2021-2022学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（B卷）（含答案解析）

2021-2022学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（B卷）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.     已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.     直线与圆交于A，B两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知是抛物线C：上一点，F是C的焦点，，则(    )

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

6.     已知函数，则函数在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知函数，则(    )

A. 函数是奇函数，在区间上单调递增
B. 函数是奇函数，在区间上单调递减
C. 函数是偶函数，在区间上单调递减
D. 函数非奇非偶，在区间上单调递增

8.     已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.     2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：
   
   经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区(    )

A. 2030年煤的消费量相对2020年减少了
B. 2030年天然气的消费量是2020年的5倍
C. 2030年石油的消费量相对2020年不变
D. 2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍

10. 已知，为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A向x轴作垂线，垂足为E，则(    )

A. 椭圆C的离心率为
B. 四边形的周长一定是
C. 点E与焦点重合时，四边形的面积最大
D. 直线BE的斜率为

11. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑ēà如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面ABC，，，，M为垂足，则(    )

A. 平面BCD
B. DC为三棱锥的外接球的直径
C. 三棱锥的外接球体积为
D. 三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等
 

13. 已知向量，向量，若，则实数__________.
14. 已知为等差数列，，，且，，成等比数列，则__________.
15. 四个不同的小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为__________.
16. 已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为__________.
17. 已知是数列的前n项和，
    求数列的通项公式；
    求数列的前n项和
18. 已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9：11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A，B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图频率分布直方图：
    
    在抽取的100名学生中，A，B两所学校各抽取的人数是多少？
    该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和做作业时长超过3小时的学生人数，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
    另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中的20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关？
    单位：人

附表：

附

19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    求；
    若D为AB的中点，，求的面积．
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，M，N，E，F分别为AP，AD，DC，PB的中点．
    
    证明：平面MNE；
    若平面平面ABCD，为等边三角形，求二面角的正弦值．
21. 已知双曲线C：的离心率为2，右顶点D到一条渐近线的距离为
    求双曲线C的方程；
    若直线l与双曲线C交于A，B两点，且，O为坐标原点，点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
22. 已知函数
    当时，证明：函数在区间上单调递增；
    若，讨论函数的极值点的个数．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用交集定义直接求解．

【解答】

解：集合，，

故选：

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．
利用复数的除法运算法则求解即可．

【解答】

解：，则
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和转化思想，属基础题．
首先根据已知条件求出圆的圆心和半径，然后利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，进而得出弦长

【解答】

解：由题意可知：圆的圆心，半径为，
于是圆心到直线的距离为：
，
所以，
故选：

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥体积与侧面积的计算问题，属于基础题．
由已知求出圆锥的母线长和高，代入体积公式计算即可．

【解答】

解：如图所示，

由已知可得，，其底面积为，
且侧面积为，
所以，解得，
所以，
所以该圆锥的体积为
故本题选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的定义及其应用，属于基础题．
结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得p的值．

【解答】

解：由定义，又，
所以，解得
故本题选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．

【解答】

解：，
，则，
又，
函数在点处的切线方程为，即
故本题选

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
求得的定义域，计算，与比较，可得的奇偶性；再由，求导可得的单调性，进而得到结论．

【解答】

解：函数的定义域为R，关于原点对称，
由，
所以为奇函数；
由，
恒成立，
故在递增，
由奇函数的性质可得在递增．
故本题选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了指对数的运算，是一般题．
由题意可得，再对各选项进行判断即可．

【解答】

解：由题意，，，，可知x，y都大于零，且，
可得，
即，，选项A错误，
，解得，选项B错误，
其中，选项C正确，
，
，即只需比较和的大小，
即可比较和的大小，而，即，
所以，选项D错误，
故选：

9.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
设2020年该地区一次能源消费总量为a，计算出2030年该地区煤，石油，天然气以及水，核，风能的消费量，逐项判断可得出正确选项．

【解答】

解：设2020年该地区一次能源消费总量为a，则2030年一次能源消费总量为，
对于选项A：2020年煤的消费量为，规划2030年煤的消费量为，故选项A错误，
对于选项B：2020年天然气的消费量为，规划2030年天然气的消费量为，故选项B正确，
对于选项C：2020年石油的消费量为，规划2030年石油的消费量为，故选项C错误，
对于选项D：2020年水、核、风能的消费量为，规划2030年水、核、风能的消费量为，故选项D正确，
故本题选

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
由椭圆方程求得椭圆的离心率判断A；求出四边形的周长判断B；画图说明C错误；联立直线方程与椭圆方程，求出B与E的坐标，进一步求得直线BE的斜率判断

【解答】

解：由椭圆，得，，，
，故A正确；
四边形的周长为，故B正确；
由题易知，
当A点在x轴上的射影E无限靠近原点O时，∣逐渐增大，四边形的面积逐渐增大，故C错误；
联立，得，

不妨设A在第一象限，则，，
，
，故D正确．
故本题选
 

11.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二倍角及辅助角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质及诱导公式可求．

【解答】

解：因为，，
所以，
即，
因为，
所以，，
所以或，
所以或
故选

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题主要考查线面垂直的证明，锥体的外接球问题等知识，属于中档题．
利用线面垂直的判定可判断A选项的正误；利用直角三角形的性质可判断B选项的正误；确定球心的位置，求出三棱锥的外接球的半径，利用球体的体积公式可判断C选项的正误；求出三棱锥的外接球半径，可判断D选项的正误．

【解答】

解：对于A选项，如下图，过点A向BD引垂线，垂足为N，

平面ABC，平面ABC，则，
，，平面ABD，
则平面ABD，
又AN、平面ABD，所以，，，
，，平面BCD，
则平面BCD，
这与平面BCD矛盾，故A错误；
对于B选项，在三棱锥中，，
则DC的中点到A、B、C、D的距离相等，
所以DC为三棱锥的外接球的直径，故B正确；
对于C选项，分别取BD、CD的中点N、E，连接EN，

因为N、E分别为BD、CD的中点，则，
平面ABD，则平面ABD，
平面ABC，平面ABC，则，
故的外心为线段BD的中点N，
因为平面MBD，则平面平面ABD，
故三棱锥的外接球球心在直线EN上，即该球球心在平面MBD内，
所以的外接圆直径2R为三棱锥的外接球直径，
，，
，，
在中，，，
在中，由余弦定理得，，
故，则，
所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；
因为，故AC为三棱锥的外接球的直径，且，
而三棱锥的外接球直径为，故D错误．
故本题选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量平行的坐标运算，属于基础题．
利用平面向量平行的坐标运算求解即可．

【解答】

解：，向量，，
，
，
故答案为
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
根据题意，可设等差数列的公差为，利用，可求出与d的值，从而即可求出

【解答】

解：根据题意，设等差数列的公差为，
由，，成等比数列，得，即，
整理得，故，
又，得，解得，
所以
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：组合数的求法，古典概型，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用古典概型问题的应用和组合数的应用求出结果．

【解答】

解：四个不同的小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，
则基本事件数为，
若恰有两个空盒，则四个不同的小球可分为1个和3个或2个和2个，
共有种方法，
故恰有两个空盒的概率为
故答案为

16.【答案】10 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
先由，可求，然后结合正弦函数的单调性可求的范围，进而可求．

【解答】

解；由题意得，，
所以，，
因为在区间上单调递减，
所以，，且，
得，，且，
综上可得的最大值为
故答案为

17.【答案】解：是数列的前n项和，，①
，
，②
①-②得：，，
也成立，
，
，
数列的前n项和 

【解析】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目．
根据数列的递推关系，即可求解结论，
直接裂项求和即可．
 

18.【答案】解：根据分层抽样原理知，在抽取的100名学生中，A学校抽取人数是人，
B学校抽取人数是人；
根据频率分布直方图知，学生做作业时间的平均时长为
小时，
做作业时长超过3小时的人数为人，
所以根据频率分布直方图，估计这两个数值分别为和30；
根据题意填写列联表如下，

根据表中数据，计算，
所以有的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关． 

【解析】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
根据分层抽样原理求出A学校、B学校分别抽取的人数；
根据频率分布直方图求出学生做作业时间的平均时长和做作业时长超过3小时的人数；
根据题意填写列联表，计算的值，对照附表得出结论．
 

19.【答案】解：中，，
由正弦定理得，
，，
；
如图所示，

因为，
所以，①
又，②
由①②解得，，
所以的面积为 

【解析】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．
根据题意利用正弦定理求出，再根据同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式求出的值；
根据中线的向量表示法，结合中的结论，列出方程组求出a、b的值，再求的面积．
 

20.【答案】证明：连接AC、BD，，连接OF，
因为ABCD为正方形，所以O为AC中点，
因为F为PB中点，所以，
因为M、N分别为PA、DA中点，所以，
所以，又平面MNE，平面MNE，
故平面MNE，
因为NE分别为AD、CD中点，所以，
又平面MNE，平面MNE，
故平面MNE，
又，OF、平面AOF，
所以平面平面MNE，
因为平面AOF，所以平面
解：连接NP、NO，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，又平面PAD，
所以平面ABCD，
因为ABCD为正方形，所以NO、ND、NP两两垂直，
以N为原点，分别以NO、ND、NP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，

不妨设，则，，，，
，，，
令，，
因为，，所以是平面PCD的一个法向量，
因为，，所以是平面PBC的一个法向量，
设二面角的大小为，，
，
 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
只要证明AF所在平面AFO平行于平面MNE即可得证结论；
用向量数量积计算二面角的余弦值，即可得正弦值．
 

21.【答案】解：根据题意，双曲线C：的离心率为2，
则，即，
又由右顶点到一条渐近线的距离为，则有，则，
又由，即，
则有，
则双曲线的方程为：；
设，，当直线l的斜率存在时，设直线l为，
由，整理可得，
，，
，
，
，
则原点O到直线l的距离为定值，
当直线斜率不存在时，设直线方程为，，
，解得，
，，
，解得，
则原点O到直线l的距离为定值，
综上所述原点O到直线l的距离为定值，定值为 

【解析】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
根据题意，由双曲线的离心率公式可得，又由双曲线的性质可得，结合，计算可得的值，将、的值代入双曲线方程即可；
当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入双曲线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值，当斜率不存在时，将直线代入双曲线方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离．
 

22.【答案】证明：当时，，，
当时，，
所以函数在区间上单调递增，
故，
故函数在区间上单调递增．
解：当时，单调递增，无极值点，
当时，，
令，
令，则，
当时，，且，当时，方程有唯一小于零的零点，故函数存在一个极值点；
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值，
所以当时，方程无解，函数无极值点；
当时，方程只有一个解，
但当时，，，当时，，，故函数无极值点．
当时，方程有两解，函数存在一个极大值点和一个极小值点．
综上，当时，函数存在一个极值点，
当时，函数无极值点，
当时，函数存在一个极大值点和一个极小值点． 

【解析】先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间上单调递增，从而可得，进而可证得结论；
当时，可得单调递增，无极值点，当时，，令，令，利用导数求出的单调区间和极值，从而分，和求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．