2.1函数的概念及其表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.1  函数的概念及其表示

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

【题型精讲】

【题型一　函数的概念】

必备技巧  函数的概念

(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．

(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.

例1　（2022·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（       ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②

例2　（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A．，

B．

C．，

D．，，0，，，，0，

【题型精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（       ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）

2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（       ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【题型二　函数的定义域】

必备技巧  函数的定义域

(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．

(2)求抽象函数的定义域的策略

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

例3　（2022·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

例4　（1）（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

（2）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.

例5　（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1．（2022·重庆巴蜀中学高三期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）

A． B． C． D．

3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．

【题型三　函数的解析式】

必备技巧  函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(4)方程思想：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

例6　（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为

A．或 B．或

C．或 D．或

例7　（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．

例8　（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．

（1）已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．

（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．

（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

2. （2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．

3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（       ）

A． B． C． D．

4. （2022·贵州安顺市月考）已知函数满足，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【题型四  分段函数】

必备技巧  分段函数

(1)分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

例9　（2022·广东梅州·二模）设函数，则（       ）

A．2 B．6 C．8 D．10

例10　（2022·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（       ）

A．2 B． C．1 D．0

例11　（2022·江西·景德镇一中高三期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【题型精练】

1．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（            ）

A． B． C． D．

2. （2022·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.

3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．