2022-2023学年安徽省宣城市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年安徽省宣城市九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】A．，关系式不是整式，故不是二次函数；
B．，关系式不是整式，故不是二次函数；
C．，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D．，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
2. 如果点C是线段的黄金分割点（），那么下列结论正确的为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，
∴是和的比例中项，即，
∴，
∴选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
3. 在中，，下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先用勾股定理求出，再利用三角函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选择：A
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切函数的定义是解决问题的关键．
4. 如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当AB2＝AP•AC时，则＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、当AB•BC＝AC•BP时，
则＝，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5. 小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求斜坡的坡度，关键是斜坡的铅垂直高度和水平长度，根据已知条件，由勾股定理可求出AC的长即可得出结果．
【详解】解:
又
∴斜坡AB的坡度
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坡度的概念，涉及到构造直角三角形，用勾股定理求出相应的边长．
6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
7. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，D的坐标为，反比例函数的图像与矩形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形写出A，两点坐标，然后利用双曲线经过点A，时对应的k值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：由题可知A，两点坐标为：,
当双曲线经过点A时，k的值最小，此时，
当双曲线经过点时，k的值最大，此时，
∴k的取值范围为
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点O，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数求解即可．
【详解】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9. 如图，，点H在上，与交于点G，，则线段长为（ ）
A. 5B. 3C. 2.5D. 2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，得出，，即①，②，将两个式子相加，即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
①+②，得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10. 平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数与函数的图象的公共点的个数分别为（ ）
A. 0，1，2B. 0，1，2，3C. 0，1，2，3，4D. 1，2，3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出直线与二次函数以及的交点，作出图像，即可求解．
【详解】解：如图所示，
即
即，
当，
即时，，
解得：,
则交点坐标为
∵是由向右移动4个单位，
则当时，与只有1个交点
即当或时，两函数图象公共点的个数为1，当时，2个公共点，当时没有公共点，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限，可得，解不等式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
12. 在中，若都是锐角，则的度数是_________．
【答案】##105度
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求得，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵都是锐角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
13. 如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是_________．
【答案】6
【解析】
【分析】正确理解小孔成像的原理，首先由可证得，再根据相似三角形的性质，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
又，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14. 在“探索函数的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为_________；a的最小值为_______．
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
【详解】当抛物线经过三点时，
得，
解得，
；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴，
∵
∴a值最大是， a的值最小是，
∴．
故答案0，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：cs230°+sin245°﹣tan60°•tan30°
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可．
【详解】解：原式＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16. 如图，在中，，于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法证明Rt△ABD∽Rt△ADC，即可得到BD：AD=AD：CD， 再利用比例性质可得．
【详解】∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴BD：AD=AD：CD，
∴．
【点睛】考查了直角三角形性质的应用，判定三角形相似是解题的关键 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；
（2）利用图中网格线的交点用直尺在线段上找到一点D，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，顺次连接、、即可；
（2）如图，，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
【小问1详解】
如图所示：即为所求；
小问2详解】
如图，点D为所求，
如图，，，
由平行线分线段成比例定理即可得到，，
故点D满足题意．
【点睛】此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18. 如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于点两点．
（1）求m、n的值；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先将点A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出n的值；
（2）作轴于点C，轴于点D，根据、进行求解即可．
【小问1详解】
把带入得：，
∴，
把带入得：；
【小问2详解】
作轴于点C，轴于点D，
则，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数图象上点的坐标，比例系数k的几何意义，反比例函数与图形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，分别在边上取点D、E，使，再取的中点M，连接交于点N．
（1）求证：；
（2）判断线段与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即而得，从而可得结论；
（2）由和得，再由，从而得
【小问1详解】
∵，
∴
∴﹐
∴；
【小问2详解】
，
理由：∵，
是的中点，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
20. 学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通．
（1）求该二次函数的解析式和k的值；
（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由．
【答案】（1），
（2）超过，理由见解析
【解析】
【分析】(1)设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点向左平移4个单位，得，把该点的坐标代入，即可求得k的值；
(2)由可得，再由，得，可得反比例函数的图象向右平移4个单位得到的时间，再由，即可判定．
【小问1详解】
解：设该二次函数的解析式为，
把点代入，得，解得：
∴所求二次函数的解析式为
把点向左平移4个单位，得，
代入得：；
【小问2详解】
解：超过20分钟，
理由如下：
由解得：，（舍去），
由，解得：，
，
而，
所以“拥挤状态”持续的时间超过20分钟．
【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，图象的平移，求出函数解析式是关键.
六、（本题满分12分）
21. 居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）．
（1）求散热架底边AC的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用计算即可；
（2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解；
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
答：AC的长约为；
【小问2详解】
过点B作交的延长线于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
因为
所以显示屏顶部比原来升高了约．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照明灯．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，请通过计算说明高度不超过米的车辆能否安全通过该隧道？
【答案】（1）
（2）能安全通过
【解析】
【分析】(1)设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解；
(2)令，求得y的值，再与比较，即可解答．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，，
∴可以设抛物线的解析式为，
把点代入，可得，
∴抛物线的解析式为
即；
【小问2详解】
解：，
根据对称性，令，得﹒
，
高度不超过米的车辆能安全通过该隧道．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
八、（本题满分14分）
23. 如图，正方形中，E、F分别是边、上的点，、分别交于点G、H，连接，恰好有．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）直接写出的值；
（4）图中能够证明的相似三角形（不连接其它线段，包括全等三角形）共有（ ）
A．4对 B．6对 C．11对 D．16对
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） （4）D
【解析】
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质确定点M、B、E在同一条直线上，再由全等三角形的判定和性质得出，利用等量代换求解即可；
（2）由（1）知，利用三角形内角和定理及等量代换得出，再由相似三角形的判定证明即可；
（3）连接交于点O，根据正方形的性质及（1）（2）中结果求解即可；
（4）同（2）中证明方法一致找出相似三角形即可．
【小问1详解】
证明：将绕点A顺时针旋转得到．如图所示：
由旋转可得，．
∴．
∴点M、B、E在同一条直线上．
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
连接交于点O，如图所示：
∴，为边上的高，
由（1）得且，为边上的高且与的边上的高相等，
∵正方形，
∴，
由（2）得，
∴；
【小问4详解】
同（2）中证明方法一致可得：
，两两相似共15对，
另外，合计16对．
故选：D．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．