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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示(练习)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示(练习)(原卷版+解析)，共15页。
1．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量，，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若向量是与同向的单位向量，则
10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知，，是同一条直线上三个不同的点，为直线外一点．在正项等比数列中，已知，且，则的公比的值可能是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则______．
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.
1．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
2．（2022•全国）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
3．（2022•乙卷）已知向量，，则
A．2B．3C．4D．5
4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
5．（2020•全国）设点，，在上，若，则
A．B．C．D．
6．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
7．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则
A．B．2C．D．50
8．（2023•上海）已知向量，，则 ．
9．（2021•乙卷）已知向量，，若，则 ．
第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
又P，C，D三点共线，所以，得.
故选：D.
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】，两边平方得 ，
展开整理得.
,解得.
故选：C
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】
如图，，所以M是AC的中点，；
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，解得．
故选：D
5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】在四边形中，
若，
则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当，为上底和下底时，
满足四边形为梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在中，若，所以点为中点，所以.
故选：D
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解析】因为三点共线，所以，且，
因为是的中点，所以，
因为，，
所以，则，得.
故选：D
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【答案】D
【解析】由向量，，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；
对于C中，若，可得，整理得，
所以，可得，因为，可得，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以，可得，
所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.
故选：D.
9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量，，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若向量是与同向的单位向量，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，
即，解得，且，故C不正确；
对于D，若向量是与同向的单位向量，则，故D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；
对于C：，反向共线时，，故，C错误；
选项D：,反向共线时，，故D正确．
故选：AD．
11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【解析】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知，，是同一条直线上三个不同的点，为直线外一点．在正项等比数列中，已知，且，则的公比的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】∵，，是同一条直线上三个不同的点，且，
∴．
∵为正项等比数列，所以公比．
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
解得（舍）或，∴
对于A，，故选项A不正确；
对于B，，故选项B不正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，故选项D正确.
故选：CD.
13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
【答案】
【解析】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为，不共线，所以，解得或，
因为向量与的方向相反，即.
故答案为：.
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【答案】①⑤
【解析】对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
【答案】/
【解析】在中，，，则，又平分，即有，
因此，即有，，整理得，
而，且不共线，于是，
所以.
故答案为：
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.
【答案】
【解析】由可得：，
又因为，由可得：，
解得：.
故答案为：.
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则______．
【答案】/
【解析】因为，，所以，，
因为，所以
又与交于点O，所以，
另一方面，设，因为，
所以，则，代入中，
可解得，则.
故答案为：.
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.
【答案】10
【解析】每次跳跃的路径对应的向量为，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，
设对应的跳跃次数分别为，其中，
可得
则，两式相加可得，
因为，则或，
当时，则次数为；
当，则次数为；
综上所述：次数最小值为10.
故答案为：10.
1．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】，，
，，
．
故选：．
2．（2022•全国）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，．
，
，．
故选：．
3．（2022•乙卷）已知向量，，则
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【解析】，
故，
故选：．
4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如图，
，
，即．
故选：．
5．（2020•全国）设点，，在上，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，
，
，即，
，解得，
，同理可得，，，
△是等边三角形，
．
故选：．
6．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】在中，是边上的中点，
则
．
故选：．
7．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则
A．B．2C．D．50
【答案】
【解析】，，
，，，，
．
故选：．
8．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，，．
故答案为：．
9．（2021•乙卷）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，解得．
故答案为：．
1．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量，，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若向量是与同向的单位向量，则
10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知，，是同一条直线上三个不同的点，为直线外一点．在正项等比数列中，已知，且，则的公比的值可能是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则______．
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.
1．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
2．（2022•全国）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
3．（2022•乙卷）已知向量，，则
A．2B．3C．4D．5
4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
5．（2020•全国）设点，，在上，若，则
A．B．C．D．
6．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
7．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则
A．B．2C．D．50
8．（2023•上海）已知向量，，则 ．
9．（2021•乙卷）已知向量，，若，则 ．
第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
又P，C，D三点共线，所以，得.
故选：D.
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】，两边平方得 ，
展开整理得.
,解得.
故选：C
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】
如图，，所以M是AC的中点，；
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，解得．
故选：D
5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】在四边形中，
若，
则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当，为上底和下底时，
满足四边形为梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在中，若，所以点为中点，所以.
故选：D
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解析】因为三点共线，所以，且，
因为是的中点，所以，
因为，，
所以，则，得.
故选：D
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【答案】D
【解析】由向量，，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；
对于C中，若，可得，整理得，
所以，可得，因为，可得，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以，可得，
所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.
故选：D.
9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量，，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若向量是与同向的单位向量，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，
即，解得，且，故C不正确；
对于D，若向量是与同向的单位向量，则，故D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；
对于C：，反向共线时，，故，C错误；
选项D：,反向共线时，，故D正确．
故选：AD．
11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【解析】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知，，是同一条直线上三个不同的点，为直线外一点．在正项等比数列中，已知，且，则的公比的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】∵，，是同一条直线上三个不同的点，且，
∴．
∵为正项等比数列，所以公比．
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
解得（舍）或，∴
对于A，，故选项A不正确；
对于B，，故选项B不正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，故选项D正确.
故选：CD.
13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
【答案】
【解析】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为，不共线，所以，解得或，
因为向量与的方向相反，即.
故答案为：.
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【答案】①⑤
【解析】对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
【答案】/
【解析】在中，，，则，又平分，即有，
因此，即有，，整理得，
而，且不共线，于是，
所以.
故答案为：
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.
【答案】
【解析】由可得：，
又因为，由可得：，
解得：.
故答案为：.
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则______．
【答案】/
【解析】因为，，所以，，
因为，所以
又与交于点O，所以，
另一方面，设，因为，
所以，则，代入中，
可解得，则.
故答案为：.
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.
【答案】10
【解析】每次跳跃的路径对应的向量为，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，
设对应的跳跃次数分别为，其中，
可得
则，两式相加可得，
因为，则或，
当时，则次数为；
当，则次数为；
综上所述：次数最小值为10.
故答案为：10.
1．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】，，
，，
．
故选：．
2．（2022•全国）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，．
，
，．
故选：．
3．（2022•乙卷）已知向量，，则
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【解析】，
故，
故选：．
4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如图，
，
，即．
故选：．
5．（2020•全国）设点，，在上，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，
，
，即，
，解得，
，同理可得，，，
△是等边三角形，
．
故选：．
6．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】在中，是边上的中点，
则
．
故选：．
7．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则
A．B．2C．D．50
【答案】
【解析】，，
，，，，
．
故选：．
8．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，，．
故答案为：．
9．（2021•乙卷）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，解得．
故答案为：．
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