辽宁省辽阳市灯塔实验中学2022-2023学年八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)

2022-2023学年辽宁省辽阳市灯塔实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本题共10小题，共20分）

1.    下列实数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列说法不正确的是(    )

A. 是的平方根，即
B. 的立方根是
C. 正数的两个平方根的积为负数
D. 存在立方根和平方根相等的数

3.    下列是勾股数的一组是(    )

A. ， B. ，， C. ，， D. ，，

4.    下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    是一个无理数，那么在哪两个整数之间(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

6.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8.    如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形如图，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了个正方形如图，如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 实数相反数是______．
12. 如果一个直角三角形的两边分别是和，则这个直角三角形的第三边是______ ．
13. 已知，则的算术平方根是______．
14. 若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是______．
15. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处三条棱长如图所示，问最短路线长为______．

16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．则当运动时间______时，为直角三角形．

三、解答题（本题共9小题，共64分）

17. ．
18. ．
19. 一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是．
    求：，的值；
    的算术平方根．
20. 如图，一架梯子长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
    求这个梯子的顶端离地面的高度；
    如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

21. 如图，长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
    在图中画出以点为直角顶点的；
    在图中画出以为边的等腰三角形，且的周长为；
    在的条件下，连接，则线段的长为______．

22. 如图，已知，点对应的数是，点是线段的中点．
    数轴上点所表示的数是______；
    点到点的距离是，请直接写出点表示的数；
    数轴上点所表示的数是什么？请说明理由；
    请你在数轴上画出表示的点．

23. 在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
    
    问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
    求原来的路线的长．
24. 观察下列各式的特点：
    ，，，根据以上规律可知： ______填“”“”或“”．
    观察下列式子的化简过程：
    根据观察，请写出式子，且是正整数的化简过程．
    根据上面得出的规律计算下面的算式：．
25. 如图，在中，，，交于点动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为．
    求上的高；
    当时，求的值；
    当点在边上运动时，若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是有理数，故本选项错误；
B、是无理数，故本选项正确；
C、是有理数，故本选项错误；
D、是有理数，故本选项错误．
故选：．
根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是的平方根，即，不合题意；
B、的立方根是，故符合题意；
C、正数的两个平方根的积为负数，不合题意；
D、存在立方根和平方根相等的数，是，不合题意．
故选：．
根据平方根与立方根的概念逐一判断即可．
此题考查的是平方根与立方根，掌握其概念是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意；
B、，，不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意；
C、，不是勾股数，此选项不符合题意；
D、，是勾股数，此选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以三个条件的二次根式是最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式，分母中不含有根号．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
首先确定的范围，再确定在哪两个整数之间．
此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
当，时，；
当，时，；
的值为或．
故选：．
根据平方根和立方根的定义求出，的值，再求出的值即可．
本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数的平方根有个，不要漏解．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在中，由勾股定理得，，
阴影部分的面积之和，
故选：．
由勾股定理求出，再由正方形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长到点，连接，如右图所示，
由图可得，，，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到、、的值，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求得的度数，再根据，即可求得的值．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是，，．
根据勾股定理，得，
即正方形的面积正方形的面积正方形的面积．
推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，即所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有的正方形的面积和是；推而广之，即可求出“生长”次后形成的图形中所有正方形的面积和是．
此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
应用相反数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了实数的性质，熟练掌握相反数的计算方法进行计算是解决本题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当要求的边是斜边时，则有；
当要求的边是直角边时，则有．
此题要考虑两种情况：当要求的边是斜边时；当要求的边是直角边时．
考查了勾股定理的运用，注意此类题的两种情况．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使有意义，必须且，
解得：，
即，
所以，
所以的算术平方根是，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再求出，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，能求出和的值是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：长方形的周长是，一边长是，
长方形的另一条边为：
，
它的面积
，
故答案为：
根据长方形的周长和面积公式即可得到结论．
本题考查了二次根式的应用，长方形的周长和面积公式，熟练掌握长方形的周长和面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
，
如图，
，
如图，
，
故沿长方体的表面爬到对面顶点处，只有图最短，
其最短路线长为：，
故答案为：．
分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
．
如图，作边上的高．
，
．
当为直角时，点与点重合，，
秒．
当为直角时，与重合，，，，
在中，，
，
解得．
综上，当或秒时，为直角三角形．
故答案为：或．
首先根据勾股定理求出斜边的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高，再分两种情况进行讨论：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用以及分情况讨论．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简，再计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，化简是解此题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

19.【答案】解：由题意可知：，，
，；
，
的算术平方根是． 

【解析】本题考查算术平方根的性质，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．
根据平方根的性质即可求出、的值．
将与的值代入中即可求出它的算术平方根．
 

20.【答案】解：由题意得，是直角三角形，，，，
，
，
答：这个梯子的顶端离地面；

由题意可得，是直角三角形，且，，，
，
，
米，
答：梯子底部在水平方向滑动了米． 

【解析】利用勾股定理直接得出的长即可；
利用勾股定理直接得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
线段的长．
故答案为：．

根据要求作出图形即可；
利用数形结合的思想作出图形即可；
利用勾股定理求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：，，
，
点表示的数是，
故答案为：；
点到点的距离是，
点表示的数为或；
点是的中点，
，
设点表示的数为，
，
解得，
点表示的数为；
如图所示．
由，即可求点表示的数；
根据题意可知有两个点到的距离是，分别是或；
设点表示的数为，由，可得，求出即可求解；
仿照已知，以直角边为，的直角三角形的斜边长画弧，与坐标轴的交点即为所求．
本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，勾股定理的应用是解题的关键．
 

23.【答案】解：是，
理由是：在中，
，
，
，
是直角三角形，
是从村庄到河边的最近路；

设千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：根据规律可知：，
故答案为：；
，且是正整数；
原式


．
利用题目中的几个不等式的大小的规律求解；
利用分母有理化进行化简；
先分母有理化，再去绝对值，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、分母有理化是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，作于．

，
，
，
，
．
边上的高为．

证明：如图中，

，，
，
，，
≌，
，
．

解：当点在上时，，
如图中，当时，

，
，
．
如图中，当时，

，
，
，，
，
，
，
，
，
如图中，当时，过点作于．

，，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或或． 

【解析】如图中，作于根据求解即可．
证明≌，可得，求出即可解决问题．
分两种情形分别求解即可．
本题考查勾股定理，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．