+m＝4，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．解题关键是把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程，然后解此方程即可．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 　丁　．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．（4分）比较两数的大小：2　＞　3．（填“＜”或“＞”）
【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个正实数也大，判断出2、3的大小关系即可．
【解答】解：＝12，32＝9，
∵12＞9，
∴2＞3．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
15．（4分）把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中30°角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF＝100°，则∠BMD＝　85　°．

【分析】根据平角定义求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和是180°求出∠BMD的度数即可．
【解答】解：由题知，∠ADF＝100°，∠FDE＝30°，
∴∠MDB＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝180°﹣45°﹣50°＝85°，
故答案为：85．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形内角和，平角的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和是180°等知识是解题的关键．
16．（4分）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正确的是 　①②③　．（写出所有正确结论的序号）

【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出x与y的关系式，依次判断所给关系式即可．
【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，
∴x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，
故①正确；
∵小正方形的边长为1，
∴x﹣y＝1，
故②正确；
∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
∴1+2xy＝25，
∴xy＝12，
故③正确；
根综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）解方程组．
【分析】①+②得出4x＝12，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝4，
解得：y＝1，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有：代入法和加减法．
18．（8分）计算：．
【分析】利用二次根式的乘法法则，先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣×
＝2﹣
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解决本题的关键．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．

【分析】首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DAC＝90°，可得△ACD是直角三角形．
【解答】证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝12，
∵52+122＝132，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？
【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据“合买好田、坏田100亩，共需10000钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设好田买了x亩，坏田买了y亩，
依题意，得：，
解得：．
答：好田买了20亩，坏田买了80亩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作直线AD，使得AD∥BC；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

【分析】（1）作∠DAB＝∠B，则利用平行线的判定方法可得到AD满足条件；
（2）先根据平行线的性质得到∠DAB＝∠B，∠CAE＝∠C，再利用平角定义得到∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠CAE＝∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和三角形内角和定理．
22．（10分）某公司销售甲、乙两种特产，这两种特产每月的销售量之和都是100吨，其中甲特产每吨成本价为5万元，销售价为5.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．设该公司甲特产每月销售量为x吨，两种特产每月销售的总利润为y万元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若甲特产每月销售量都不超过20吨，求该公司两种特产每月销售总利润的最大值．
【分析】（1）结合“总利润＝甲种特产的利润+乙种特产的利润”解答即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（5.5﹣5）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20；
（2）由题意得0≤x≤20，
由（1）可知y＝0.3x+20，
∵0.3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，W取得最大值，此时y＝26，
答：该公司两种特产每月销售总利润的最大值是26万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
23．（10分）某校对学生进行立定跳远水平测试随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩绘制成如下两幅不完整的图（表）．
组别
成绩/m
人数/人
第一组
1.2≤x＜1.6
a
第二组
1.6≤x＜2.0
12
第三组
2.0≤x＜2.4
b
第四组
2.4≤x＜2.8
10
根据图（表）中所提供的信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝　8　，中位数应落在第 　三　组；
（2）请直接把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．

【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，再根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；
（2）先求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（3）用总学生数乘以立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8；
由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在三组，
故答案为：8，三；

（2）b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
补全频数分布直方图如图所示：


（3）根据题意得：
1200×＝240（人），
答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解各个数量之间的关系是正确解答的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，B（8，6），过点B作AB∥x轴，交y轴于点A．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点E为OC的中点，点F在线段BC上，连接EF，将△CEF沿直线EF折叠得△DEF．

（1）如图1，当四边形CFDE是正方形时，求点D的坐标；
（2）如图2，当BF＝2CF时，求点D到x轴的距离．

【分析】（1）根据翻折的性质即可解决问题；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，设DG＝x，EG＝y，可得CG＝CE﹣EG＝4﹣y，然后用两种方法表示S四边形DECF＝S△DEG+S梯形DGCF，S四边形DECF＝2S△EFC，可得y＝2x﹣4，再利用勾股定理可得x2+y2＝42，进而即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB∥x轴，BC⊥x轴，
∴四边形AOCB是矩形，
∵B（8，6），
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝6，
∵点E为OC的中点，
∴OE＝CE＝4，
∵四边形CFDE是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴点D的坐标为（4，4）；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，

∵BF＝2CF，BC＝6，
∴CF＝2，
设DG＝x，EG＝y，
∴CG＝CE﹣EG＝4﹣y，
∴S四边形DECF＝S△DEG+S梯形DGCF＝xy+（2+x）（4﹣y）＝2x﹣y+4，
由翻折可知：S四边形DECF＝2S△EFC＝2×2×4＝8，
∴2x﹣y+4＝8，
∴y＝2x﹣4，
在Rt△DEG中，DE＝EC＝4，根据勾股定理，得：
x2+y2＝42，
∴x2+（2x﹣4）2＝42，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴DG＝，
∴点D到x轴的距离为．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形变化﹣对称，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
25．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴，y轴分别交于点C，D，△AOB≌△DOC．
（1）如图1，求直线CD的函数关系式；
（2）如图2，点M在线段AB上（不与点A、B重合），连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，连接MN．
①求证：OM＝ON；
②若点M的横坐标为a，且MN＝a时，求点N的坐标．


【分析】（1）由直线y＝﹣x+4可得点A坐标（3，0），点B坐标为（0，4），根据△AOB≌△DOC，得OD＝OA＝3，OC＝OB＝4，得点C，D坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）①由△AOB≌△DOC得∠ABO＝∠DCO，BO＝CO，根据∠MON＝∠COD＝90°，得∠BOM＝∠CON，可证△BOM≌△CON（ASA），即可证出OM＝ON；
②过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，在Rt△MON中，根据等腰直角三角形的性质得OM＝ON＝a，证明△OME≌△NOF（AAS），则NF＝OE，FO＝EM，由点M的横坐标为a，可得NF＝OE＝a，在△ONF中，利用勾股定理求出OF＝＝＝a，即可得点N的坐标为（﹣a，a）．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A坐标（3，0），点B坐标为（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵△AOB≌△DOC，
∴OD＝OA＝3，OC＝OB＝4，
∴C（﹣4，0），D（0，3），
∴设直线CD的函数关系式为y＝kx+3（k≠0），
将点C（﹣4，0）代入，得0＝﹣4k+3，
∴k＝，
∴直线CD的函数关系式为y＝x+3；
（2）①证明：∵△AOB≌△DOC，
∴∠ABO＝∠DCO，BO＝CO，
∵ON⊥OM，OA⊥OB，
∴∠MON＝∠COD＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM＝ON；
②在Rt△MON中，∠MON＝90°，OM＝ON，MN＝a，
∴OM＝ON＝a，
过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，

∴∠NFO＝∠OEM＝90°，
∴∠OME+∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOF+∠MOE＝90°，
∴∠OME＝∠NOF，
∵OM＝ON，
∴△OME≌△NOF（AAS），
∴NF＝OE，FO＝EM，
∵点M的横坐标为a，
∴NF＝OE＝a，
在△ONF中，OF＝＝＝a，
∴点N的坐标为（﹣a，a）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．