专题27.23 位似（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.23 位似（知识讲解）

【学习目标】

1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；

2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【要点梳理】

知识点1：位似图形概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

知识点2：位似图形的性质

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

特别说明：

（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未

必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

知识点3：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

知识点4：作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：顺次连接各对应点.

特别说明：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

【典型例题】

类型一、位似图形的识别

1．如图是与位似的三角形的几种画法，其中正确的有(     )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据位似图形的性质判断即可．

解：由位似图形的画法可得：4个图形都是的位似图形．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．

举一反三：

【变式】下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据位似图形的定义解答即可．

解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，

A中的位似中心是点C，

B中的位似中心是点O，

C中的位似中心是点O.

只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.

故选D．

【点拨】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．

类型二、判断位似中心

2．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（　　）

A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4）

【答案】A

【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．

解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．

故选A．

【点拨】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．

举一反三：

【变式】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心．

解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)，

故选：C．

【点拨】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键．

类型三、位似图形的相关概念

3．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（　　）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13

【答案】B

【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案．

解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，

∴＝，AC∥DF，

∴＝＝，

∴＝．

故选B．

【点拨】此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

举一反三：

【变式】按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（　　）

A．点O为位似中心且位似比为1：2

B．△ABC与△DEF是位似图形

C．△ABC与△DEF是相似图形

D．△ABC与△DEF的面积之比为4：1

【答案】A

【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．

解：∵如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，

∴将△ABC的三边缩小到原来的，此时点O为位似中心且△ABC与△DEF的位似比为2：1，故选项A说法错误，符合题意；

△ABC与△DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；

△ABC与△DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；

△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故选项D说法正确，不合题意；

故选：A．

【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．

类型四、位似图形的相似比

4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，则＝_____．

【答案】

解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，

∴＝＝，

则＝＝＝．

故答案为．

【点拨】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，与是位似图形， 点O是位似中心， 若，．则__________．

【答案】18

【分析】由与是位似图形且由．可得两位似图形的位似比为2∶3，所以两位似图形的面积比为4∶9，又由的面积为8，得的面积为18．

解：与是位似图形，

，

，

经检验：符合题意．

故答案为：

【点拨】本题考查的是位似图形的性质，掌握利用位似图形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．

类型五、画位似图形放大后的的位似图形

5．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．

（1）画出关于x轴成轴对称的；

（2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．

【答案】（1）如图所示为所求；见分析； （2）如图所示为所求；见分析．

【分析】

（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．

（２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．

解：（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），

C（1，1），

则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），

C1（1，-1），

连接A1C1，A1B1，B1C1

得到．

如图所示为所求；

（2）由题意知：位似中心是原点，

则分两种情况：

第一种，和在同一侧

则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），

连接各点，得．

第二种，在的对侧

A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），

连接各点，得．

综上所述：如图所示为所求；

【点拨】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图是的网格，网格中每个小正方形的边长都是1，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．

（1）图1中的格点三角形与格点三角形相似吗？请说明理由；

（2）请在图2中选择适当的位似中心画一个格点三角形，使与位似，且相似比不为1．

【答案】（1），理由见分析；（2）如图所示（答案不唯一），见分析．

【分析】

（1）根据题意以及利用勾股定理求出三角形各个边长，然后进一步得出对应边成比例求证三角形相似即可；

（2）可选择A点为位似中心，然后进一步按要求画出位似图形即可.

解：（1），理由如下：

由题图，可知，

则，

∴；

（2）如图所示：

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与位似图形的作图，熟练掌握相关概念是解题关键.

类型六、求位似图形对应的坐标

6．如图，已知三个顶点的坐标是，，．

（1）将绕原点顺时针旋转得，画出，并写出、、的坐标；

（2）和关于原点对称，画出；

（3）以点为位似中心，将缩小为原来的，请直接写出点的对应点的坐标．

【答案】（1）见分析，、、；（2）见分析；（3）或

【分析】

（1）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；

（2）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；

（3）分两种情况写出即可.

解：（1）如图所示，为所求；、、

（2）如图所示，为所求．

（3）或

【点拨】本题主要考查作图-中心对称变换、旋转变换、位似变换，解题的关键是根据中心对称变换和位似变换的点的坐标特征，确定变换后的对应点．

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．

（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是    ；

（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；

（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是                    ．

【答案】（1）2；（2）作图见分析；（3）（﹣2a，2b）．

【分析】

(1)  根据位似图形可得位似比即可；

(2)  根据轴对称图形的画法画出图形即可；

(3)  根据三次变换规律得出坐标即可．

解：(1)  △A1B1C1与△ABC的位似比等于=；

（2）如图所示

(3)点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．

考点：(1)、作图-位似变换；(2)、作图-轴对称变换

类型七、坐标系中的位似图形

7．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.

（1）求证：△DAC∽△EBC；

（2）求△ABC与△DEC的面积比．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC∽△EBC；

（2）依据△DAC∽△EBC所得条件，证明△ABC与△DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.

（1）证明：∵△EBC是等腰直角三角形

∴BC＝BE，∠EBC＝90°

∴∠BEC＝∠BCE＝45°．

同理∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°

∴∠EBC＝∠DAC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝45°．

∴△DAC∽△EBC．

（2）解：∵在Rt△ACD中， AC2＋AD2＝CD2，

∴2AC2＝CD2

∴,

∵△DAC∽△EBC

∴＝，

∴＝，

∵∠BCE＝∠ACD

∴∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，

∵在△DEC和△ABC中，＝，∠BCA＝∠ECD，

∴△DEC∽△ABC，

∴S△ABC:S△DEC＝＝.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.

举一反三：

【变式】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．

(1)  在坐标系中面出关于y轴的对称图形；

(2)  在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；

(3)  求出的面积．

【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3) 6

【分析】

（1）根据纵不变，横相反，确定对称点的坐标，依次连接各点，得到所求三角形；

（2）根据位似比，确定坐标的绝对值，结合位置，确定坐标，依次连线，得到所求三角形；

（3）先计算，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可．

解：(1)∵的顶点坐标分别为、、，

∴各点关于y轴的对称点坐标依次为(0，2)，(-1，3)，(-2，1)，

画图如下：

则即为所求．

(2)∵的顶点坐标分别为、、，

∴位似比为2时的位似点坐标依次为(0，-4)，(-2，-6)，(-4，-2)，

则即为所求．画图如下：

(3)∵=，位似比为2，

∴．

【点拨】本题考查了关于y轴对称，位似作图，位似比的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键．

类型八、坐标系中的位似图形

8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）在图中以点O为位似中心在原点的另一侧画出△ABC放大2倍后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；

（2）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

【答案】（1）A（﹣2，﹣6）；（2）见分析

【分析】

（1）把每个坐标做大2倍，并去相反数；

（2）横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数．

解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A（﹣2，﹣6）；

（2）如图，△A2B2C2为所作．

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.

（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．

【分析】

（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；

（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.

解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；

（2）如图：△A2B2C2即为所求.

类型九、坐标系中画两个位似图形

9．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

【答案】（1）见分析；（2）位似比为1：2；（3）见分析

【分析】

（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．

（2）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，即可求解.

（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．

解：（1）如图，O点即为所求，

（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．

（3）如图，△A1B1C1为所求.

举一反三：

【变式】如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．

【答案】3∶2.

【分析】由△DEF是△ABC经过位似变换得到的，根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；然后由OC=3.6cm，OF=2.4cm，即可求得它们的相似比．

解：连接AD，CF交于点O，

则点O即为所求；

∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，

∴OC：OF＝3∶2，

∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.

【点拨】本题考查了位似变换，熟知位似图形性质是解决问题的关键．