易错点09 平面向量与复数-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错分析
一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量的夹角为钝角，所以，
即，解得，
【错因】
【正解】
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ为锐角,有cs θ>0,
∴eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－eq \f(1,2),λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
【错因】
【正解】
二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选B或C或D
【错因】
【正解】
三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以
+=+
=0, 所以的模为0。
【错因】
【正解】
四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
【错解】∵△ABC为等边三角形,∴|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1,
【错因】
【正解】
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =
【错因】
【正解】
五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
若a∥b,b∥c,则a∥c；
若A,B,C,D是同一平面内的四点且eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；
若,则；
； 其中正确的命题有______个。
【错解】1或2或3或4
【错因】
【正解】
六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
【错解】选A或C或D
【错因】
【正解】
七、纯虚数的条件不明晰
9、若复数是纯虚数,则实数（ ）
A. B. C. D.
【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．
【错因】
【正解】
八、对复数的虚部理解错误
10、复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【错解】因为,故选B.
【错因】
【正解】
九、乱用判别式
11、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.
【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,
解得：或.
【错因】
【正解】
十、忽略虚数不能比较大小
12、给出下列命题： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③,其中正确命题的个数为 . A.0 B.1 C.2 D. 3
【错解】D
【错因】
【正解】
十一、利用解题,忽略前提条件：为实数
13、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.
A. B. C. D.
【错解】由得,所以.
【错因】
【正解】
易错题通关
1、已知复数z=5+3i1−i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为4iB. z的共轭复数为1−4i
C. |z|=5D. z在复平面内对应的点在第二象限
2、下列说法正确的是( )
A. 若|a| > |b|，则a>b B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a=b，则a//b D. 若a≠b，则a与b不是共线向量
3．已知a∈R，若z＝(a＋i)(a＋4i)－10i为纯虚数(i为虚数单位)，则a的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
4．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于( )
A．5 B．1 C．0 D．－3
5、已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则λ满足( )
A. λ<−53B. λ>−53
C. λ>−53且λ≠0D. λ<−53且λ≠−5
6．向量a＝(2，t)，b＝(－1,3)，若a，b的夹角为钝角，则t的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，eq \f(2,3))) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2,3)，＋∞)) C．(－∞，－6)∪－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，eq \f(2,3))) D．(－∞，－6)
7．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
8．已知矩形ABCD，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝2，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝b，eq \(BD,\s\up7(―→))＝c，则|a＋b＋c|＝( )
A．3＋eq \r(5) B．4 C．2 D．3＋2eq \r(5)
9、已知i为虚数单位，且复数z满足z(1+2i)=i2020+i，则下面关于复数z的三个命题：①复数z的虚部为−15i；②|z|=3；③复数z的共轭复数z对应的点在第一象限．其中正确命题的个数为 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 0
10．在△ABC所在平面中，点O满足eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则eq \(BO,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
11．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
12．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
13．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．1 D．－1
15．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝2|eq \(AP,\s\up7(―→))|，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
16．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.eq \r(5) B．eq \r(10) C．2eq \r(5) D．10
17．已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是( )
A.eq \f(5π,6) B．eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)
18、下列五个命题：
向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上；
如果向量与平行，则与方向相同或相反；
四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=；
若∣∣=∣∣，则、的长度相等且方向相同或相反；
由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。
其中正确的命题有______个。
若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则下面结论： ①|z|=5; ②z的实部是2; ③z的虚部是1; ④复数在复平面内对应的点在第一象限，其中正确的个数是 个.
若复数a为实数，复数z=(a2−9)+(a+3)i为纯虚数，则a=_________，z的虚部为_________．
21、复数z=(3+i)m−(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_______．
22．在复数范围内解方程|z|2＋(z＋eq \x\t(z))i＝eq \f(3－i,2＋i)(i为虚数单位)，则z＝________.
23、已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
24．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))的值为________．