湖南省长沙麓山外国语实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次限时训练数学试卷(解析版)

麓山外国语实验中学初三第一次限时训练数学试题卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（          ）

A．∽ B．× C．⊥ D．∵

2．下列运算中，正确的是（       ）

A． B．

C． D．

3．大庆市2020年GDP超过了2800亿元，2800亿用科学记数法表示为（　　）

A．2.8×103 B．28×1011 C．2.8×1012 D．2.8×1011

4．已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（       ）

A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； B．圆的切线垂直于圆的半径；

C．三角形的外心到三角形三边的距离相等； D．同弧或等弧所对的圆周角相等；

6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

7．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（　　　）

A． B．

C． D．

8．若不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　　）

A． B． C． D．

9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ）

A． B． C． D．

10．如图，直线与相切于点，、是的两条弦，且，若的半径为5，，则弦的长为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：______．

12．如果，，且，则_______．

13．有8个数的平均数是8，另外有12个数的平均数是9，这20个数的平均数是______．

14．已知关于的二次函数，当时，的取值范围为________．

15．如图，△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′AB，∠BAB′=44º，则∠CAB=_________º．

16．如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______．

三、解答题（共8小题，17-19题每小题6分，20-21题每小题8分，22-23题每小题9分，24-25题每小题10分，共72分）

17．计算：．

18．解不等式（组）．

19．先化简：（﹣a+1）÷，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．

20．已知直线与抛物线．

(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；

(2)当时，求两交点坐标．

21．如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．

(1)求证：；

(2)若，，求BE的长．

22．如图，在中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，求DE的长．

23．如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求及的半径．

24．定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.

(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;

(2)设函数与的图像相交于点P.

①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；

②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

25．已知：为的直径，，为弦上一动点（不与、重合）．

(1)如图1，若平分，连接交于点．

①求证：；

②若，求的长．

(2)如图2，若绕点顺时针旋转得，连接．求证：为的切线．

1．B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

【详解】

A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．

2．D

【分析】

根据幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、，故本选项错误，不符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

3．D

【分析】

根据科学记数法的表示方法进行改写即可．

【详解】

2800亿，

故选：D．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．

4．D

【分析】

由题意，先求出，得到点M的坐标，然后求出关于原点对称的点的坐标即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵点在第二象限，

∴，

∴点，

∴点M关于原点对称的点的坐标是；

故选：D

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

5．D

【分析】

利用垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，错误，是假命题；

B、圆的切线垂直于过切点的的半径，故错误，是假命题；

C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误，是假命题；

D、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题，

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆的有关知识，解题的关键是了解垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，难度不大．

6．A

【详解】

试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,αβ==-3,所求式子化为（α＋β）÷（αβ）=3÷（-3）=-1.故本题选A.

考点：一元二次方程根与系数关系.

7．D

【分析】

根据“若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺”，列出二元一次方程组即可．

【详解】

解：由题意可得

故选D．

【点睛】

此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．

8．D

【分析】

先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是x＞4得出m的范围即可．

【详解】

解：，

解不等式①，得x＞4，

∵不等式组的解集是x＞4，

∴m≤4，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，能熟记求不等式组解集的规律（同小取小，同大取大，大小小大中间找，大大小小找不了）是解此题的关键．

9．C

【分析】

由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=40°，就可以算出旋转角．

【详解】

由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角

∵AB=AD

∴∠ADB=∠B=40°

∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=100°

故选：C．

【点睛】

本题考查旋转的性质．找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．

10．A

【分析】

延长交于点E，连接．由题意可得，根据垂径定理求出，根据勾股定理可得，即可得，根据勾股定理可求的长．

【详解】

解：延长交于点E，连接．

∵是切线，

∴，

又∵，

∴即，

∴，

在中，

，

∴，

在中，

，

故选A．

【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

11．

【分析】

原式提取公因式2b，再运用完全平方公式进行因式分解即可

【详解】

解：

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．

12．

【分析】

根据绝对值的性质可得，再由，可得a，b异号，即可求解．

【详解】

解∶∵，，

∴，

∵，

∴a，b异号，

当时，；

当时，；

综上所述，．

故答案为：

【点睛】

本题考查了绝对值的性质，有理数的大小比较，有理数的减法运算，有理数的乘法，求得a，b的值是解题的关键．

13．8.6

【分析】

根据平均数的公式求解即可，8个数的和加12个数的和除以20即可．

【详解】

解：由题意，得

这些数之和为8×8＋12×9＝172，故这些数的平均数是=8.6．

故答案为：8.6．

【点睛】

本题考查的是样本平均数的求法，正确地计算能力是解决问题的关键．

14．

【分析】

根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，当时，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解．

【详解】

解：∵二次函数解析式为，

∴抛物线开口向下，对称轴为，

∴在范围内，当时，函数有最大值，最大值为1，

当时，函数有最小值，最小值为：，

∴的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．

15．68

【分析】

根据旋转的性质可得∠CAC′＝∠BAB′＝44°，AC＝AC′，然后利用等腰三角形的性质求出∠ACC′，再根据两直线平行，内错角相等解答．

【详解】

解：∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，

∴∠CAC′＝∠BAB′＝44°，AC＝AC′，

∴∠AC′C＝∠ACC′＝，

∵CC′AB，

∴∠ACC′＝∠CAB＝68°，

故答案为：68．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

16．

【分析】

过点作于点，根据切线的性质得到，根据勾股定理用表示出，根据三角形的面积公式求出，得到答案．

【详解】

解：过点作于点，

是的切线，

，

，

是的半径，大小不变，

当最小时，的面积最小，

在中，，

则当最小时，最小，

对于直线，当时，，当时，，

则，，

由勾股定理得：，

，

则，

解得：，

当点与点重合时，最小，的最小值为，

则的最小值为：，

的最小值，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

17．

【分析】

根据二次根式的乘法，零指数次幂，立方根及实数的乘方分别计算即可．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查实数的混合运算，二次根式的乘法，零指数次幂，立方根等，解题关键是掌握相关的运算法则．

18．

【分析】

分别求出两个不等式的解集，即可求解．

【详解】

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

所以原不等式组的解集为．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．

19．，1

【分析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，﹣1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．

【详解】

解：

，

∵，，

∴当时，原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

20．(1)见解析

(2)（，），（，）

【分析】

（1）令，证明Δ大于0．

（2）将k＝−2代入直线解析式，联立两方程求解．

（1）

解：令，整理得，

∵，

∴直线l与该抛物线总有两个交点．

（2）

∵k＝−2，

∴y＝−2x＋1，

联立方程 ，

解得

， ，

∴交点坐标为（，），（，）．

【点睛】

本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系．

21．(1)见解析

(2)6

【分析】

（1）由角平分线的性质可得DC＝DE，根据HL可证得进而证得结论；

（2）容易证得，则AC＝AE，分别用BE表示AC、AE，即可求出BE的长．

（1）

证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，

∴DC＝DE，又DF＝BD，

∴（HL），∴BE＝CF．

（2）

在和中，

∵DE＝DF，AD＝AD，∴，

∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，

由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE

即，∴．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用角平分线的性质得出线段相等，进而证得两三角形全等是解题的关键．

22．(1)见解析

(2)2

【分析】

（1）证△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由OA=OC，得四边形AFCE为平行四边形，然后由EF⊥AC，即可得出结论；

（2）由含30°角的直角三角形的性质得BC=2AB=4，再证△ABF是等边三角形，得AF=AB=2，则AE=AF=2，即可得出答案．

（1）

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ADBC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

又OA=OC，

∴四边形AFCE为平行四边形，

∵EF垂直平分AC，

∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）

解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，

∴∠ACB=90°﹣∠B=30°，

∴BC=2AB=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=4，

由（1）可知，四边形AFCE是菱形，

∴AE=AF=CF，

∴∠FAC=∠ACB=30°，

∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=90°﹣30°=60°，

∴∠B=∠BAF=60°，

∴△ABF是等边三角形，

∴AF=AB=2，

∴AE=AF=2，

∴DE=AD﹣AE=4﹣2=2．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)，的半径为3

【分析】

（1）连接，先根据圆周角定理证明，从而得到，再根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，，即可求证；

（2）过点C作于点E，根据锐角三角函数求出的长，即可根据勾股定理求出的长，然后在中，根据锐角三角函数求出的长，即可．

（1）

证明∶如图，连接，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∵是是的半径，

∴是的切线；

（2）

解：如图，过点C作于点E，则，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即的半径为3．

【点睛】

此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

24．(1)是函数的“组合函数”

(2)①；②存在，见详解

【分析】

（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；

（2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．

（1）

解：是函数的“组合函数”，

理由：由函数的“组合函数”为：，

把m=3，n=1代入上式，得，

函数是函数的“组合函数”；

（2）

解：①解方程组得，

函数与的图像相交于点P，

点P的坐标为，

的“组合函数”为， ，

，点P在函数的“组合函数”图像的上方，

，整理，得，

，，

p的取值范围为；

②存在，理由如下：

函数的“组合函数”图像经过点P．

将点P的坐标代入“组合函数”，得

，

，

，

，，

将代入=，

把y=0代入，得

解得：，

设，则，

，

对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．

【点睛】

本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．

25．(1)①见解析；②4

(2)见解析

【分析】

（1）①根据圆周角定理和平分，可得，即可求证；②取的中点G，连接，根据三角形中位线定理可得，，再根据，可得，即可求解；

（3）在上截取，连接，证明，可得，从而得到，即可求证．

（1）

①证明∶∵为的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，，

∴，

∴；

②解：如图，取的中点G，连接，

∵点O为的中点，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）

证明：如图，在上截取，连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

根据旋转的性质得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∵为半径，

∴为的切线．

【点睛】

本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识是解题的关键．