莆田市擢英中学2022届九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

2021-2022学年擢英九年级下学期第四阶段检测卷

一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（　　）

A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．﹣π

2．我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②④

3．截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31070.1475万人，将其用科学记数法表示为3.10701475×10n，则n等于（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形是（　　）

A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形

5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）.

A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x 

C． D．

6．关于x的一元二次方程mx2+6x＝9有两个实数根，则m的取值范围为（　　）

A．m≥﹣1且m≠0 B．m≤1且m≠0 C．m≥1 D．m≥﹣1

7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝125°，则∠A的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．55°

8．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，下列说法正确的是（　　）

A．甲队的挖掘速度大于乙队的挖掘速度 

B．开挖2h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相差8m 

C．乙队在0≤x≤6的时段，y与x之间的关系式为y＝5x+20 

D．开挖4h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相等

9．关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（　　）.

A． B． C． D．

10．如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数xy＝n与xy＝m（x＞0，m＞n＞0）的图象上，若DB⊥x轴于B点，FE⊥x轴于C点，若B为OC的中点，△DEF的面积为2，则m，n的关系式是（　　）.

A．m﹣n＝8 B．m+n＝8 C．2m﹣n＝8 D．2m+n＝3

二．填空题（共6小题,每小题4分，共24分）

11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　   　．

12．用两个钉子就可以把木条固定在墙上，用到的数学原理是 　   　．

13．已知一组数﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是　   　．

14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO相交于点F，则的值为 　   　．

15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 　   　．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有 　   　（只填写序号）．

三．解答题（共9小题）

17．（8分）计算：|﹣ |﹣2sin30°﹣2-2+．

18．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝﹣3．

19．（8分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．

已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线．

求证：AD＝A'D'．

20．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有害垃圾；B类指剩余食品等厨余垃圾；C类指塑料、废纸等可回收物；D类指其他垃圾．小明投放了一袋垃圾，小亮投放了两袋不同类垃圾．

（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率是　   　；

（2）如果小明投放的垃圾是A类，请用画树状图或列表的方法求小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的概率．

21．（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB

（1）求作⊙C，使⊙C与AB相切，切点为D，⊙C与AC，BC分别相交于点E，F；（要求：尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若∠A＝30°，AB＝6，求AE的长．

22．（10分）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

（1）求证：AC为⊙O切线．

（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．

23．（10分）冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁．为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为20元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（盒）与售价x（元/盒）成一次函数关系．其对应关系如表：

（1）根据以上信息，填空：表中a的值是 　   　，y关于x的函数关系式是 　   　．

（2）若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于40元/盒，求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？

（3）在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得m元的现金奖励（m＞0），商家想在日销售量不少于60盒的基础上，日销售最大利润为1650元，求出此时m的值．

24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN＝DM，连接DN．

（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．

求证：△ABD∽△MND；

（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．

25．（14分）如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．

（1）求证：点P在直线l上；

（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值；

（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

2021−2022学年擢英九年级下学期第四阶段检测卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1.D  2.C  3.A  4.A  5.D  6.A  7.A  8.D  9.C  10.A

二．填空题（共6小题）

11. x≠﹣4   12. 两点确定一条直线．   13.2   14.   15. 2   16.①②③④⑤

三．解答题（共9小题）

17．【解答】解：原式＝﹣2×﹣+5

＝4．

18．【解答】解：原式＝÷（﹣）

＝÷

＝×

＝，

当x＝﹣3时，原式＝＝＝．

19．【解答】证明：∵△ABC≌△A'B'C'，

∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，

∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，

∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，

∴BD＝B′D′，

在△ABD和△A′B′D′中，

，

∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），

∴AD＝A′D′．

20．【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，分别是：A类指废电池、过期药品等有害垃圾；B类指剩余食品等厨余垃圾；C类指塑料、废纸等可回收物；D类指其他垃圾，

∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率是：；

故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

小亮投放垃圾共12种，恰有一袋与小明一样是A类的有6种，

则小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的是：＝．

21．【解答】解：（1）如图，⊙C为所作；

（2）∵⊙C与AB相切，切点为D，

∴CD⊥AB，

∵CA＝CB，

∴AD＝BD＝AB＝3，

∵∠A＝30°，

∴CD＝AD＝，

AC＝2CD＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝2﹣＝．

22．【解答】（1）证明：连接OA，

∴∠AOE＝2∠F，

∵∠BEF＝2∠F，

∴∠AOE＝∠BEF，

∴AO∥DF，

∵DF⊥AC，

∴OA⊥AC，

∴AC为⊙O切线；

（2）解：连接OF，

∵∠BEF＝2∠F，

∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，

∴∠BAF＝∠BEF＝2α，

∵∠B＝∠AFE＝α，

∴∠BAO＝∠B＝α，

∴∠OAF＝∠BAO＝α，

∵OA＝OF，

∴∠AFO＝∠OAF＝α，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴AB＝AF＝5，

∵DF＝4，

∴AD＝＝3，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FDA，

∵∠B＝∠AFD，

∴△ABE∽△DFA，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

∴⊙O半径＝．

23．【解答】解：（1）设日销售量与售价之间的函数关系式为y＝kx+b，

由表格可知，当x＝25时，y＝110，当x＝35时，y＝90，

则，

解得，

即日销售量与售价之间的函数关系式为y＝﹣2x+160，

当x＝30时，y＝﹣2×30+160＝100，

即a的值为100，

故答案为：100，y＝﹣2x+160；

（2）设利润为w元，

由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣50）2+1800，

∴该函数图象开口向下，当x＜50时，w随x的增大而增大，

∵该汤圆的售价不得高于40元/盒，成本价为20元/盒，

∴20≤x≤40，

∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝1600，

答：售价为40元/盒时，日销售利润最大，最大利润是1600元；

（3）由题意得：

w＝（x﹣20﹣m）（﹣2x+160）＝﹣2x2+（2m+200）x﹣3200﹣160m，

∵对称轴为直线x＝＝m+50＞50，

∴抛物线开口向下，w随着x的增大而增大．

∵日销售量不少于60盒，

∴﹣2x+160≥60，

∴x≤50，

∴20＜x≤50，

∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝﹣2×502+（2m+200）×50﹣3200﹣160m，

∵日销售最大利润为1650元，

∴﹣2×502+（2m+200）×50﹣3200﹣160m＝1650，

解得m＝2.5，

即此时m的值为2.5．

24．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，

∴∠A＝∠DMN＝90°，

∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，

∴，

∴△ABD∽△MND；

（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，

则∠NFA＝90°，

∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，

∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，

则∠ADM+∠AMD＝90°，

∵AM＝4BM，AB＝6，

∴AM＝AB＝，

又∵DM⊥MN，

∴∠DMN＝90°，

∴∠AMD+∠FMN＝90°，

∴∠ADM＝∠FMN，

∴△ADM∽△FMN，

∴，

，

∴MF＝6，FN＝，

∴，

∴，

∵∠ABC＝∠AFN＝90°，

∴△ABC∽△AFN，

∴∠BAC＝∠FAN，

∴A，C，N三点在同一条直线上．

25．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2+2m﹣4，

∴P（2m，2m﹣4），

将x＝2m代入y＝x﹣4，得y＝2m﹣4，

∴P点在直线y＝x﹣4上；

（2）当x＝0时，y＝﹣4，

∴H（0，﹣4），

联立，

∴x2﹣（4m+1）x+4m2+2m＝0，

∴x1+x2＝4m+1，

∴Q点横坐标为2m+1，

∵Q恰好是线段PH的中点，

∴2m+1＝m，

∴m＝﹣1；

（3）存在，理由如下：

当m＝0时，y＝x2﹣4，

令y＝0，则x＝±2，

∴A（2，0），

设M（s，s2﹣4），N（t，t2﹣4），

设直线MN的解析式为y＝kx+b，

联立，

∴x2﹣kx﹣4﹣b＝0，

∴s+t＝k，st＝﹣4﹣b，

过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，

∵MA⊥AN，

∴∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，

∴∠AME＝∠NAF，

∴△MAE∽△ANF，

∴＝，

∵AE＝2﹣s，ME＝s2﹣4，AF＝t﹣2，NF＝t2﹣4，

∴＝，

∴2k﹣b+1＝0，

∴y＝x+b＝（1+x）b﹣，

∴当x＝﹣2时，y＝1，

∴直线MN经过定点（﹣2，1）．