第15讲 等腰三角形的数学思想（解析版+原卷版）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第15讲 等腰三角形的数学思想（原卷版）

第一部分   典例剖析+针对训练

类型一 方程思想

典例1（2020秋•西城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ADE＝　 　．

针对训练1

1．（南通期末）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．48°

2．如图所示，在△ABC中，AB＝CD，D为BC上一点，且CD＝AC，连接AD，且AD＝BD，求∠BAC的度数．

3．泗阳县期末）已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．

（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；

（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　  　（直接写出结果）；

（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？

类型二 分类讨论思想

例2 （2022秋•拱墅区期末）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得锐角为40°，则等腰△ABC的底角∠B的大小为　    　．

例3 已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．

针对训练2

4．（2020•黔南州）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　）

A．9 B．17或22 C．17 D．22

5．（2022•平乐县模拟）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是　   　．

7．（2020秋•邹城市期中）如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．

类型三 化归思想

典例4（2022•市中区一模）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 　 　m．

针对训练3

9．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题

如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．

（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；

（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF

10．（2021春•周村区期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

②若BN＝DN，求证：MB＝MN．

第二部分   专题提优训练

1．（2022春•萍乡期末）如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有（　　）

A．8个 B．9个 C．10个 D．11个

2．（2022春•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　）

A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm

4．（2022•南京模拟）已知四边形ABCD，∠BAD＝105°，对角线AC将其分成两个三角形，其中△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是等腰三角形，则AD的长是 　   　．

5．（2022春•抚州期末）已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．则这个等腰三角形的周长为     　．

6．（2022春•侯马市期末）等腰三角形两边长a，b是方程组的解，则该等腰三角形周长为 　 　．

7．（2022春•西山区期末）如图，直线l1，l2，l3两两相交于点A，B，C，△ABC是等边三角形，点D是直线l1上一动点，连接AD，过点D作DE∥l3交直线l2于点E，当∠DAC＝20°时，则∠ADE＝　  　．

8．（2022春•高新区期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰△ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为 　    　．

 9．（2022春•李沧区期末）一个等腰三角形的周长是42cm，一条腰上的中线将周长分为3：4两部分，则它的底边长 　   　cm．

10．（2022春•内乡县期末）一个等腰三角形的周长是28cm．

（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；

（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．

11．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）

例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：

变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．

（1）请你解答上面的变式题．

（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　　．

（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．

12．（2022春•丹江口市期末）如图，△ABC中，BD是角平分线，∠ABC＝∠C＝∠BDC，求∠A的度数．

13．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BM∥AC，∠BAC的平分线交BM于点F，∠ABF的平分线交AF于点E，连接EC．

（1）证明：AE＝EF；

（2）点Q在线段AE上（不包括端点），是否存在BE＝CQ的情形？若存在，请求出α的取值范围；若不存在，请说明理由．