安徽省宣城市2022年九年级上学期期末数学试题解析版

这是一份安徽省宣城市2022年九年级上学期期末数学试题解析版，共10页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）．
A．B．C．D．
2．下列各组的四条线段 ， ， ， 是成比例线段的是（　　）
A． ， ， ，
B． ， ， ，
C． ， ， ，
D． ， ， ，
3．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A． 米B．4sinα米C． 米D．4cosα米
5．以下有关抛物线的结论，正确的是（　　）．
A．开口向上B．与y轴的交点坐标是
C．与x轴只有一个交点D．顶点坐标是
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．B．
C．D．
7．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）

A．sinα=cosαB．tanC=2C．sinβ=cosβD．tanα=1
8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2＋aB．y＝a（1＋x）2
C．y＝（1﹣x）2＋aD．y＝a（1﹣x）2
9．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）

A．（40 ﹣40）cmB．（80 ﹣40）cm
C．（120﹣40 ）cmD．（80 ﹣160）cm
10．正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为(　　)

A．8B．6C．4D．
二、填空题
11．若，且，则　 　．
12．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比，两个坡角的和为75°，则坝内斜坡的坡比是　 　．

13．如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数 的图象经过 OABC的顶点C，则k=　 　．

14．如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．

（1）当AB＝4时，AN＝　 　．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝　 　．（S表示面积）
三、解答题
15．计算：tan45°+4cos30°sin45° tan60°．
16．已知线段a，b，c满足，且．求线段a，b，c的长．
17．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比性函数y2= 的图象交于A(2，1)、B（-1，n）两点．

（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y1 y2的自变量x取值范围．
18．如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点．

（1）以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为；
（2）写出点、点、点的坐标．
19．已知：如图，在 中， ， 于 ， 为直角边 的中点，射线 交 的延长线于点 ．

（1）若 ， ，求 长；
（2）求证： ．
20．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
21．如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上.

（1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度.
（2）将（1）中的连杆绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
22．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
23．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．

（1）求证：
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y=（x+1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点为抛物线最低点，坐标为（-1，2），
∵2-（-1）＞1-（-1），
∴y2＞y1＞2．
故答案为：D．

【分析】根据抛物线的图象可得结论.
2．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A； ，故答案为：错误，
B； ，故答案为：错误，
C； ，故答案为：错误，
D； ，选项正确，
故答案为：D.

【分析】由于比的内项之积等于外项之积，对于每个选项, 先对四条线段排序, 然后把最大的和最小的相乘, 其它两个相乘,比较两个积, 如果积相等, 这四条线段就成比例,否则不成比例.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故答案为：A．

【分析】反比例函数图象性质即可解得.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C.

在Rt△OCA′，sinα＝ ，所以A′C＝A′O·sinα.由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B.
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，故A不符合题意；
B.∵当x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3)，故B不符合题意；
C.∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，故C不符合题意；
D.∵抛物线，
∴顶点坐标是（2，1），故D符合题意．
故答案为：D．

【分析】根据抛物线的性质即可解得.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故答案为：C．
【分析】利用小正方形的边长及勾股定理计算出△ABC的三边长，及四个答案中每个三角形的边长，然后判断出三边是否对应成比例得出答案。
7．【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解: 观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2 ，AD=2，CD=1，AC= ，
A、∴sinα=cosα= ，故A不符合题意，
B、tanC= =2，故B不符合题意，
D、tanα=1，故D不符合题意，
C、∵sinβ= = ，cosβ= ，
∴sinβ≠cosβ，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】观图图象可知△ADB是等腰直角三角形，从而可得BD、AD、AB、AD、CD，再利用锐角三角函数一一计算即可。
8．【答案】B
【知识点】根据数量关系列出方程
【解析】【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2.
故答案为：B.
【分析】根据第一个月投放的辆数×(1+x)2可表示出第三个月投放的辆数，据此解答.
9．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80 40 40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80 160，
故答案为：D．

【分析】根据黄金分割的概念和黄金壁纸求出AC＝BD＝40 40，进而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】∵AP=PF，
∴点P在AF的垂直平分线上，
过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，

设DF=x，则AG= ，
∴GD=PG= ，
∴S△APF= ≤4，
所以△APF面积最大值为4；
故答案为：C．

【分析】过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，则AG= ，得出GD=PG= ，即可得出△APF的面积最大值。
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵2x-5y=0，
∴2x=5y，
∴，
∴=，
故答案为：．

【分析】根据条件求出x与y的关系式代入即可解得.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坝外斜坡的坡比i=1：1，
∴，
则∠B=45，
∵两个坡角的和为75，
∴，
则坝内斜坡的坡比为：．
所以坡比为：
故答案为：．

【分析】坡比就是正切值，求出特殊三角函数值即可解得.
13．【答案】-2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标 ，
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数 （k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．

【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
14．【答案】（1）
（2）1：11
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD
∴ ，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴ ，
∴ ，
∵ACAB，
∴ ，
∴ANAB；
∵AB=4
∴AN=
故答案为 ；
（2）设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴ ，△AFN∽△CDN，
∴△AFN和△CDN高的比=
∴△AFN和△ADN高的比=
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，
【分析】（1）根据正方形的性质得出AB∥CD，AB=CD，利用相似三角形的性质从而推出，结合图形根据线段间的和差关系推出，进而根据正方形的性质、线段之间的和差关系和比例关系求解即可；
（2）根据相似三角形的性质推出△AFN∽△CDN，根据比例关系推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，从而得出S△ANF：S四边形CNFB＝1：11。
15．【答案】解：tan45°+4cos30°sin45° tan60°
=1+4
=1 1，
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．
16．【答案】解：设，
则a=3k，b=2k，c=6k，
∵a+2b+c=26，
∴3k+4k+6k=26，
解得：k=2，
∴a=6，b=4，c=12．
【知识点】比例的应用
【解析】【分析】 设， 表示出a、 b、c，代入即可解得.
17．【答案】（1）解：由题意得： ， ， ，
∴反比例函数解析式为： ， ，
再由题意得： ；解得：
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：由图像可知：当 时，自变量x取值范围是： 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)由A的坐标易求反比例函数解析式，从而求得点B的坐标，进而运用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值范围即可。
18．【答案】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求；

（2）解：A′（−1，0），B′（2，0），C′（1，2）．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】 (1)、 根据 位似 的定义即可解得.
(2)、 结合图象写出点的坐标.
19．【答案】（1）解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ 是 斜边 边上的中线，
∴ ，
∴∠EAD=∠EDA，∠C=∠CDE，
∵∠CDA=∠CAF=90°，
∴∠CDE=∠FAD=∠C，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠F=∠F，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由勾股定理得出BC的遏制，再证明 ，由此得出 ；
（2）因为 是 斜边 边上的中线，可得 ，从而得出 ， ，因为 ， ，即 ．
20．【答案】（1）解：由题意可知抛物线C2：y=-x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=-x2+x+4
（2）解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，
依题意得：-m2+m+4-（-m2+m+1）=1，
整理得：（m-12）（m+4）=0，
解得：m1=12，m2=-4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（0，4）和（4，8）代入y=-x2+bx+c，求出b、c的值即可得到函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，根据题意列出方程-m2+m+4-（-m2+m+1）=1， 求解即可。
21．【答案】（1）解：过点B作，垂足为O，如图2，

则四边形是矩形，，
∴，
∴.
（2）解：下降了.
如图3，过点D作于点F，过点C作于点P，过点B作于点G，过点C作于点H，则四边形为矩形，

∵，∴，
又∵，∴，
∴，，
∴
.
∴下降高度：

.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 (1)、过点B作，垂足为O ，解直角三角形，求出DE.
(2)、过点D作于点F，过点C作于点P，过点B作于点G，过点C作于点H，则四边形为矩形， 解直角三角形，求出DF。
22．【答案】（1）解：由题意可得： ，
整理，得： ，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ；
（2）解：设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得： ，
，
当 时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 销售单价定为70元时，每天可售出20件 ”和“ 销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价） ”列出函数表达式即可；
（2） 设销售所得利润为w， 根据“总利润=每件商品的利润×数量”列出函数表达式，再利用配方法求解即可。
23．【答案】（1）证明：
∵ AE//CD
∴∠AEB=∠DCE ；
∵ DE∥AB
∴∠ABE=∠DEC， ∠1=∠2，
∵ ∠ABC=∠BCD， 4
∴∠ABE=∠AEB
，∠DCE=∠DEC，
∴AB= AE DE= DC
∵ AF//CD， AD//CF，
∴四边形AFCD是平行四边形
∴AF= CD
∴ AF= DE
在△ABF与△EAD中

∴△ABF≌△EAD(SAS)


（2）解：，
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）解：延长BM、ED交于点G．

与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定方法求解即可；
（2）先证明可得，再将数据代入可得，再求出EB的长即可；
（3）延长BM、ED交于点G，先证明可得， 设，，，则，， 将数据代入可得，再化简可得，求出x的值，最后求出即可。