浙江省金华市东阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省金华市东阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省金华市东阳市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
3．等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
5．如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，AB⊥CD，垂足为O．添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（　　）

A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝5，AD＝9，则BE的长是（　　）

A．6 B．5 C．4.5 D．4
8．如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．75°
9．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式+的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则的值为（　　）

A． B．3 C． D．4
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A＝　 　度．
12．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 　 　．
13．如图，AC＝BD，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件，可以是 　 　（写出一个即可）．

14．边长为2cm的等边三角形的面积为　 　cm2．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝　 　．

16．如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段AE的长为 　 　．

17．如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 　 　．

18．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图，车顶BM与车身CN平行于地面，已知BM到地面的距离为2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业．在某次起重作业中，学习兴趣小组经过测量发现：液压杆CD为2米时，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，则∠CBD＝　 　度，此时点A到地面的距离为 　 　米．

三、解答题（本题有6小题，共46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD．
求证：CD∥OB．

20．如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB．
求证：AC＝DB．

21．如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB．
（1）画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点．
（2）再画出该三角形关于直线AB对称的图形．

22．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数．
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数．

23．已知：在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2．
（1）求证：AD⊥CD．
（2）若AB＝，AD＝8．
①求四边形ABCD的面积．
②点B到AD的距离是 　 　．

24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝AP，连结PQ．当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．
（1）求AC的长．
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD．
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
解：A、∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
B、∵3+2＞4，
∴长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+4＞6，
∴长度为3、4、6条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定．
解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
解：△ABC的BC边上的高是经过点A和BC垂直的线段．选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
6．如图，AB⊥CD，垂足为O．添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（　　）

A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD
【分析】根据直角三角形全等的判定定理、平行线的性质判断即可．
解：A、当AC＝BD，OA＝OB时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
B、当OA＝OD，∠A＝∠B时，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项符合题意；
C、当AC＝BD，OC＝OD时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
D、当AC∥BD时，∠A＝∠B，根据AAS定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝5，AD＝9，则BE的长是（　　）

A．6 B．5 C．4.5 D．4
【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长，△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC＝BC，可据此判定两三角形全等；可得出的条件为CE＝AD，BE＝CD，因此只需求出CD的长即可，而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC﹣DE＝4，
∴BE＝4．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的应用，三角形全等是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．75°
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，根据已知条件可得∠CBD的度数，BD＝BC，再根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数．
解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AB＝BD，∠ABD＝20°，
∴BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式+的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】仿照例题，求出AB＝＝＝5，即可求解；
解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，
∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴代数式的最小值是5．
故选：B．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则的值为（　　）

A． B．3 C． D．4
【分析】BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x，设CN＝t，则BE＝t，在Rt△BCN中利用勾股定理得到x2+（t+x）2＝（x）2，解得t＝x，所以BE＝CN＝x，由于ED为小正方形的对角线，则∠FEN＝∠EFN＝45°，接着判定△GDF为等腰直角三角形，则∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，然后证明△MGE为等腰直角三角形，所以ME＝MG＝2x，接着利用勾股定理计算出BG＝x，从而得到的值．
解：BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，
设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x，
设CN＝t，则BE＝t，
在Rt△BCN中，∵CN＝t，BN＝t+x，BC＝x，
∴x2+（t+x）2＝（x）2，
解得t＝x，
∴BE＝CN＝x，
∵ED为小正方形的对角线，
∴∠FEN＝∠EFN＝45°，
∴∠GFD＝45°，
∵GD⊥DF，
∴△GDF为等腰直角三角形，
∴∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，
∵∠GEM＝∠EGM＝45°，
∴△MGE为等腰直角三角形，
∴ME＝MG＝2x，
在Rt△BMG中，∵BM＝3x，GM＝2x，
∴BG＝＝x，
∴＝＝．
故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A＝　65　度．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 　﹣4（答案不唯一）．　．
【分析】根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答．
解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．如图，AC＝BD，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件，可以是 　AB＝DC　（写出一个即可）．

【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．
解：∵AC＝DB，BC＝CB，
∴可补充AB＝DC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
故答案为：AB＝DC．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．边长为2cm的等边三角形的面积为　　cm2．
【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°．
∵AB＝2cm，
∴AD＝ABsin60°＝（cm），
∴△ABC的面积＝×2×＝（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，本题中根据锐角三角函数关系计算出AD的值是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝　5　．

【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出CD即可．
解：由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出CD＝AB是解此题的关键．
16．如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段AE的长为 　1.5　．

【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
解：设ED＝x，
则AE＝4﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x，
由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，
即x2＝4+（4﹣x）2，
解得：x＝2.5，
即ED＝2.5，
∴AE＝1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
17．如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 　　．

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形．证明Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），推出BE＝CF，利用勾股定理求出AE，DF，可得结论．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形．

梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝（7﹣3）＝2，
∴AE＝DF＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图，车顶BM与车身CN平行于地面，已知BM到地面的距离为2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业．在某次起重作业中，学习兴趣小组经过测量发现：液压杆CD为2米时，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，则∠CBD＝　75　度，此时点A到地面的距离为 　5.4　米．

【分析】根据平行线的性质得到∠BCN+∠MBC＝180°，求得∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，得到∠DCB＝75°，求得∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝2米，求得AB＝6.8米，过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，根据直角三角形的性质得到AG＝AB＝3.4米，根据矩形的性质得到GF＝BE＝2米，于是得到结论．
解：∵BM∥CN，
∴∠BCN+∠MBC＝180°，
∵∠MBC＝3∠BCN，
∴∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，
∵∠DCN＝120°，
∴∠DCB＝75°，
∵∠MBD＝150°，
∴∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD＝2米，
∵AD＝4.8米，
∴AB＝6.8米，
过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，
在Rt△ABG中，∵∠ABG＝180°﹣∠DBM＝30°，
∴AG＝AB＝3.4米，
∵BE⊥EF，AF⊥EF，BG⊥AF，
∴∠BEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴GF＝BE＝2米，
∴AF＝AG+GF＝3.4+2＝5.4（米），
答：点A到地面的距离AF的长为5.4米，
故答案为：75，5.4，

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．
三、解答题（本题有6小题，共46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD．
求证：CD∥OB．

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，再根据角平分线的定义可得∠DOC＝∠BOC，从而可得∠BOC＝∠DCO，然后利用平行线的判定即可解答．
【解答】证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴DC∥OB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的判定是解题的关键．
20．如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB．
求证：AC＝DB．

【分析】有条件∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，证得∠ABC＝∠DCB，根据ASA得出△ABC≌△DCB，由全等三角形性质即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中
∵，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝DB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB．
（1）画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点．
（2）再画出该三角形关于直线AB对称的图形．

【分析】（1）根据锐角三角形的定义结合网格作出图形即可；
（2）根据轴对称的性质找出对应点即可求解．
解：（1）如图所示，△DCE即为所求（答案不唯一）；
（2）如图所示，△FGH即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握锐角三角形的定义，以及轴对称的性质是解题的关键．
22．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数．
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数．

【分析】（1）根据轴对称的性质可知△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，可得∠DAE＝100°，进一步可得∠CAE的度数，从而可得∠EAF的度数；
（2）根据BC∥AD，可得∠C＝∠CAD，根据AE平分∠BAM，可得∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，进一步可得∠CAF+∠EAF+∠E＝99°，从而可得∠EAF的度数．
解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，
∴∠DAE＝∠BAC＝100°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EAF＝70°÷2＝35°；
（2）∵BC∥AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，
又∵AE平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，
∵∠BFE+∠C＝81°，
∴∠D+∠DAC＝81°，
∴∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，
∵∠C＝∠E，
∴3∠EAF＝99°，
∴∠EAF＝33°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
23．已知：在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2．
（1）求证：AD⊥CD．
（2）若AB＝，AD＝8．
①求四边形ABCD的面积．
②点B到AD的距离是 　7　．

【分析】（1）根据垂直定义可得∠ABC＝90°，从而利用勾股定理可得AC2＝AB2+BC2，再结合已知可得AC2＝2AB2，从而可得CD2+AD2＝AC2，然后利用勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，即可解答；
（2）①在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC＝10，再在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD＝6，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答；
②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，利用垂直定义可得∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，从而利用四边形内角和是360°可得∠FBE＝90°，进而利用等式的性质可得∠ABE＝∠CBF，然后利用AAS证明△ABE≌△CBF，从而可得BE＝BF，最后再根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝2AB2，
∵CD2+AD2＝2AB2，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD；
（2）解：①在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝AB＝×＝10，
在Rt△ACD中，AD＝8，
∴CD＝＝＝6，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝AB•BC+AD•CD
＝××+×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49；
②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，

∴∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FBE＝360°﹣∠ADC﹣∠BED﹣∠BFC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠FBE﹣∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∵四边形ABCD的面积为49，
∴△ABD的面积+△CBD的面积＝49，
∴AD•BE+CD•BF＝49，
∴×8BE+×6BF＝49，
∴7BE＝49，
∴BE＝7，
∴点B到AD的距离是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝AP，连结PQ．当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．
（1）求AC的长．
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD．
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长．

【分析】（1）先由AB＝10，BE＝8，根据勾股定理求得AE＝6，再由P为AB中点时，Q恰好与点E重合，得CE＝CQ＝AP＝6，即可求得AC＝12；
（2）当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，延长PE交CD于点F，则PE＝PB＝AB，可推导出∠C＝∠PEB＝∠B，则∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，即可证明PE⊥CD，即PQ⊥CD；
（3）分三种情况，一是AQ＝AB＝12，则CQ＝AP＝2，得AP＝；二是AQ＝BQ，由BE2+EQ2＝BQ2，且EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，得82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，则CQ＝AP＝，得AP＝；三是由BD垂直平分AC可得，若点Q与点C重合，则AB＝QB，但点P不与B重合，则点Q不与点C重合，所以不存在AB＝QB的情况．
【解答】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝＝＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝AP，
∴CE＝CQ＝AP＝××10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD．
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣10＝2，
∴CQ＝AP，
∴AP＝2，
∴AP＝；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，
∴82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，
∴CQ＝，
∴AP＝，
∴AP＝；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为或．



【点评】此题重点考查勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．