专题27.12 黄金分割（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.12 黄金分割（知识讲解）

【学习目标】

1、理解黄金分割的概念；

2、会找一条线段的黄金分割点；

3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。

【要点梳理】

要点一：

黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

特别说明：

≈0.618AB(叫做黄金分割值).

要点二：

作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

特别说明：

一条线段的黄金分割点有两个. 

【典型例题】

类型一、黄金分割的作法

1．作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）

 【分析】

作法：（1）延长线段至，使，分别以、为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则，在上取点，使；（2）连接，在上截取．（3）在上截取．点就是线段的黄金分割点．

 解：如图，点即为所求．

【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．

【变式】如图，设线段AC＝1.

（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．

（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？

【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析

【分析】

（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．

 解：（1）如图，点B为所作；

（2）点B是线段AC的黄金分割点．

理由如下：设AC＝1，则CD，

∴DE＝DC，

∵AD=，

∴AE＝AD﹣DE，

∴AB， BC，

即，

∴点B是线段AC的黄金分割点．

【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键

【变式2】如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．

【答案】

【分析】由正方形的性质得AE＝AD＝2，由“黄金矩形”的定义求出AB得长，即可得出BE的长．

 解：∵四边形AEFD是正方形，

∴AE＝AD＝2，

∵矩形ABCD为黄金矩形，

∴ADAB，

即2AB，

解得：AB1，

∴BE＝AB﹣AE1﹣21．

【点拨】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．

类型二、由黄金分割点求线段长

2．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？

【答案】（）cm或（15−）cm

【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝或AC＝10−（）＝15−．

 解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，

当AC是较长线段时，AC＝；

当AC是较短线段时，则AC＝10−（）＝15−．

故答案为：（）cm或（15−）cm．

【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．

【变式1】如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即），则__________；点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（），…依此类推，则线段的长度是__________．

【答案】       

【分析】

（1）根据，设P1B=x,列出方程解出即可；

（2）由BP1=，得出AP1=1−=，AP2=()2，AP3=()3，…

依此类推，则线段APn的长度是()n

 解：（1）∵,AP1=AB-P1B, 设P1B=x,

∴x2=1×(1-x)

解得：x1=,x2=(舍去)，

故答案为；

（2）根据黄金比的比值，BP1=，

则AP1=1−=，

同理可得AP2=()2，

AP3=()3，

…

依此类推，则线段APn的长度是()n

故答案为．

【点拨】本题考查了黄金分割的概念，一元二次方程的解法，解题关键是理解黄金分割的概念．

【变式2】已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长度为_____．

【答案】或．

【分析】根据点C是线段A的黄金分割点，得到比例，再分和两种情况解答即可.

 解：点是线段的黄金分割点，

①当时，如图

∴

∴

②当时，如图

∴，

∴

∴

综上：的长度在或．

【点拨】本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键．

【变式3】如图，点是线段的黄金分割点，且，若，求的长．

【答案】AB=，BC=3-．

【分析】由黄金分割的定义可得AB2=BC·AC，设AB=x，则BC=2-x，代入求解即可

 解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，

∴，

∴AB2=BC·AC．

设AB=x，则BC=2-x，

∴x2=(2-x)×2，

∴x2+2x-4=0，

解得：x1=，x2=，

∵x＞0，

∴x= 即AB=，

∴BC=3-，

答：AB=，BC=3-．

【点拨】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．

类型三、证明黄金分割点

3．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．

【答案】是，证明见解析

【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．

解：M是AB的黄金分割点，理由如下：

∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，

∴BE＝1

∴AE，

∵EF＝BE＝1，

∴AF＝AE﹣EF1，

∴AM＝AF1，

∴AM：AB＝（1）：2，

∴点M是线段AB的黄金分割点．

【点拨】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．

【变式1】如图，在矩形中，，，且四边形是一个正方形，试问点F是的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）

解：点F是的黄金分割点.

理由如下：

∵四边形是一个正方形，∴.

又∵在矩形中，，∴______.

∴点F是的黄金分割点.

【答案】

【分析】根据正方形性质，，，得.

解：点F是的黄金分割点.

理由如下：

∵四边形是一个正方形，

∴.

又∵在矩形中，，

∴.

∴点F是的黄金分割点.

【点拨】考核知识点：黄金分割点.理解意义是关键.

【变式2】如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．

（1）求的长；

（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？

【答案】（1）=，=；（2）是，理由见解析

【分析】

（1）要求的长，只需求得的长，又，，则，；

（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点是的黄金分割点．

解：（1）在中，，，由勾股定理知，

，

．

故的长为，的长为；

（2）点是的黄金分割点．

由于，

点是的黄金分割点．

【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．

【变式3】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．

（1）求AM，DM的长；

（2）求证：AM2＝AD·DM；

（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？

【答案】（1）－1，3－；（2）证明见解析；（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点

【分析】

（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；

（2）由（1）计算的数据进行证明；

（3）根据（2）的结论得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．

 解：（1）∵P为边AB的中点，

∴AP＝AB＝1，

∴PD＝＝＝，

∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，

∴DM＝AD－AM＝3－．

（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，

AD·DM＝2(3－)＝6－2，

∴AM2＝AD·DM．

（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：

∵AM2=AD•DM，

∴，

∴点M是AD的黄金分割点．

【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．

类型四、黄金分割点的应用

4．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）

【答案】她应该选择大约8厘米的高跟鞋．

【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．

 解：根据已知条件可知：

下半身长是165×0.6＝99（厘米），

设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得

0.618，

解得：y≈8，

经检验y≈8是原方程的根，

答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．

【点拨】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．

【变式1】如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值．

【答案】．

【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（＞），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，由定义可得：设 求解，从而可得答案．

 解：如图，设，

点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，

＞

，

正方形,正方形

，

：：

：

．

【点拨】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．

【变式2】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BDAB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．

请根据以上材料．回答下列问题

（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC=　　，DC=       ．

（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．

【答案】（1）12﹣4；816；（2）或

【分析】

（1）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB，并且线段AB的黄金分割点有两个．把AB＝8代入式子可以AC 和BD，用减法可以分别求BC和DC；

（2）在数轴上，由于m的取值不确定，需要分类讨论；同时根据上述的黄金“右割”点、黄金“左割”点，可以列出：；，接着求出PN＝n﹣p；MQ＝q﹣m；MN＝n﹣m；最后代入求出p和q及的值．

 解：（1）∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，

∴AC＝BDAB8＝44，

∴BC＝8﹣（44）＝12﹣4；

∴DC＝BD﹣BC＝（44）﹣（12﹣4）＝816；

故答案为12﹣4；816；

（2）由（1）和题意可知：， ，

∵在数轴上，m＜p＜q＜n，n＝3|m|，

∴PN＝n﹣p， MQ＝q﹣m， MN＝n﹣m，

当m＞0时，n＝3m，即3m﹣p，

∴根据被减数﹣差＝减数：p＝3m4m，

同理可求q，

∴的值为，

当m＜0时，n＝﹣3m，

∴3m﹣p，

∴根据被减数﹣差＝减数：p＝﹣3m﹣2（1）m＝﹣5m＋2m，

同理可求q＝3m，

可得：，

∴的值为或．

【点拨】本题考查了黄金分割、分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB，并且线段AB的黄金分割点有两个．利用分类讨论的思想，全面考虑不同的M值时，的值．