2021-2022学年福建省福州市鼓楼区三牧中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区三牧中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形

3. 方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收获一批成熟的果子．他选取了棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量单位：分别为：，，，，这五个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，∽，若，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点，，在正方形网格的格点上，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则符合条件的点(    )

A. 没有 B. 有无穷多个 C. 有且只有个 D. 有且只有个

10. 如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画圆分别交，于，，连接，则线段长度的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知，则的余角大小是______ ．
12. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为          ．
13. 如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是______．

14. 水务人员为考察水情，乘快艇以每秒米的速度沿平行于岸边的航线由西向东行驶．如图所示，在处测得岸边一建筑物在北偏东方向上，继续行驶秒到达点处，测得建筑物在北偏西方向上，则建筑物到航线的距离为______米．
15. 对于不为零的两个实数，，如果规定：，那么函数，当时，则的值为______．
16. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，使得、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接，以下结论正确的是：______．
    ；∽；点是线段的黄金分割点；．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

18. 如图，已知，点在边上，过点作，且，连接交于点求证：．

19. 桌面上有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀．
    随机翻开一张卡片，正面所标数字大于的概率为______；
    随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，请你利用树状图求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率．
20. 如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点．
    求证：；
    已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上．只需作出一个，保留作图痕迹，不写作法

21. 陈老师为学校购买了运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在还余元”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了”．
    王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
    陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已经模糊不清，只能辨认应为小于的整数，笔记本的单价可能为多少元？
22. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
    求证：；
    若为中点，，求菱形的周长．
     

23. 如图，在中，，点在上，作，使与相切于点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的值．

24. 【证明体验】
    如图，为的角平分线，，点在上，求证：平分．
    【思考探究】
    如图，在的条件下，为上一点，连结交于点若，，，求的长．
    【拓展延伸】
    如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，若，，，求的长．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．
    求抛物线的关系式及点的坐标；
    点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标；
    将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
此题考查了绝对值的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握正数的绝对值是它本身．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得，
把代入，得，解得，
故方程组的解为．
故选：．
应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，，从小到大排列为：，，，，，
则这五个数据的中位数是：．
故选：．
直接利用中位数的求法进而得出答案．
此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】
解：∽，
，
，，，
，
解得：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出是解决问题的关键．
作于，根据勾股定理求出、，利用三角形的面积求出，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于，
由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故选：．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
 

8.【答案】 

【解析】解：设各个部分的面积为：、、、、，
如图所示：
两个半圆的面积和是：，的面积是，阴影部分的面积是：，
图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积．
故选：．
观察图形发现：阴影部分的面积两个半圆的面积直角三角形的面积．
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于任意非零实数，抛物线总不经过点，
，
化简得，
要满足题意则有或或或，
点坐标为或或或，
所以点有且只有个，
故选：．
根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数，抛物线总不经过点，即可求得点的坐标，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，，过点作，垂足为，

则，
在中，，，
，即此时圆的直径为，
，
由圆周角定理可知，
在中，，
由垂径定理可知．
故选：．
由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，因此当半径最短时，最短，连接，，过点作，垂足为，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据定义的余角度数是：．
故答案为：．
根据互为余角的两个角的和为作答．
本题考查角互余的概念，熟记和为的两个角互为余角．属于基础题，较简单．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：多边形的外角和是度，多边形的内角和是外角和的倍，
则内角和是度，
，
这个多边形是六边形．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，

四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四边形的周长，
故答案为：．
连接交于点，则可证得，，四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形；根据勾股定理计算的长，可得结论．
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于，由题意可知：，，

在中，，
，
在中，，
，
，
米，
故答案为：．
作于，构造出与，求出的长度，利用特殊角的三角函数值求出即可．
此题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，
，
或，
或，
经检验：是方程的根，
的值为：或，
故答案为：或．
根据题意可得，从而列出或，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，解分式方程，实数的运算，分两种情况进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
由旋转得：
≌，
，，，，
，
，
，
故正确；
，
，
是直角三角形，是锐角三角形，
与不相似，
故不正确；
，
，
点、、三点共线，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
故正确；
在上截取，连接，
，，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故正确；
所以，以上结论正确的是：，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，，从而可得，根据旋转的性质可得≌，从而可得，，，，进而可得，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可判断；根据已知易证为直角三角形，为锐角三角形，即可判断；根据，可证明∽，然后利用相似三角形的性质可得，再根据，，从而可得，即可判断；在上截取，连接，然后利用证明≌，从而可得即可得，，进而可得，即可得出
是等腰直角三角形，从而可得，即可判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，黄金分割，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，考查了学生的计算能力，解题时注意．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，
随机抽取一张卡片，求抽到数字大于“”的概率，
故答案为：；
画树状图为：

由树形图可知：所有可能结果有种，两张卡片正面所标数字之和是偶数的数目为种，
所以翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率．
根据概率公式直接解答；
画出树状图，找到所有可能的结果，再找到两张卡片正面所标数字之和是偶数的数目，由概率公式求出其概率即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
又，
∽，
；

解：如图，就是所求作的三角形答案不唯一．
 

【解析】证明∽，可得结论；
作即可．
本题考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设王老师购买单价为元的图书本，购买单价为元的图书本，
根据题意得：，
解得：，
，均为正整数，
陈老师搞错了．

设王老师购买单价为元的图书本，则购买单价为元的图书本，
根据题意得：，
解得：．
为正整数，
，
．
答：笔记本的单价为元． 

【解析】设王老师购买单价为元的图书本，购买单价为元的图书本，根据陈老师花了元购买了两种书共本，即可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，由该值不为正整数可得出陈老师搞错了；
设王老师购买单价为元的图书本，则购买单价为元的图书本，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其中的正整数，将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，

≌，
；
连接，

四边形是菱形，
，，
为中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
菱形的周长． 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
是的角平分线，
与相切于点，
是的半径，，
，
，
，
点在上，
，
是的切线；
解：由知：，是的半径，
是的直径，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质得，证，则是的角平分线，再由切线的性质得，然后由角平分线的性质得，即可得出结论；
由知是的直径，求出，，再由勾股定理得，然后证∽，求出，然后由锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，

平分，
，
，，
≌，
，
，
，
平分．
如图，

，
；
，
∽，
；
≌，
，
，
．
如图，在上取一点，使，连结．

平分，
，
，
≌，
，，，
，
，
即，
，即，
∽，
，，
，，
；
，，
，
公共角，
∽，
，
，，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角的平分线、等腰三角形的性质等知识，解第题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题．
由≌得，因而，所以平分；
先证明∽，其中，再由相似三角形的对应边成比例求出的长；
根据角平分线的特点，在上截取，连结，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长．
 

25.【答案】解：对于，令，解得；令，则，
故点、的坐标分别为、，
抛物线经过坐标原点，故，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
，
则抛物线的对称轴为，点的坐标为；

如图，过点作轴交于点，

设点的坐标为，则点，
则的面积，
即，
解得或，
故点的坐标为或；
由平移，可得直线的表达式为，
直线向下平移后过点，
得到，解得
得直线的表达式为，
令，解得，
故点；
过点作于点，过点作轴于点，

可得，，，
则，，
在和中，
，，
∽，
，
，，
，
在中，，
故，
利用三角形的外角性质，可得，
． 

【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、面积的计算、三角形的外角性质等，其中，利用是本题解题的关键．
先求出点、的坐标，用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
利用平移和待定系数法求出直线的表达式，过点作于点，过点作轴于点，求出、、、，证明∽，进而求出、、的长，然后在中，求出，知，再利用三角形的外角性质，可得结论．