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2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
2．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）若一个扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为
A． B． C． D．
4．（3分）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
5．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
6．（3分）二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表：
0
4
0
0
4
下列说法正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而增大
7．（3分）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是
A． B．
C．平分 D．
8．（3分）函数的图象如图所示，若点，，，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是
A．， B．，
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
10．（3分）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则 ．
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．
12．（3分）抛物线与轴有且只有1个公共点，则 ．
13．（3分）如图，是的外接圆，是的中点，连接，，与交于点，请写出图中所有与相似的三角形 ．
14．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是 ．
15．（3分）如图，是的内接三角形，于点．
下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：
①延长交于点；
②连接交于点．
所以．
即线段为所求中的平分线．
请回答，得到的依据是 ．
16．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数充分大时，计算某个圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，再将它们的平均数作为的近似值．
当时，如图是及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若的半径为1，则的内接正六边形的边长是 ；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算时的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：
三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题5分，23-25题每小题5分）
17．（5分）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
18．（5分）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）画出△，使△与关于点中心对称；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，画出一个满足条件的△．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，．点是矩形对角线的交点．已知反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，交于点．
（1）求点的坐标和的值；（2）反比例函数图象在点到点之间的部分（包含，两点）记为图形，求图形上点的横坐标的取值范围．
21．（5分）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（6分）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含票价2元，每增加5公里以内（含加价1元”，如图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，再将点向右平移2个单位长度得到点，求点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段与抛物线有公共点，求的取值范围．
24．（7分）已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点，．
（1）在点，，中，线段的2倍等距点是 ；
（2）画出线段的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线与轴，轴的交点分别为点，，若线段上存在线段的2倍等距点，直接写出的取值范围．
2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：根据二次函数的性质，当时，二次函数的最小值是．
故选：．
2．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
3．（3分）若一个扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．（3分）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内随的增大而减小，
，
点在第三象限，
，
，
、两点在第一象限，
，
．
故选：．
5．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【解答】解：连接，如图所示：
的直径为10分米，
分米，
由题意得：，分米，
分米，
（分米），
水的最大深度（分米），
故选：．
6．（3分）二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表：
0
4
0
0
4
下列说法正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而增大
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线，故选项错误，
该抛物线开口向上，在时，取得最小值，故选项错误，
当时，随的增大而最大，故选项错误，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，故选项正确；
故选：．
7．（3分）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是
A． B．
C．平分 D．
【解答】解：点为线段的中点，点，，到点的距离相等，
点、、、在上，如图，
为直径，
，所以选项的结论正确；
和都对，
，所以选项的结论正确；
只有当时，，所以选项的结论不正确；
四边形为的内接四边形，
，所以选项的结论正确．
故选：．
8．（3分）函数的图象如图所示，若点，，，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是
A．， B．，
C．若，则 D．若，则
【解答】解：由图象可知，，，故选项正确；
，
，，故选项正确；
函数的图象关于轴对称，
，则，故选项正确；
根据函数的增减性，当时，若，则，当时，若，则，故选项错误，
故选：．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为，
故答案为：．
10．（3分）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则 ．
【解答】解：四边形是平行四边形，
且，
，
，
，
，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以，
故答案为：，
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.881 ．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
这种幼树移植成活率的概率约为0.881．
故答案为：0.881．
12．（3分）抛物线与轴有且只有1个公共点，则 ．
【解答】解：令，则当抛物线的图象与轴只有一个公共点时，关于的一元二次方程的根的判别式△，即，
解得．
故答案是：．
13．（3分）如图，是的外接圆，是的中点，连接，，与交于点，请写出图中所有与相似的三角形 ， ．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：，．
14．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是 8 ．
【解答】解：，，
，
，
即，
，
故答案为：8．
15．（3分）如图，是的内接三角形，于点．
下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：
①延长交于点；
②连接交于点．
所以．
即线段为所求中的平分线．
请回答，得到的依据是 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ．
【解答】解：如图，为所求中的平分线，
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
16．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数充分大时，计算某个圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，再将它们的平均数作为的近似值．
当时，如图是及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若的半径为1，则的内接正六边形的边长是 1 ；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算时的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：
【解答】解：（1）的半径为1，则的内接正六边形的边长是1，
故答案为：1．
（2）圆的外切正六边形的边长，
圆的外切正六边形的周长，
圆的内接正六边形的周长，
，
．
故答案为：3.23．
三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题5分，23-25题每小题5分）
17．（5分）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1），
该二次函数图象顶点坐标为；
（2）当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，；
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
如图：
；
（3）由图象可知，当时，．
18．（5分）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】（1）证明：
，
．
又，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
．
又，
．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）画出△，使△与关于点中心对称；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，画出一个满足条件的△．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，．点是矩形对角线的交点．已知反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，交于点．
（1）求点的坐标和的值；（2）反比例函数图象在点到点之间的部分（包含，两点）记为图形，求图形上点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）点是矩形的对角线交点，
点是矩形的对角线的中点，
又，，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
，
解得：．
（2）由题意可得：点的纵坐标为2，点的横坐标为4．
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
．
21．（5分）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接．
，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
与相切于点，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
在中，，，
，
，
．
与和都相切，
．
在中，，
即：，
解得：．
22．（6分）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含票价2元，每增加5公里以内（含加价1元”，如图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 3 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
【解答】解：（1）乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，里程数为，
则原票价应为3元，
他使用学生卡实际支付（元，
故答案为：3、0.75；
（2）下车刷卡时实际支付了1元，
学生乙原票价为（元，
学生乙乘坐的里程数再16至20之间，
由图知，学生乙上车地点可能是云岗北区、佃起村、张家坟、朱家坟、赵辛店、北京十中这6个，
他在佃起村上车的概率为，
故答案为：．
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，再将点向右平移2个单位长度得到点，求点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段与抛物线有公共点，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线过点，
，
．
（2）点绕原点顺时针旋转得到点，
点的坐标为，
点向右平移2个单位长度得到点，
点的坐标为．
（3）当时，
抛物线开口向上，与轴交于两点，．
若线段与抛物线有公共点（如答图，只需满足：，解得：；
当时，
抛物线开口向下，与轴交于两点，，
若线段与抛物线有公共点（如答图，只需满足：，解得：；
综上所述，的取值范围为或．
24．（7分）已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
（2）①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
理由：在上截取点，使得，连接．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
点关于直线的对称点是点，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
25．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点，．
（1）在点，，中，线段的2倍等距点是 ， ；
（2）画出线段的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线与轴，轴的交点分别为点，，若线段上存在线段的2倍等距点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，点与点重合时最大为，当点在轴上是最小为2，即，
由，得，如图1．
点，，中只有、符合要求，故选、．
（2）如图2，线段的所有2倍等距点构成的图形为以点为圆心，分别以1和为半径的同心圆形成的环形．
．
（3）直线由直线平移得到，与坐标轴成角．
如图3，当时，直线过点时，的值最小，由得，；当直线过
点时，，．
当时，直线过点时，；直线过点时，的值最大，由得，．
综上所述，或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/6 11:48:14；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122
2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
2．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）若一个扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为
A． B． C． D．
4．（3分）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
5．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
6．（3分）二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表：
0
4
0
0
4
下列说法正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而增大
7．（3分）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是
A． B．
C．平分 D．
8．（3分）函数的图象如图所示，若点，，，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是
A．， B．，
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
10．（3分）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则 ．
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．
12．（3分）抛物线与轴有且只有1个公共点，则 ．
13．（3分）如图，是的外接圆，是的中点，连接，，与交于点，请写出图中所有与相似的三角形 ．
14．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是 ．
15．（3分）如图，是的内接三角形，于点．
下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：
①延长交于点；
②连接交于点．
所以．
即线段为所求中的平分线．
请回答，得到的依据是 ．
16．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数充分大时，计算某个圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，再将它们的平均数作为的近似值．
当时，如图是及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若的半径为1，则的内接正六边形的边长是 ；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算时的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：
三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题5分，23-25题每小题5分）
17．（5分）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
18．（5分）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）画出△，使△与关于点中心对称；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，画出一个满足条件的△．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，．点是矩形对角线的交点．已知反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，交于点．
（1）求点的坐标和的值；（2）反比例函数图象在点到点之间的部分（包含，两点）记为图形，求图形上点的横坐标的取值范围．
21．（5分）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（6分）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含票价2元，每增加5公里以内（含加价1元”，如图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，再将点向右平移2个单位长度得到点，求点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段与抛物线有公共点，求的取值范围．
24．（7分）已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点，．
（1）在点，，中，线段的2倍等距点是 ；
（2）画出线段的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线与轴，轴的交点分别为点，，若线段上存在线段的2倍等距点，直接写出的取值范围．
2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：根据二次函数的性质，当时，二次函数的最小值是．
故选：．
2．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
3．（3分）若一个扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．（3分）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内随的增大而减小，
，
点在第三象限，
，
，
、两点在第一象限，
，
．
故选：．
5．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【解答】解：连接，如图所示：
的直径为10分米，
分米，
由题意得：，分米，
分米，
（分米），
水的最大深度（分米），
故选：．
6．（3分）二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表：
0
4
0
0
4
下列说法正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而增大
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线，故选项错误，
该抛物线开口向上，在时，取得最小值，故选项错误，
当时，随的增大而最大，故选项错误，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，故选项正确；
故选：．
7．（3分）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是
A． B．
C．平分 D．
【解答】解：点为线段的中点，点，，到点的距离相等，
点、、、在上，如图，
为直径，
，所以选项的结论正确；
和都对，
，所以选项的结论正确；
只有当时，，所以选项的结论不正确；
四边形为的内接四边形，
，所以选项的结论正确．
故选：．
8．（3分）函数的图象如图所示，若点，，，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是
A．， B．，
C．若，则 D．若，则
【解答】解：由图象可知，，，故选项正确；
，
，，故选项正确；
函数的图象关于轴对称，
，则，故选项正确；
根据函数的增减性，当时，若，则，当时，若，则，故选项错误，
故选：．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为，
故答案为：．
10．（3分）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则 ．
【解答】解：四边形是平行四边形，
且，
，
，
，
，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以，
故答案为：，
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.881 ．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
这种幼树移植成活率的概率约为0.881．
故答案为：0.881．
12．（3分）抛物线与轴有且只有1个公共点，则 ．
【解答】解：令，则当抛物线的图象与轴只有一个公共点时，关于的一元二次方程的根的判别式△，即，
解得．
故答案是：．
13．（3分）如图，是的外接圆，是的中点，连接，，与交于点，请写出图中所有与相似的三角形 ， ．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：，．
14．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是 8 ．
【解答】解：，，
，
，
即，
，
故答案为：8．
15．（3分）如图，是的内接三角形，于点．
下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：
①延长交于点；
②连接交于点．
所以．
即线段为所求中的平分线．
请回答，得到的依据是 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ．
【解答】解：如图，为所求中的平分线，
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
16．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数充分大时，计算某个圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，再将它们的平均数作为的近似值．
当时，如图是及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若的半径为1，则的内接正六边形的边长是 1 ；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算时的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：
【解答】解：（1）的半径为1，则的内接正六边形的边长是1，
故答案为：1．
（2）圆的外切正六边形的边长，
圆的外切正六边形的周长，
圆的内接正六边形的周长，
，
．
故答案为：3.23．
三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题每小题5分，23-25题每小题5分）
17．（5分）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1），
该二次函数图象顶点坐标为；
（2）当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，；
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
如图：
；
（3）由图象可知，当时，．
18．（5分）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】（1）证明：
，
．
又，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
．
又，
．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）画出△，使△与关于点中心对称；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，画出一个满足条件的△．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，．点是矩形对角线的交点．已知反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，交于点．
（1）求点的坐标和的值；（2）反比例函数图象在点到点之间的部分（包含，两点）记为图形，求图形上点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）点是矩形的对角线交点，
点是矩形的对角线的中点，
又，，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
，
解得：．
（2）由题意可得：点的纵坐标为2，点的横坐标为4．
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
．
21．（5分）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接．
，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
与相切于点，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
在中，，，
，
，
．
与和都相切，
．
在中，，
即：，
解得：．
22．（6分）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含票价2元，每增加5公里以内（含加价1元”，如图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 3 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
【解答】解：（1）乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，里程数为，
则原票价应为3元，
他使用学生卡实际支付（元，
故答案为：3、0.75；
（2）下车刷卡时实际支付了1元，
学生乙原票价为（元，
学生乙乘坐的里程数再16至20之间，
由图知，学生乙上车地点可能是云岗北区、佃起村、张家坟、朱家坟、赵辛店、北京十中这6个，
他在佃起村上车的概率为，
故答案为：．
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，再将点向右平移2个单位长度得到点，求点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段与抛物线有公共点，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线过点，
，
．
（2）点绕原点顺时针旋转得到点，
点的坐标为，
点向右平移2个单位长度得到点，
点的坐标为．
（3）当时，
抛物线开口向上，与轴交于两点，．
若线段与抛物线有公共点（如答图，只需满足：，解得：；
当时，
抛物线开口向下，与轴交于两点，，
若线段与抛物线有公共点（如答图，只需满足：，解得：；
综上所述，的取值范围为或．
24．（7分）已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
（2）①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
理由：在上截取点，使得，连接．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
点关于直线的对称点是点，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
25．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点，．
（1）在点，，中，线段的2倍等距点是 ， ；
（2）画出线段的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线与轴，轴的交点分别为点，，若线段上存在线段的2倍等距点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，点与点重合时最大为，当点在轴上是最小为2，即，
由，得，如图1．
点，，中只有、符合要求，故选、．
（2）如图2，线段的所有2倍等距点构成的图形为以点为圆心，分别以1和为半径的同心圆形成的环形．
．
（3）直线由直线平移得到，与坐标轴成角．
如图3，当时，直线过点时，的值最小，由得，；当直线过
点时，，．
当时，直线过点时，；直线过点时，的值最大，由得，．
综上所述，或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/6 11:48:14；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122
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