福建省莆田市荔城区擢英中学2021-2022学年九年级（下）返校考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省莆田市荔城区擢英中学九年级（下）返校考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列各数中，，．，是有理数的共有个．

A.  B.  C.  D.

2. 如图，数轴上点表示的有理数为，下列各数中在，之间的是

A.  B.  C.  D.

3. 相反数的是

A.  B.  C.  D.

4. 根据年月日国家统计局发布的第七次全国人口普查的统计结果显示，全国人口共万人，把数据万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 若，则关于的方程解的取值范围为

A.  B.  C.  D.

6. 若，下列不等式不一定成立的是

A.  B.  C.  D.

7. 函数中，自变量的取值范围是

A.  B. 且
C.  D. 且

8. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法：最大的负有理数是；的平方根是；与差的平方可表示为；近似数精确到十位；多项式是二次三项式，其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

10. 挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式--阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：

A.
B.
C.
D.
二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 若，化简的结果是______．
12. 的平方根是______．
13. 用四舍五入法，精确百位的近似数为______．
14. 关于的方程的两根为、，则的值为______．
15. 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值______．
16. 今年以来，由于受到大宗商品价格上涨的影响，某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品的价格进行调整，现有种方案：第一次提价，第二次降价；第一次提价，第二次降价；第一次提价，第二次降价，其中这三种方案中提价最多的是方案______填上方案序号

三．解答题（本题共8小题，共64分）

17. 计算：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程组：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先阅读下面的解题过程，然后再解答：
    形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，那么便有．
    例如：化简：
    解：因为，，即，，
    所以．
    根据上述方法化简：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需其他费用元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付元．根据记录，月日，该厂产生工业废水吨，共花费废水处理费元．
    求该车间的日废水处理量；
    为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
    对于等式，可以由图进行解释：这个大长方形的长为______ ，宽为______ ，用长乘以宽可求得其面积同时，大长方形的面积也等于个长方形和个正方形的面积之和．
    如图，试用两种不同的方法求它的面积，
    方法：______ ；
    方法：______ ；
    数学等式：______ ．
    利用中得到的数学等式，解决下列问题：
    已知，，求的值．

23. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．
    例如：可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以．
    填空：______；______；
    填空：
    ______；______；______；______．
    一个两位正整数为正整数，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为，求出所有的两位正整数；并求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     

阅读下面材料，并解答相应的问题
欧拉分式
欧拉是世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
．
请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明；
请你利用欧拉分式解决下列问题：
计算：；
求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在所列的个数中，有理数有，．，，这个数，
故选：．
根据有理数的定义解答即可．
本题考查了有理数，理解有理数的定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由图可知，
，，，，
在到之间的为，
故选：．
先根据数轴确定的范围，再判断每个选项的范围，即可得出答案．
本题主要考查与数轴有关的计算，关键是要能根据数轴确定的范围．
 

3.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
把看做已知数求出方程的解得到的值，由代入计算即可．
此题考查了解一元一次等式、一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
当时，；当时，，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为计算即可．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
覆盖的是：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：最大的负有理数不是，故不符合题意．
的平方根是，故不符合题意．
与差的平方可表示为，故不符合题意．
近似数精确到十位，故符合题意．
多项式是三次三项式，故不符合题意．
其中正确的个数是个．
故选：．
根据有理数的定义，平方根的定义，多项式与有效数字即可求出答案．
本题考查实数、科学记数法与有效数字，解题的关键是正确理解实数的定义，平方根的定义，科学记数法与有效数字，本题属于基础题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，

，
，
故选：．
通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，从而列式求解．
本题考查整式的混合运算，准确识图，通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系列出等式是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：时，，，



．
故答案为：．
时，，，根据绝对值的含义和求法，化简即可．
此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：当是正有理数时，的绝对值是它本身；当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键．
由，再根据平方根定义求解即可．
【解答】
解：，
的平方根是．
故答案为．  

13.【答案】
 

【解析】解：精确百位的近似数为．
故答案为．
先把用科学记数法表示，然后把十位上的数字进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
 

14.【答案】
 

【解析】解：关于的方程的两根为、，
，，
则原式．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
依据被开放数越大，对应的算术平方根越大估算出与的大小，从而求得、的值，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，求得、的值是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：依题意得：；
；
所以只要比较与的大小即可，
，
，
即，
因此，种方案提价最多．
故答案为：．
设单价为，那么售价为：；
提价后的价格是：；
按提价方案提价后的价格是：，显然、两种方案最终价格是一致的，因而只需比较与的大小．
本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．需用到的知识点为：．
 

17.【答案】解：原式
；
，
，
，
，．
 

【解析】先计算乘方、算术平方很、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；
先移项，再将方程左边提取公因式，继而得到两个关于的一元一次方程，解之即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为：；
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
 

【解析】利用代入消元法进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，一定要注意解分式方程必须检验．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
 

【解析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
 

20.【答案】解：原式


；
根据题意，可知，，
因为，，，，
所以．
 

【解析】根据分母有理化化简即可得出答案；
，，，，再根据即可得出答案．
本题考查了分母有理化，二次根式的性质与化简，注意．
 

21.【答案】解：元，，
．
依题意，得：，
解得：．
答：该车间的日废水处理量为吨．
设一天产生工业废水吨，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为．
 

【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
求出该车间处理吨废水所需费用，将其与比较后可得出，根据废水处理费用该车间处理吨废水的费用第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设一天产生工业废水吨，分及两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过元吨，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
 

22.【答案】   
；  ；
解：，，
，
，
，
，
．
 

【解析】解：由图可得：大长方形的长为：，宽为；
故答案为：，；
方法一：；
方法二：，
则可得数学等式为：；
故答案为：；；；
见答案．
根据图形不难得出大长方形的长为，宽为；
方法一：；方法二：，从而可得数学等式；
利用得出的结果，不难求得的值．
本题主要考查了因式分解的应用，完全平方的几何背景，解答的关键是对因式分解的掌握与应用．
 

23.【答案】      
 

【解析】解：可分解成，，
，
是的最佳分解，
，
可分解成，，
，
是的最佳分解，
，
故答案为：，；
的最佳分解为，
，
故答案为：；
的最佳分解为，
，
故答案：；
的最佳分解是，
，
故答案为：；
的最佳分解是，
，
故答案为：；
设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，则，
根据题意得，，
，
，，为正整数，
满足条件的为：，，；
，，，
又，
的最大值．
仿照样例计算即可得出答案；
仿照样例计算即可得出答案；仿照样例计算即可得出答案；仿照样例计算即可得出答案；仿照样例计算即可得出答案；
设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，则，
根据题意得，，确定和的关系式，进而求出所有的两位数，进一步确定的最大值．
本题考查了分解因式的应用，根据样例理解题意是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：当时，




；
解：当时，令，，，
原式；
原式


．
 

【解析】先通分，再化简运算即可；
令，，，原式；
原式，再化简即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，平方差公式是解题的关键．