2022洛阳高二上学期期末数学（文）试题含解析

洛阳市2021——2022学年第一学期期末考试

高二数学试卷（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】，

故选：A.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】由，可得，即，

当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；

反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，

所以是的即不充分也不必要条件.

故选：D.

3. 已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程

【详解】因为抛物线的准线方程为，

所以设抛物线方程为，

则，得，

所以抛物线方程，

故选：D，

4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A. 250 B. 210 C. 160 D. 90

【答案】B

【解析】

【分析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果．

【详解】设，等比数列的前项和为

为等比数列，

为等比数列，

解得．

故选：B．

5. 命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（    ）

A. ：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题

B. ：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题

C. ：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题

D. ：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题

【答案】A

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；

【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；

故选：A

6. 在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；

【详解】解：因为，又，所以，

因为，所以，所以，因为，

所以，即，所以或，即或（舍去），

所以，因为，所以，

所以；

故选：C

7. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率

【详解】设，，则，得，

所以，

因为点在圆上，

所以，即，

所以点的轨迹方程为，

所以，则

所以离心率为，

故选：B

8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出值

【详解】如图，由题意得，，，

在中，，

在中，，

所以，

故选：D

9. 下列结论中正确的个数为（    ）

①，；②；③．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断大小，从而得解；

【详解】解：令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，，故①正确；

令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故②正确；

令，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故③错误；

故选：C

10. 已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解．

【详解】解：根据双曲线方程可知

右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：

①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，

②当与轴不垂直时，可设直线方程为

联立方程可得

当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，

当时，，整理可得即

故选：D

11. 已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案．

【详解】解：令，则，

又不等式恒成立，

所以，即，所以在单调递增，

故，即，所以，

故选：B．

12. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．

【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，

则有，，，

所以．

根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），

即、，又，所以，

所以方程为．

故选：A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 曲线在点处的切线方程是______.

【答案】x-y-2=0

【解析】

【详解】解：因为曲线

在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=0

14. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】作出该不等式表示的平面区域，由的几何意义结合距离公式得出答案.

【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示

过点作直线的垂线，垂足为

因为表示原点与可行域中点之间的距离，所以的最小值为.

故答案为：

15. 直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则直线l的斜率为______．

【答案】

【解析】

【分析】如图，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，求得，从而得出直线的斜率．

【详解】解：如图，当在第一象限时，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，

由抛物线的定义可知：设，则，，，

在直角三角形中，，所以，

则直线的斜率；

当在第四象限时，同理可得，直线的斜率，综上可得直线l的斜率为；

故答案为：．

16. 如图三角形数阵：

1

2    3

4    5    6

7    8    9    10

11    12    13    14    15

……

按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______．

【答案】69

【解析】

【分析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.

【详解】解：由图可知，第行有个数，

第行最后一个数为，

因为，

所以第行的最后一个数为2016，

所以2021位第行，即，

又，

所以2021位第行第5列，即，

所以.

故答案为：69.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.

（1）求A的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；

（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.

【小问1详解】

因为B，A，C成等差数列，所以，所以.

【小问2详解】

因为，，由余弦定理可得：；

又的面积为，所以，所以，

所以

所以周长为.

18. 已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】若为真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.

【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；

若为真命题，则对一切恒成立,

令,

则,当且仅当，即时，取得最小值；

所以，即；

又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；

当为真命题，为假命题时，，所以；

当为假命题，为真命题时，，所以；

综上所述，.

19. 已知数列的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前n项和为，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可证明；

【小问1详解】

解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；

【小问2详解】

解：由（1）可知，所以①，所以②；

①②得

所以；

20. 已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；

（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；

【小问1详解】

解：由已知可得，，

即点到定点的距离等于到直线的距离，

故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以点的轨迹方程为．

【小问2详解】

解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；

当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；

21. 已知，．

（1）当时，求函数的单调递减区间；

（2）当时，，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；

（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；

【小问1详解】

解：当时定义域为，

所以，

令，解得或，

令，解得，

所以的单调递减区间为；

【小问2详解】

解：由，即，即，

当时显然成立，

当时，只需，即，

令，，则，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

故实数的取值范围为.

22. 已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程．

（2）设， ，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；

【小问1详解】

解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，

因为，

所以，

又，所以当且仅当时，，

因为，所以，，因为，所以，

故椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

解：由（1）知，设， ，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；