《新高考数学大二轮复习课件》专题一第2讲基本初等函数、函数与方程

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这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题一第2讲基本初等函数、函数与方程，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，考点二函数的零点，专题强化练等内容，欢迎下载使用。

KAO QING FEN XI
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.
考点一　基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况.
例1　(1)(2021·茂名水东中学模拟)函数f(x)＝ax与函数g(x)＝　　在同一坐标系中的图象可能是
再由g(1)＝0可排除选项A.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
解析　设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)0，所以A正确，B不正确；因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
跟踪演练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝lg52，b＝lg83，c＝，则下列判断正确的是A.cA.(0,1) B.(1,3)C.(0,1)∪(3，＋∞) D.(0,1)∪(1,3)
解析　y＝lgax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝lga(－x)，函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y＝lga(－x)与y＝|x＋2|，－3≤x≤0的图象有且仅有一个交点.当01时，只需lga3>1，∴1判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1　函数零点的判断
例2　(2021·沧州联考)已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg5|x|的零点个数是A.2 　　　B.4　　　 C.6 　　　 D.8
解析　当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数f(x)的图象.函数y＝lg5|x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝lg5|x|>1，此时两函数图象无交点，如图，
又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知它们在x<0上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－lg5|x|的零点个数为8.
考向2　求参数的值或范围
解析　函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，
从而可得f(x)的图象如图所示，
通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，则b∈(0,1].
利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
A.2 　　　B.4 　　　C.6 　　　D.8
画出两个函数的图象，如图所示.
即f(x)有8个零点，且关于直线x＝1对称，故所有零点的和为4×2＝8.
考点三　函数模型及其应用
解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.
例4　(1)(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天
解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
由题意知，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，即　　　　　，
所以　　　　即0.38(t2－t1)＝ln 2，
(2)(2021·阜阳模拟)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使
石片的速率低于7.84 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.7≈－0.357，ln 0.93≈－0.073)A.4 　　　 B.5　　　 C.6 　　　D.7
解析　设石片第n次“打水漂”时的速率为Vn，则Vn＝11.2×0.93n－1.由11.2×0.93n－1<7.84，得0.93n－1<0.7，则(n－1)ln 0.93故至少需要“打水漂”的次数为6.
(1)构建函数模型解决实际问题的失分点①不能选择相应变量得到函数模型.②构建的函数模型有误.③忽视函数模型中变量的实际意义.(2)解决新概念信息题的关键①仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析.②有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
跟踪演练3　(1)(2021·济南质检)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(其中k为常数).现有52 ℃的物体放在12 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是32 ℃.则再经过4 min该物体的温度可冷却到A.12 ℃ 　　B.14.5 ℃ 　　C.17 ℃ 　　D.22 ℃
则再经过4 min该物体的温度可冷却到
(2)(2021·武汉模拟)物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间，飞机起飞时的音量约为120 dB，则120 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的A.3倍　　B.103倍　　C.106倍　　 D.108倍
I1＝I0·1012，I2＝I0·104，
解析　设幂函数f(x)＝xα，则4α＝3×2α，解得α＝lg23，所以f(x)＝　　，
2.(2021·潍坊模拟)在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在以下四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是A.y＝a＋bx B.y＝a＋C.y＝a＋lgbx D.y＝a＋bx
解析　作出散点图(图略)，由图知其图象与指数函数图象相似，故选D.
4.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%. 经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋　 (λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln 3≈1.1)A.10分钟 B.14分钟C.15分钟 D.20分钟
解析　由题意知，当t＝0时，y＝0.2，所以0.05＋λe0＝0.2，λ＝0.15.
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.
解析　令u(x)＝x2－ax＋1，∵函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，∴15.若函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是A.1解析　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示.g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，
当t＝3时，g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点.
7.(2020·全国Ⅰ)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则A.a>2b 　　B.a<2b 　　 C.a>b2 　　D.a解析　由指数和对数的运算性质可得2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b.令f(x)＝2x＋lg2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋lg2b<22b＋lg2b＋1＝22b＋lg22b，∴2a＋lg2a<22b＋lg22b，即f(a)解析　因为方程f(x)－ax＝0有4个不同的实数根，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax有4个交点，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，且当x→0＋时，f(x)→＋∞，则函数f(x)的图象如图，当x≤0时，f(x)＝x2＋4x，f′(x)＝2x＋4，
所以f(x)在(0,0)处的切线l1的斜率k1＝f′(0)＝4；
设f(x)过原点的切线l2的切点为　　　，
9.已知函数f(x)＝ex－x－2，则下列区间中含f(x)零点的是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
解析　∵f(－2)＝e－2＋2－2＝e－2>0，f(－1)＝e－1＋1－2＝e－1－1<0，f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(1)＝e1－1－2＝e－3<0，f(2)＝e2－2－2＝e2－4>0，根据零点的存在性定理可知(－2，－1)和(1,2)存在零点.
10.(2021·潍坊模拟)已知2 020a＝2 021,2 021b＝2 020，c＝ln 2，则下列结论正确的是A.lgaclgcbC.ac解析　2 020a＝2 021，∴a∈(1,2)，2 021b＝2 020，∴b∈(0,1)，c＝ln 2，∴c∈(0,1)，∴lgac<0，lgbc>0，∴A正确；又y＝lgcx为减函数，且a>b，∴lgcab，∴ac>bc，∴C不正确；y＝cx在R上单调递减，且a>b，∴ca图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间可以是A.9：40　　B.9：30 　　C.9：20 　　D.9：10
11.(2021·北京市丰台区模拟)为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝　　　　　　 (a为常数)，函数
解析　根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或　　　≤0.25，解得012.(2021·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是A.f(x)＝2x＋x B.g(x)＝x2－x－3C.f(x)＝　＋1 D.f(x)＝|lg2x|－1
解析　选项A，若f(x0)＝x0，则　＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|lg2x0|－1＝x0，即|lg2x0|＝x0＋1，
作出y＝|lg2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|lg2x|＝x＋1有实数根x0，即|lg2x0|＝x0＋1，故D中函数是“不动点”函数.
13.若函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝3x，当x<0时，f(x)＝f(x＋1)，则＝_____.
14.(2021·大连模拟)近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国.某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为_____.(参考数据：lg 2≈0.301)
解析　设废水中最原始的该重金属含量为a，
所以x取最小整数为14.
15.已知函数f(x)＝|ln x|，实数m，n满足0解析　由题意以及函数f(x)＝|ln x|的性质可得－ln m＝ln n，
因为函数f(x)＝|ln x|在(0,1)上单调递减，所以f(m2)>f(m)＝f(n)，
16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点.
所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，