第2章平面解析几何初步2.6直线与圆圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系同步练习（湘教版选择性必修第一册）

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.6.1　直线与圆的位置关系

A级必备知识基础练

1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,|PA|=1,则点P的轨迹方程是(　　)

A.(x-1)2+y2=4

B.(x-1)2+y2=2

C.x2+y2=2x

D.x2+y2=-2x

2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是(　　)

A.k≤-2或k≥2

B.k≤-2

C.k≥2

D.k≤-2或k>2

3.(2022山东高二学情联考)过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,则切线长为(　　)

A. B.2

C.2 D.

4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4,3)

B.圆M的半径为5

C.圆M被x轴截得的弦长为6

D.圆M被y轴截得的弦长为6

5.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2,则a=(　　)

A.- B.-

C. D.2

6.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为　　　　　　　　　　. 

7.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为　　　　　. 

8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,直线l过点A(1,0).

(1)求圆C的圆心坐标及半径;

(2)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;

(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时,求|AB|.

B级关键能力提升练

9.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,O为坐标原点,且=0,则实数m为(　　)

A.2 B.2 C.±2 D.±2

11.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2,2),斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是(　　)

A.相离 B.相切

C.相交但不过圆心 D.相交且经过圆心

12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0,圆C:x2-4x+y2=m-5,则(　　)

A.m的取值范围为(0,+∞)

B.当直线l与圆C相切时,m=

C.当1<m<2时,l与圆C相离

D.当直线l与圆C相交时,m的取值范围是

13.已知k∈R,若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截,则截得的弦长最短为　　　　　,此时直线l的方程为　　　　　. 

14.如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A交于M,N两点.

(1)求圆A的方程;

(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.

C级学科素养创新练

15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2,则k的值为(　　)

A.2 B.1 C. D.

16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交,求a的取值范围.

参考答案

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.6.1　直线与圆的位置关系

1.B　∵PA是圆的切线,|PA|=1且圆的半径为r=1,

∴点P到圆心的距离恒为.

又圆心(1,0),设P(x,y),由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2,即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.

故选B.

2.A　若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1,即≥3,∴k2+1≥9,即k2≥8,解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.

3.D　由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5,可得圆心C(-2,1),半径r=,过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,两条切线长相等,只取其中一条切线,设切点为M,则CM⊥PM,

由题得|PC|==3,|CM|=r=,

所以切线|PM|=.

故选D.

4.BD　将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,故A错误,B正确;

圆心(4,-3)到x轴的距离为3,所以圆M被x轴截得的弦长为2=8,故C错误;

对选项D,圆心(4,-3)到y轴的距离为4,所以圆M被y轴截得的弦长为2=6,故D正确.故选BD.

5.A　将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4,则该圆圆心为(1,4),半径为2.又弦长为2,则圆心到直线距离为=1.

根据点到直线距离公式可知d==1,化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-,故选A.

6.(x-1)2+(y+1)2=2　设圆心为点C(a,-a),由点到直线的距离公式得,解得a=1,所以圆心为(1,-1),且半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

7.x-y-3=0　圆心坐标为点C(1,0),由题可得,kPC==-1.

又|CP|⊥|AB|,因此kAB=1.

因为直线AB过点P,可知直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.

8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.

(1)圆C的圆心坐标是(3,4),半径为2.

(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=1,满足题意;

当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程是y=k(x-1),即kx-y-k=0.

由圆心(3,4)到直线l的距离等于圆C的半径,可得=2,解得k=,

故直线l的方程是3x-4y-3=0.

综上所述,直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.

(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.

圆C的圆心是点C(3,4),

则|AC|==2,

所以|AB|==4.

9.B　圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.

因为=2<3,

所以点(1,2)在圆内.

如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,

因为|O1A|

=

=2,|O1B|

=3,

所以|AB|==1,

所以|BC|=2|AB|=2.

10.C　由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2,则圆心(0,0)到直线l的距离d=,解得|m|=2,即m=±2,故选C.

11.BC　由题得,圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,则圆心为(2,0),半径为2.

设过点(2,2),斜率为k的直线为y=k(x-2)+2,即kx-y-2k+2=0,∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2,∴当d=2时,直线与圆相切;

当d<2时,直线与圆相交但直线不过圆心.

故B,C正确,A,D错误.故选BC.

12.BC　圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1,则圆C的圆心为C(2,0),半径r=,由r=>0,得m>1,故A错误;

因为C(2,0)到直线l的距离为,所以当直线l与圆C相切时,r=,解得m=,故B正确;

当1<m<2时,0<r<1<,所以直线l与圆C相离,故C正确;

当直线l与圆C相交时,,解得m>,故D错误.故选BC.

13.2　y=x+1　圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22,所以圆心为O(1,0),半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0,1).故|OP|=.

当l⊥OP时,截得的弦长最短,则最短弦长为2=2.

由题得,kOP=-1,所以kl=1,故直线l的方程为y=x+1.

14.解(1)设圆A的半径为r.

∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,

∴r==2.

故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.

(2)①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-2,易得|MN|=2,符合题意;

②当直线l的斜率存在时,

设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.

取MN的中点Q,连接AQ,则AQ⊥MN.

∵|MN|=2,∴|AQ|==1.

∴=1,解得k=.

∴直线l的方程为3x-4y+6=0.

综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

15.C　将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9,则圆心(1,3),半径为3.

∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2,∴圆心(1,3)到直线y=kx的距离为1,即=1,

解得k=.故选C.

16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0,0),r2=4.

直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.

圆心C(0,0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.

由直线l与圆C相交可得r>d,则r2>d2,即4>,解得a>或a<-.

因此a的取值范围是-∞,-∪,+∞.

(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4,

整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.

因为直线与圆相交,则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0,即a2>,解得a>或a<-,故a的取值范围是-∞,-∪,+∞.