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2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷，共29页。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一次函数y＝3x+5的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学平均成绩及其方差x2 如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
x2
1.2
1.3
1
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
8．（3分）5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A．中位数是2，平均数是3.75
B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8
D．众数是2，平均数是3.8
9．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置.
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数y＝3x+2的图象与y轴的交点坐标是 ．
13．（3分）正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于点P，点P的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 ．
14．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天指数数据如下：61，75，81，56，81，91，92，91，75，81．则该组数据的中位数是 ．
15．（3分）小明按照书上的指导，在《几何画板》中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，通过观察此函数图象，小明推理出了如下结论：
①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②当x＝0时，y有最大值0；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值与最小值的差为20．上述结论正确的有 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE，已知AB＝14，AD＝13，BD＝15，设BE＝x，当点A'落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围 ．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）（2）（2）．
18．（8分）如图，直线y＝x+1与直线y＝﹣2x﹣b交于点P（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为 ．
19．（8分）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别
使用寿命x/h
组中值
频数
A
600≤x＜1000
800
5
B
1000≤x＜1400
m
10
C
1400≤x＜1800
1600
n
D
1800≤x＜2200
2000
17
E
2200≤x＜2600
2400
6
根据图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，则菱形OCED的面积为 ．
21．（8分）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，D为格点；
（2）在AD边上画一点E，使得∠CBE＝45°；
（3）找到格点F，画出直线EF，使得EF平分平行四边形ABCD的面积．
22．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，每台A型电脑的利润为400元，每台B型电脑的利润为500元．该商店计划一次性购买两种型号的电脑共100台，且B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，电脑厂家对A型电脑的出厂价下调m（0＜m＜200）元，B型电脑的出厂价不变，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，怎样进货可使销售完100台电脑的总利润最大？
23．（10分）正方形ABCD的边长为4．
（1）如图1，点E在AB上，连接DE，作AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
①求证：DF＝CG；
②如图2，对角线AC，BD交于点O，连接OF，若AE＝3，求OF的长；
（2）如图3，点K在CB的延长线上，BK＝2，点N在BC的延长线上，CN＝4，点P在BC上，连接AP，在AP的右侧作PQ⊥AP，PQ＝AP，连接KQ．点P从点B沿BN方向运动，当点P运动到BC中点时，设KQ的中点为M1，当点P运动到N点时，设KQ的中点为M2，直接写出M1M2的长为 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，且S△ABC＝．
（1）直接写出点C的坐标为 ，直线BC的解析式为 ；
（2）设点D（﹣1，m）在直线AB上，点E在y轴上，连接DE，以DE为边向DE右侧作正方形DEFG．
①在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，求点E的坐标；
②点E从B点运动到O点的过程中，正方形DEFG的对角线交点T运动的路径长为 ．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意；
B．＝3，故此选项不合题意；
C．＝，故此选项不合题意；
D．＝3，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
3．（3分）一次函数y＝3x+5的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函数的性质求解．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝5＞0，
∴一次函数y＝3x+5的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b）．
4．（3分）某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学平均成绩及其方差x2 如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
x2
1.2
1.3
1
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩以及方差分别分析，综合两个方面得出答案．
【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得丙的成绩比乙稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择丙，
故选：C．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝6×3＝18，故C符合题意．
D、原式＝＝3，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
6．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】利用勾股定理计算可得结论．
【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A．中位数是2，平均数是3.75
B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8
D．众数是2，平均数是3.8
【分析】分别确定中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【解答】解：户外运动4小时的最多，有2人，
所以众数为4小时，
共5名同学，排序后位于第3个的同学户外运动4小时，
所以中位数为4小时，
平均数为＝3.8小时，
故选：C．
【点评】考查了统计的知识，解题的关键是了解众数、中位数及平均数的定义，难度不大．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据k的符号，然后根据此符号和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过二、三、四象限，
当k＜0时，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过一、二、三象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝22.5°．
∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，
∴AE＝CE＝BE＝AB．
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝DE．
设CD＝DE＝x，则CE＝，
∴AE＝x，
∴AD＝AE+DE＝（+1）x，
∴＝+1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置.
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12．（3分）函数y＝3x+2的图象与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】把x＝0代入解析式求得即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝3x+2＝2，
所以图象与y轴的交点坐标（0，2）．
故答案是：（0，2）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
13．（3分）正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于点P，点P的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 y＝x ．
【分析】先求出交点P坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【解答】解：将点P横坐标2代入y＝﹣x+1，
得y＝﹣2+1＝﹣1，
∴点P（2，﹣1），
将点P坐标代入y＝kx，
得2k＝﹣1，
解得k＝﹣，
∴正比例函数解析式：y＝﹣x，
故答案为：y＝﹣x．
【点评】本题考查了一次函数交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
14．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天指数数据如下：61，75，81，56，81，91，92，91，75，81．则该组数据的中位数是 81 ．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解可得．
【解答】解：10天指数数据从小到大排列为56，61，75，75，81，81，81，91，91，92，
∴这组统计数据的中位数是（81+81）÷2＝81，
故答案为：81．
【点评】本题考查了中位数，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
15．（3分）小明按照书上的指导，在《几何画板》中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，通过观察此函数图象，小明推理出了如下结论：
①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②当x＝0时，y有最大值0；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值与最小值的差为20．上述结论正确的有 ①③④ ．
【分析】根据函数图象可以判断该函数的性质．
【解答】解：由函数图象可知，
①当x＜0时，y随x的增大而增大，正确；
②当x＜2时，y有最大值0，错误；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点，正确；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值为16，最小值为﹣4，它们的差为20，正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE，已知AB＝14，AD＝13，BD＝15，设BE＝x，当点A'落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围 1≤x≤2﹣5 ．
【分析】如图1中，当点A′落在CE上时，过点D作DH⊥AE于点H，DJ⊥CE于点J．求出BE的长，如图2中，当点A′落在CD上时，四边形ADA′E是菱形，求出BE的长，可得结论．
【解答】解：如图1中，当点A′落在CE上时，过点D作DH⊥AE于点H，DJ⊥CE于点J．
设AH＝x，
∵132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴DH＝＝＝12，
由翻折的性质可知，∠DEH＝∠DEJ，
∵DH⊥AE，DJ⊥CE，
在△EDH和△EDJ中，
，
∴△DHE≌△DJE（AAS），
∴DH＝DJ＝12，EH＝BH，
∴CJ＝＝＝2，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝14，
∴EJ＝EH＝14﹣2，
∴EB＝AB﹣AH﹣EH＝14﹣5﹣（14﹣2）＝2﹣5．
如图2中，当点A′落在CD上时，四边形ADA′E是菱形，此时AE＝AD＝13，BE＝14﹣13＝1，
观察图象可知，满足条件的BE的值为：1≤BE≤2﹣5．
故答案为：1≤x≤2﹣5．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是性质寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）（2）（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）﹣+
＝3﹣4+
＝0；
（2）（2）（2）
＝12﹣6
＝6．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，直线y＝x+1与直线y＝﹣2x﹣b交于点P（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为 x＞1 ．
【分析】（1）先将点P坐标代入y＝x+1，求出a的值，从而求出点P坐标，再待定系数法求解析式即可求出b的值；
（2）根据二元一次方程组与一次函数的关系即可确定；
（3）根据图象即可确定不等式的解集．
【解答】解：（1）将点P（1，a）代入y＝x+1，
得a＝2，
∴点P（1，2），
将点P坐标代入y＝﹣2x﹣b，
得﹣2﹣b＝2，
解得b＝﹣4，
∴a＝2，b＝﹣4；
（2）根据题意可知，方程组的解为，
故答案为：；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
19．（8分）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别
使用寿命x/h
组中值
频数
A
600≤x＜1000
800
5
B
1000≤x＜1400
m
10
C
1400≤x＜1800
1600
n
D
1800≤x＜2200
2000
17
E
2200≤x＜2600
2400
6
根据图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 1200 ，n＝ 12 ；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
【分析】（1）先根据抽查了50只灯泡求出n，再根据组中值可得m的值；
（2）根据组中值和各组频数，利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【解答】解：（1）n＝50﹣（5+10+17+6）＝12，
则m＝1200，
故答案为：1200，12；
（2）（800×5+1200×10+1600×12+2000×17+2400×6）÷50＝1672（h），
答：这批灯泡的平均使用寿命是1672h；
（3）30000×＝13800（只），
答：这批总数为3万只的灯泡里面有13800只灯泡属于“超出照明灯泡”．
【点评】此题考查了加权平均数，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，则菱形OCED的面积为 24 ．
【分析】（1）根据矩形性质可得：OC＝OD，再证明四边形OCED是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论；
（2）方法一：先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCD＝S矩形ABCD＝×48＝12，再由菱形性质可得菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×12＝24；
方法二：如图，连接OE交DC于点F，利用勾股定理求得BD＝10，再由矩形性质可得OD＝5，利用菱形性质可得：CD⊥OE，DF＝CD＝3，OF＝OE，利用勾股定理和菱形性质求得OE＝8，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝6×8＝48，
∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×48＝12，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×12＝24；
方法二：如图，连接OE交DC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，CD＝AB＝6，
∴BD＝＝＝10，
∴OD＝5，
∵四边形OCED是菱形，
∴CD⊥OE，DF＝CD＝3，OF＝OE，
在Rt△OFD中，OF＝＝＝4，
∴OE＝8，
∴菱形OCED的面积＝CD•OE＝×6×8＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，勾股定理等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．
21．（8分）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，D为格点；
（2）在AD边上画一点E，使得∠CBE＝45°；
（3）找到格点F，画出直线EF，使得EF平分平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）取格点T，连接BT交AD于点E，构造等腰直角三角形解决问题即可；
（3）连接BD交AC于点F，作直线EF即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，点E即为所求；
（3）如图，直线EF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，中心对称等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，每台A型电脑的利润为400元，每台B型电脑的利润为500元．该商店计划一次性购买两种型号的电脑共100台，且B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，电脑厂家对A型电脑的出厂价下调m（0＜m＜200）元，B型电脑的出厂价不变，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，怎样进货可使销售完100台电脑的总利润最大？
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400+m）x+500（100﹣x），即y＝（m﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜m＜100时，y随x的增大而减小，②m＝100时，y＝50000，③当100＜m＜200时，m﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+m）x+500（100﹣x），即y＝（m﹣100）x+50000，
33≤x≤60，
①当0＜m＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝100时，m﹣100＝0，y＝50000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
23．（10分）正方形ABCD的边长为4．
（1）如图1，点E在AB上，连接DE，作AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
①求证：DF＝CG；
②如图2，对角线AC，BD交于点O，连接OF，若AE＝3，求OF的长；
（2）如图3，点K在CB的延长线上，BK＝2，点N在BC的延长线上，CN＝4，点P在BC上，连接AP，在AP的右侧作PQ⊥AP，PQ＝AP，连接KQ．点P从点B沿BN方向运动，当点P运动到BC中点时，设KQ的中点为M1，当点P运动到N点时，设KQ的中点为M2，直接写出M1M2的长为 3 ．
【分析】（1）①由正方形性质可得：AD＝CD，∠ADF+∠CDG＝90°，由垂直定义可得进而得出∠AFD＝∠DGC＝90°，进而可得∠ADF＝∠DCG，利用AAS证得△ADF≌△DCG，即可证得结论；
②如图2，延长DE至H，使FH＝DF，过点H作HK⊥AB于点K，连接AH，BH，利用勾股定理可得DE＝5，运用面积法可得AF＝，进而求得DF＝，EH＝，设BK＝x，则EK＝1﹣x，AK＝4﹣x，运用勾股定理建立方程求解即可得出：BK＝，AK＝，BH＝，再运用三角形中位线定理即可求得答案；
（2）如图3，过点Q1作Q1T⊥KN于点T，过点Q2作Q2L⊥KN于点L，过点M2作M2H⊥KN于点H，过点M1作M1R⊥M2H于点R，连接M1P1，先证明△AP1B≌△P1Q1T（AAS），利用三角形中位线定理及勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADF+∠CDG＝90°，
∵AF⊥DE，CG⊥DE，
∴∠AFD＝∠DGC＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∴∠ADF＝∠DCG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（AAS），
∴DF＝CG；
②解：如图2，延长DE至H，使FH＝DF，过点H作HK⊥AB于点K，连接AH，BH，
∵正方形ABCD的边长为4，AE＝3，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，OB＝OD，BE＝1，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝5，
∵AF⊥DE于点F，
∴DE•AF＝AD•AE，即5AF＝4×3，
∴AF＝，
∵DF＝FH，AF⊥DE，
∴AH＝AD＝4，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
∴DH＝2DF＝，
∴EH＝DH﹣DE＝﹣5＝，
设BK＝x，则EK＝1﹣x，AK＝4﹣x，
在Rt△EHK中，HK2＝EH2﹣EK2，
在Rt△AHK中，HK2＝AH2﹣AK2，
∴EH2﹣EK2＝AH2﹣AK2，
∴（）2﹣（1﹣x）2＝42﹣（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴BK＝，AK＝4﹣＝，
∴HK2＝42﹣（）2＝（）2，
∴BH＝＝＝，
∵OF是△DBH的中位线，
∴OF＝BH＝×＝，
（2）解：∵BK＝2，CN＝4，
∴KN＝10，
如图3，过点Q1作Q1T⊥KN于点T，过点Q2作Q2L⊥KN于点L，过点M2作M2H⊥KN于点H，过点M1作M1R⊥M2H于点R，连接M1P1，
当点P1为BC的中点时，BP1＝BC＝2，
∵∠ABP1＝∠P1TQ1＝90°，
∴∠AP1B+∠BAP1＝90°，
∵P1Q1⊥AP1，P1Q1＝AP1，
∴∠AP1B+∠Q1P1T＝90°，
∴∠BAP1＝∠Q1P1T，
∴△AP1B≌△P1Q1T（AAS），
∴P1T＝AB＝4，Q1T＝BP1＝2，
∴KP1＝P1T＝4，
∵KQ的中点为M1，
∴P1M1是△KQ1T的中位线，
∴P1M1＝Q1T＝1，P1M1∥Q1T，
∴P1M1⊥KN，
同理可得：M2H＝4，KH＝7，
∴P1H＝KH﹣KP1＝7﹣4＝3，
∴∠M1P1H＝∠P1HR＝∠MRH＝90°，
∴四边形M1P1HR是矩形，
∴M1R＝P1H＝3，RH＝P1M1＝1，
∴M2R＝M2H﹣RH＝4﹣1＝3，
在Rt△M1M2R中，M1M2＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识与方法，本题综合性较强，难度较大，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，且S△ABC＝．
（1）直接写出点C的坐标为 C（4，0） ，直线BC的解析式为 y＝﹣x+6 ；
（2）设点D（﹣1，m）在直线AB上，点E在y轴上，连接DE，以DE为边向DE右侧作正方形DEFG．
①在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，求点E的坐标；
②点E从B点运动到O点的过程中，正方形DEFG的对角线交点T运动的路径长为 3 ．
【分析】（1）根据S△ABC＝，可得点C的坐标，利用待定系数法求出BC的解析式即可；
（2）①分点E在D的下方或上方两种情形，分别构造全等三角形表示出点F的坐标，从而解决问题；
②当点E在D的上方时，设E（0，t），则F（t﹣2，t﹣1），利用中点坐标公式得出DF的中点T（），则点T在直线y＝x+2上运动，求出起点和终点时的t值，从而得出答案，当点E在D的下方时，同理可得．
【解答】解：（1）在y＝4x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝﹣，
∴A（﹣，0），B（0，6），
∵S△ABC＝，
∴AC•OB＝，即×AC×6＝，
∴AC＝，
∵点C是x轴正半轴上一点，
∴C（4，0）；
设BC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴BC解析式为y＝﹣x+6；
故答案为：（4，0），y＝﹣x+6；
（2）①当点E在D的下方时，过D作DM∥y轴，过E作EM∥x轴交DM于M，过F作FN⊥EM交直线EM于N，如图：
∵D（﹣1，m）在直线y＝4x+6上，
∴m＝﹣4+6＝2，
∴D（﹣1，2），
设E（0，t），则DM＝2﹣t，ME＝1，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝FE，∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝90°﹣∠FEN＝∠EFN，
∵∠M＝∠N＝90°，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴EN＝DM＝2﹣t，FN＝ME＝1，
∴F（2﹣t，t+1），
把F（2﹣t，t+1）代入y＝﹣x+6得：
t+1＝﹣（2﹣t）+6，
解得t＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
当点E在D的上方时，同理可得F（t﹣2，t﹣1），
则E（0，4），
综上：E（0，﹣4）或（0，4）；
②由①知，当点E在D的上方时，设E（0，t），则F（t﹣2，t﹣1），
∴DF的中点T（），
∴点T在直线y＝x+2上运动，
当点E与B重合时，t＝6，
∴T（），
当点E运动到（0，2）时，t＝2，
∴T（﹣，），
∴点T经过的路径长为2，
当点E在D的下方时，F（2﹣t，t+1），
则T（），
∴点T在直线y＝﹣x+2上运动，
同理可得，点T的运动路径为，
综上：点T的运动路径为2+＝3，
故答案为：3．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，表示出点F的坐标是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
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2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一次函数y＝3x+5的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学平均成绩及其方差x2 如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
x2
1.2
1.3
1
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
8．（3分）5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A．中位数是2，平均数是3.75
B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8
D．众数是2，平均数是3.8
9．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置.
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数y＝3x+2的图象与y轴的交点坐标是 ．
13．（3分）正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于点P，点P的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 ．
14．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天指数数据如下：61，75，81，56，81，91，92，91，75，81．则该组数据的中位数是 ．
15．（3分）小明按照书上的指导，在《几何画板》中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，通过观察此函数图象，小明推理出了如下结论：
①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②当x＝0时，y有最大值0；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值与最小值的差为20．上述结论正确的有 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE，已知AB＝14，AD＝13，BD＝15，设BE＝x，当点A'落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围 ．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）（2）（2）．
18．（8分）如图，直线y＝x+1与直线y＝﹣2x﹣b交于点P（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为 ．
19．（8分）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别
使用寿命x/h
组中值
频数
A
600≤x＜1000
800
5
B
1000≤x＜1400
m
10
C
1400≤x＜1800
1600
n
D
1800≤x＜2200
2000
17
E
2200≤x＜2600
2400
6
根据图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，则菱形OCED的面积为 ．
21．（8分）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，D为格点；
（2）在AD边上画一点E，使得∠CBE＝45°；
（3）找到格点F，画出直线EF，使得EF平分平行四边形ABCD的面积．
22．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，每台A型电脑的利润为400元，每台B型电脑的利润为500元．该商店计划一次性购买两种型号的电脑共100台，且B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，电脑厂家对A型电脑的出厂价下调m（0＜m＜200）元，B型电脑的出厂价不变，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，怎样进货可使销售完100台电脑的总利润最大？
23．（10分）正方形ABCD的边长为4．
（1）如图1，点E在AB上，连接DE，作AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
①求证：DF＝CG；
②如图2，对角线AC，BD交于点O，连接OF，若AE＝3，求OF的长；
（2）如图3，点K在CB的延长线上，BK＝2，点N在BC的延长线上，CN＝4，点P在BC上，连接AP，在AP的右侧作PQ⊥AP，PQ＝AP，连接KQ．点P从点B沿BN方向运动，当点P运动到BC中点时，设KQ的中点为M1，当点P运动到N点时，设KQ的中点为M2，直接写出M1M2的长为 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，且S△ABC＝．
（1）直接写出点C的坐标为 ，直线BC的解析式为 ；
（2）设点D（﹣1，m）在直线AB上，点E在y轴上，连接DE，以DE为边向DE右侧作正方形DEFG．
①在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，求点E的坐标；
②点E从B点运动到O点的过程中，正方形DEFG的对角线交点T运动的路径长为 ．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意；
B．＝3，故此选项不合题意；
C．＝，故此选项不合题意；
D．＝3，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
3．（3分）一次函数y＝3x+5的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函数的性质求解．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝5＞0，
∴一次函数y＝3x+5的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b）．
4．（3分）某校要从四名选手中选取一名同学代表学校参加武汉市“小小外交家”比赛，四名同学平均成绩及其方差x2 如表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
x2
1.2
1.3
1
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩以及方差分别分析，综合两个方面得出答案．
【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得丙的成绩比乙稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择丙，
故选：C．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝6×3＝18，故C符合题意．
D、原式＝＝3，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
6．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】利用勾股定理计算可得结论．
【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A．中位数是2，平均数是3.75
B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8
D．众数是2，平均数是3.8
【分析】分别确定中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【解答】解：户外运动4小时的最多，有2人，
所以众数为4小时，
共5名同学，排序后位于第3个的同学户外运动4小时，
所以中位数为4小时，
平均数为＝3.8小时，
故选：C．
【点评】考查了统计的知识，解题的关键是了解众数、中位数及平均数的定义，难度不大．
9．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据k的符号，然后根据此符号和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过二、三、四象限，
当k＜0时，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过一、二、三象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝22.5°．
∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，
∴AE＝CE＝BE＝AB．
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝DE．
设CD＝DE＝x，则CE＝，
∴AE＝x，
∴AD＝AE+DE＝（+1）x，
∴＝+1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置.
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12．（3分）函数y＝3x+2的图象与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】把x＝0代入解析式求得即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝3x+2＝2，
所以图象与y轴的交点坐标（0，2）．
故答案是：（0，2）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
13．（3分）正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于点P，点P的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 y＝x ．
【分析】先求出交点P坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【解答】解：将点P横坐标2代入y＝﹣x+1，
得y＝﹣2+1＝﹣1，
∴点P（2，﹣1），
将点P坐标代入y＝kx，
得2k＝﹣1，
解得k＝﹣，
∴正比例函数解析式：y＝﹣x，
故答案为：y＝﹣x．
【点评】本题考查了一次函数交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
14．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天指数数据如下：61，75，81，56，81，91，92，91，75，81．则该组数据的中位数是 81 ．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解可得．
【解答】解：10天指数数据从小到大排列为56，61，75，75，81，81，81，91，91，92，
∴这组统计数据的中位数是（81+81）÷2＝81，
故答案为：81．
【点评】本题考查了中位数，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
15．（3分）小明按照书上的指导，在《几何画板》中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，通过观察此函数图象，小明推理出了如下结论：
①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②当x＝0时，y有最大值0；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值与最小值的差为20．上述结论正确的有 ①③④ ．
【分析】根据函数图象可以判断该函数的性质．
【解答】解：由函数图象可知，
①当x＜0时，y随x的增大而增大，正确；
②当x＜2时，y有最大值0，错误；
③函数y＝x2（x﹣3）与任意正比例函数一定有交点，正确；
④﹣1≤x≤4时，函数y＝x2（x﹣3）的最大值为16，最小值为﹣4，它们的差为20，正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE，已知AB＝14，AD＝13，BD＝15，设BE＝x，当点A'落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围 1≤x≤2﹣5 ．
【分析】如图1中，当点A′落在CE上时，过点D作DH⊥AE于点H，DJ⊥CE于点J．求出BE的长，如图2中，当点A′落在CD上时，四边形ADA′E是菱形，求出BE的长，可得结论．
【解答】解：如图1中，当点A′落在CE上时，过点D作DH⊥AE于点H，DJ⊥CE于点J．
设AH＝x，
∵132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴DH＝＝＝12，
由翻折的性质可知，∠DEH＝∠DEJ，
∵DH⊥AE，DJ⊥CE，
在△EDH和△EDJ中，
，
∴△DHE≌△DJE（AAS），
∴DH＝DJ＝12，EH＝BH，
∴CJ＝＝＝2，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝14，
∴EJ＝EH＝14﹣2，
∴EB＝AB﹣AH﹣EH＝14﹣5﹣（14﹣2）＝2﹣5．
如图2中，当点A′落在CD上时，四边形ADA′E是菱形，此时AE＝AD＝13，BE＝14﹣13＝1，
观察图象可知，满足条件的BE的值为：1≤BE≤2﹣5．
故答案为：1≤x≤2﹣5．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是性质寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）（2）（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）﹣+
＝3﹣4+
＝0；
（2）（2）（2）
＝12﹣6
＝6．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，直线y＝x+1与直线y＝﹣2x﹣b交于点P（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为 x＞1 ．
【分析】（1）先将点P坐标代入y＝x+1，求出a的值，从而求出点P坐标，再待定系数法求解析式即可求出b的值；
（2）根据二元一次方程组与一次函数的关系即可确定；
（3）根据图象即可确定不等式的解集．
【解答】解：（1）将点P（1，a）代入y＝x+1，
得a＝2，
∴点P（1，2），
将点P坐标代入y＝﹣2x﹣b，
得﹣2﹣b＝2，
解得b＝﹣4，
∴a＝2，b＝﹣4；
（2）根据题意可知，方程组的解为，
故答案为：；
（3）根据图象可得不等式x+1＞﹣2x﹣b的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
19．（8分）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别
使用寿命x/h
组中值
频数
A
600≤x＜1000
800
5
B
1000≤x＜1400
m
10
C
1400≤x＜1800
1600
n
D
1800≤x＜2200
2000
17
E
2200≤x＜2600
2400
6
根据图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 1200 ，n＝ 12 ；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
【分析】（1）先根据抽查了50只灯泡求出n，再根据组中值可得m的值；
（2）根据组中值和各组频数，利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【解答】解：（1）n＝50﹣（5+10+17+6）＝12，
则m＝1200，
故答案为：1200，12；
（2）（800×5+1200×10+1600×12+2000×17+2400×6）÷50＝1672（h），
答：这批灯泡的平均使用寿命是1672h；
（3）30000×＝13800（只），
答：这批总数为3万只的灯泡里面有13800只灯泡属于“超出照明灯泡”．
【点评】此题考查了加权平均数，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，则菱形OCED的面积为 24 ．
【分析】（1）根据矩形性质可得：OC＝OD，再证明四边形OCED是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论；
（2）方法一：先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCD＝S矩形ABCD＝×48＝12，再由菱形性质可得菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×12＝24；
方法二：如图，连接OE交DC于点F，利用勾股定理求得BD＝10，再由矩形性质可得OD＝5，利用菱形性质可得：CD⊥OE，DF＝CD＝3，OF＝OE，利用勾股定理和菱形性质求得OE＝8，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝6×8＝48，
∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×48＝12，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×12＝24；
方法二：如图，连接OE交DC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，CD＝AB＝6，
∴BD＝＝＝10，
∴OD＝5，
∵四边形OCED是菱形，
∴CD⊥OE，DF＝CD＝3，OF＝OE，
在Rt△OFD中，OF＝＝＝4，
∴OE＝8，
∴菱形OCED的面积＝CD•OE＝×6×8＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，勾股定理等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．
21．（8分）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，D为格点；
（2）在AD边上画一点E，使得∠CBE＝45°；
（3）找到格点F，画出直线EF，使得EF平分平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）取格点T，连接BT交AD于点E，构造等腰直角三角形解决问题即可；
（3）连接BD交AC于点F，作直线EF即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，点E即为所求；
（3）如图，直线EF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，中心对称等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，每台A型电脑的利润为400元，每台B型电脑的利润为500元．该商店计划一次性购买两种型号的电脑共100台，且B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，电脑厂家对A型电脑的出厂价下调m（0＜m＜200）元，B型电脑的出厂价不变，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，怎样进货可使销售完100台电脑的总利润最大？
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400+m）x+500（100﹣x），即y＝（m﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜m＜100时，y随x的增大而减小，②m＝100时，y＝50000，③当100＜m＜200时，m﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+m）x+500（100﹣x），即y＝（m﹣100）x+50000，
33≤x≤60，
①当0＜m＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝100时，m﹣100＝0，y＝50000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
23．（10分）正方形ABCD的边长为4．
（1）如图1，点E在AB上，连接DE，作AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
①求证：DF＝CG；
②如图2，对角线AC，BD交于点O，连接OF，若AE＝3，求OF的长；
（2）如图3，点K在CB的延长线上，BK＝2，点N在BC的延长线上，CN＝4，点P在BC上，连接AP，在AP的右侧作PQ⊥AP，PQ＝AP，连接KQ．点P从点B沿BN方向运动，当点P运动到BC中点时，设KQ的中点为M1，当点P运动到N点时，设KQ的中点为M2，直接写出M1M2的长为 3 ．
【分析】（1）①由正方形性质可得：AD＝CD，∠ADF+∠CDG＝90°，由垂直定义可得进而得出∠AFD＝∠DGC＝90°，进而可得∠ADF＝∠DCG，利用AAS证得△ADF≌△DCG，即可证得结论；
②如图2，延长DE至H，使FH＝DF，过点H作HK⊥AB于点K，连接AH，BH，利用勾股定理可得DE＝5，运用面积法可得AF＝，进而求得DF＝，EH＝，设BK＝x，则EK＝1﹣x，AK＝4﹣x，运用勾股定理建立方程求解即可得出：BK＝，AK＝，BH＝，再运用三角形中位线定理即可求得答案；
（2）如图3，过点Q1作Q1T⊥KN于点T，过点Q2作Q2L⊥KN于点L，过点M2作M2H⊥KN于点H，过点M1作M1R⊥M2H于点R，连接M1P1，先证明△AP1B≌△P1Q1T（AAS），利用三角形中位线定理及勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADF+∠CDG＝90°，
∵AF⊥DE，CG⊥DE，
∴∠AFD＝∠DGC＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∴∠ADF＝∠DCG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（AAS），
∴DF＝CG；
②解：如图2，延长DE至H，使FH＝DF，过点H作HK⊥AB于点K，连接AH，BH，
∵正方形ABCD的边长为4，AE＝3，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，OB＝OD，BE＝1，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝5，
∵AF⊥DE于点F，
∴DE•AF＝AD•AE，即5AF＝4×3，
∴AF＝，
∵DF＝FH，AF⊥DE，
∴AH＝AD＝4，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
∴DH＝2DF＝，
∴EH＝DH﹣DE＝﹣5＝，
设BK＝x，则EK＝1﹣x，AK＝4﹣x，
在Rt△EHK中，HK2＝EH2﹣EK2，
在Rt△AHK中，HK2＝AH2﹣AK2，
∴EH2﹣EK2＝AH2﹣AK2，
∴（）2﹣（1﹣x）2＝42﹣（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴BK＝，AK＝4﹣＝，
∴HK2＝42﹣（）2＝（）2，
∴BH＝＝＝，
∵OF是△DBH的中位线，
∴OF＝BH＝×＝，
（2）解：∵BK＝2，CN＝4，
∴KN＝10，
如图3，过点Q1作Q1T⊥KN于点T，过点Q2作Q2L⊥KN于点L，过点M2作M2H⊥KN于点H，过点M1作M1R⊥M2H于点R，连接M1P1，
当点P1为BC的中点时，BP1＝BC＝2，
∵∠ABP1＝∠P1TQ1＝90°，
∴∠AP1B+∠BAP1＝90°，
∵P1Q1⊥AP1，P1Q1＝AP1，
∴∠AP1B+∠Q1P1T＝90°，
∴∠BAP1＝∠Q1P1T，
∴△AP1B≌△P1Q1T（AAS），
∴P1T＝AB＝4，Q1T＝BP1＝2，
∴KP1＝P1T＝4，
∵KQ的中点为M1，
∴P1M1是△KQ1T的中位线，
∴P1M1＝Q1T＝1，P1M1∥Q1T，
∴P1M1⊥KN，
同理可得：M2H＝4，KH＝7，
∴P1H＝KH﹣KP1＝7﹣4＝3，
∴∠M1P1H＝∠P1HR＝∠MRH＝90°，
∴四边形M1P1HR是矩形，
∴M1R＝P1H＝3，RH＝P1M1＝1，
∴M2R＝M2H﹣RH＝4﹣1＝3，
在Rt△M1M2R中，M1M2＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识与方法，本题综合性较强，难度较大，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，且S△ABC＝．
（1）直接写出点C的坐标为 C（4，0） ，直线BC的解析式为 y＝﹣x+6 ；
（2）设点D（﹣1，m）在直线AB上，点E在y轴上，连接DE，以DE为边向DE右侧作正方形DEFG．
①在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，求点E的坐标；
②点E从B点运动到O点的过程中，正方形DEFG的对角线交点T运动的路径长为 3 ．
【分析】（1）根据S△ABC＝，可得点C的坐标，利用待定系数法求出BC的解析式即可；
（2）①分点E在D的下方或上方两种情形，分别构造全等三角形表示出点F的坐标，从而解决问题；
②当点E在D的上方时，设E（0，t），则F（t﹣2，t﹣1），利用中点坐标公式得出DF的中点T（），则点T在直线y＝x+2上运动，求出起点和终点时的t值，从而得出答案，当点E在D的下方时，同理可得．
【解答】解：（1）在y＝4x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝﹣，
∴A（﹣，0），B（0，6），
∵S△ABC＝，
∴AC•OB＝，即×AC×6＝，
∴AC＝，
∵点C是x轴正半轴上一点，
∴C（4，0）；
设BC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴BC解析式为y＝﹣x+6；
故答案为：（4，0），y＝﹣x+6；
（2）①当点E在D的下方时，过D作DM∥y轴，过E作EM∥x轴交DM于M，过F作FN⊥EM交直线EM于N，如图：
∵D（﹣1，m）在直线y＝4x+6上，
∴m＝﹣4+6＝2，
∴D（﹣1，2），
设E（0，t），则DM＝2﹣t，ME＝1，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝FE，∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝90°﹣∠FEN＝∠EFN，
∵∠M＝∠N＝90°，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴EN＝DM＝2﹣t，FN＝ME＝1，
∴F（2﹣t，t+1），
把F（2﹣t，t+1）代入y＝﹣x+6得：
t+1＝﹣（2﹣t）+6，
解得t＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
当点E在D的上方时，同理可得F（t﹣2，t﹣1），
则E（0，4），
综上：E（0，﹣4）或（0，4）；
②由①知，当点E在D的上方时，设E（0，t），则F（t﹣2，t﹣1），
∴DF的中点T（），
∴点T在直线y＝x+2上运动，
当点E与B重合时，t＝6，
∴T（），
当点E运动到（0，2）时，t＝2，
∴T（﹣，），
∴点T经过的路径长为2，
当点E在D的下方时，F（2﹣t，t+1），
则T（），
∴点T在直线y＝﹣x+2上运动，
同理可得，点T的运动路径为，
综上：点T的运动路径为2+＝3，
故答案为：3．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，表示出点F的坐标是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
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