山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题

这是一份山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，若有且仅有1个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“方程有正实数根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A．6B．C．D．
4．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．60B．80
C．－84D．120
5．2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
6．已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.4
7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7
B．经验回归方程为时，变量x和y负相关
C．对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立
D．若，则取最大值时
11．等差数列的前项和记为，若，则成立的是（ ）
A．
B．的最大值是
C．
D．当时，最大值为
12．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
三、填空题
13．若命题“”是假命题，则实数的最大值为 ．
14．已知正实数m，n满足，则的最小值为 ．
15．已知数列满足，，，则数列的前30项和为 .
16．已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数 ．
四、解答题
17．设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：，其中，
19．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
20．已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
21．已知函数，.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)当时，，记函数在上的最大值为，证明：．
22．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
6
女生
10
合计
48
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】用列举法表示集合，由题设条件可得，分析即得解
【详解】由题意，
由有且仅有1个元素，可知，可得
故选：C
2．B
【分析】根据零点的几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，
由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，
则，解得，
故选：B.
3．D
【分析】求导，令，即可得出答案.
【详解】
，解得
故选：D
【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题.
4．D
【分析】先求出每部分含的系数，再利用组合数求解即可.
【详解】由于的展开式中的系数是，
而.
故选：D.
5．B
【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.
【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
6．C
【分析】利用平均数公式及其方差公式求解.
【详解】设增加的数为，原来的9个数分别为，
则，，
所以，
又因为，即，
所以，
故选：C.
7．C
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
8．C
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得.
【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，
又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以，
所以关于直线对称，且在单调递增．
所以，
两边平方，化简得，解得．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.
9．BD
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10．BC
【分析】根据方差的性质可判断A；根据变量x，y的线性回归方程的系数，可判断B；利用条件概率及独立事件的定义可判断C；根据二项分布概率公式可判断D.
【详解】对于A，数据，，…，的方差为，所以A错误；
对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；
对于C，由，得，所以事件A与事件B独立，所以C正确；
对于D，由，即，
解得或，所以D错误．
故选：BC．
11．BC
【分析】根据已知条件求得的关系式，再根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
，A选项错误.
所以，C选项正确.
所以的最大值是，B选项正确.
由于时，，是单调递减数列，
所以当时，没有最大值，D选项错误.
故选：BC
12．ABD
【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的.
13．
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
14．17
【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故答案为：17
15．465
【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前30项和.
【详解】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
16．1
【分析】设函数，的公共点为，则，代入化简即可求得，令，易得在上单调递增，即可求出，进而求得实数的值.
【详解】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．
故答案为：1.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据以及，即可求解数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.
【详解】（1），①
当时，，②
①-②得，∴，∴，
∵，∴，∴也满足上式，
∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴.
即的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
令，①
得，②
①-②得，
所以.
18．(1)答案见解析；
(2)认为喜爱打篮球与性别有关；
(3)分布列见解析，1.
【分析】（1）求出喜欢打篮球的学生人数，完善2×2列联表.
（2）求出的观测值，再与临界值比对作答.
（3）求出的可能值，求出每个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【详解】（1）依题意，喜欢打篮球的学生人数为，
完善列联表如下：
（2）零假设：喜爱打篮球与性别无关，
由（1）得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以认为喜爱打篮球与性别有关.
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，
则，
所以的分布列为
的数学期望.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.
【详解】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得，
∵，∴，当时，，
∴（舍）或，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，∴，即．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，，，再令，求导可得存在，使得，进而得出的单调性，从而根据代入化简可得，再构造函数证明即可.
【详解】（1），，又，
故在点处的切线斜率为，切线方程为：
（2）证明：当时，，
则，
当时，，令，
则，故在上单调递增.
∵，，
故存在，使得，即，即，
故当时，，此时，
当时，，此时，
即在上单调递增，在上单调递减，则
.
令，，则，
故在上单调递增，则，故.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用隐零点法得，再计算，最后再设新函数，，得到的单调性即可证明原不等式.
22．(1)分布列见解析，
(2)11轮
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由，，，得，
则，因此，
令，，于是当时，．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得．
而，则，所以理论上至少要进行11轮答题．
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
0
1
2
0
1
2
3