易错点05 三角函数-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点05  三角函数

易错点1：三角函数的定义

此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。

易错点2：三角函数图象变换

函数图象的平移变换解题策略：

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

易错点3：由三角函数图像求解析式

结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；

“第五点”为ωx＋φ=2π.

易错点4： 给值（式）求角（值）

解三角函数的给值求值问题的基本步骤

（1）先化简所求式子或所给条件；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

易错点5：三角形中边角关系

此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

1．（单选）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知，

，解得：,

函数的图象向左平移个单位长度，得

当时，，且，

得

所以，.

故选：A

2．（单选）把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（       ）

A．最小正周期为 B．奇函数

C．偶函数 D．

【答案】D

【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度，

得，

再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，

得，即，

则最小正周期为，故A错误；

因为，所以函数是非奇非偶函数，故BC错误；

，故D正确.

故选：D.

3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为 B．的最大值为

C．的图像关于直线对称 D．将的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数

【答案】BD

【详解】，故的最小正周期为，最大值为，故A错误，B正确；

对称轴方程为，，即，，当时，不为整数，故C错误；

对于选项D，将的图像向右平移个单位长度后得到，

然后将此图像向上平移个单位长度，

得到函数的图像，是一个奇函数，故D正确.

故选：BD.

4．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．在上单调递增

C．的解集为．

D．的图象的对称轴方程为

【答案】BC

【详解】对于A选项：由图知，函数的最小正周期，

所以，所以．因为点在的图象

上，所以，所以，即．

因为，所以，所以，故A错误；

对于B选项：令，得，即的单调递增区间为，因为，

所以B正确；

对于C选项:令，则，所以，解得，

所以的解集为，故C正确；

对于D:令，解得，所以的图象

的对称轴方程为，故D错误．

故选：BC．

5．（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（       ）

A．是奇函数 B．的最小正周期是π

C．的一个对称中心是 D．的一个递增区间是

【答案】BD

【详解】B．的最小正周期是，B正确；

A．由于的图象关于直线对称，且最小正周期是，因此的图象也关于直线对称，故是偶函数，A错误；

C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则或，根据可得解析式为前者．的对称中心为，，C错误；

D．由于，在单调递增，D正确．

故选：BD.

1．（单选）已知有恒等式，则（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【详解】因为

所以

故选：B

2．（单选）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】令可得，故，则

故选：C

3．（多选）若函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．函数在上为增函数

【答案】BD

【详解】由题意，．

函数的图象向右平移个单位长度可得到，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；

函数在上为增函数，时，，故函数在上单调递增，所以函数在上为增函数，故D正确．

故选：BD．

4．（多选）函数的部分图像如图所示，则（       ）

A． B．

C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为

【答案】AD

【详解】由图像知函数的周期，解得：，所以A对；

由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．

当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，

函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．

故选：AD

5．（多选）已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（       ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称

C．函数在上为增函数

D．设，则在内有20个极值点

【答案】ABD

【详解】根据题意可得，则，即，A正确；

将函数的图像向左平移个单位长度得

∵为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；

∵，则

∴在上为减函数，C错误；

，则

∴为奇函数

当时，，则

令，则，即

∴

∵，即，则

∴共10个

则在内有20个极值点，D正确；

故选：ABD．

一、单选题

1．若，则＝（       ）

A．－ B． C．－ D．

【答案】C

【详解】依题意，，所以.

故选：C

2．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，所以，因为，

所以，所以．

故选：A．

3．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由已知可得，

则原式．

故选：A.

4．函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由图可知，，因为图像过，，所以，

解得，则，

根据图像可知且，解得，

所以，；

把的图象向左平移个单位长度后得到函数，

根据诱导公式可得，

解得，当时，.

故选：C.

5．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】对于A，的周期为，时，当时，函数不单调，故错误；

对于B，的周期为，时，当时，函数单调递增，故正确；

对于C，的周期为，故错误；

对于D，的周期为，时，当时，函数单调递增，故单调递减，故错误.

故选：B

6．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

因为，

所以的最小正周期为.

故选：D.

二、多选题

7．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．直线为函数f(x)图像的一条对称轴

B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到

C．函数f(x)在[－，]上单调递增

D．函数的值域为[－2，]

【答案】AD

【详解】解：对于A：，选项A正确；

对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；

对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，

当即，时，f(x)单调递增，

当，即时，f(x)单调递减，选项C错误；

对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－，]探究f(x)值域．

而函数f(x)的对称轴为：．

因此：可取区间[－，]探究f(x)值域，

当时，，其中，

即：，选项D正确．

故选：AD.

8．设函数，则下列结论中正确的是（       ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称

C．在上单调递减 D．在上的最小值为0

【答案】ABC

【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；

当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；

当时，，在上单调递减，故C正确；

当时，，在上的最小值为，D错误.

故选：ABC

三、解答题

9．已知函数

(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.

【答案】（1）

，

，

所以函数的最小正周期为，

令，，得函数的对称轴方程为，

（2）

将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，

所以，

令，

所以.又，

所以在上的单调递减区间为.

10．已知函数，其中

(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；

(2)若，求函数在上的最小值；

【答案】

(1)

可知，

因为直线是图象的一条对称轴，故，

解得，而，故，则，

则周期，

再令，则，

故的递减区间为.

(2)

可知

因为，故，

则在即取最小值，其最小值为.