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2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
3．（3分）一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
5．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
6．（3分）÷计算结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
8．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
10．（3分）如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB＝75°，∠BAC＝∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE、CF相交于点G．DC＝m，AF＝n，则线段EG的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 ．
12．（3分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝ ．
13．（3分）若（x+6）（x+8）＝x2+mx+48，则m＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，连接AM、AN，若∠MAN＝10°，则∠BAC＝ °．
15．（3分）已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ ．（用含α的式子表示）
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）（a+2）；
（2）因式分解：4xy2﹣4xy+x．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
20．（8分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 ；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．
22．（10分）为了健全武汉市的公园服务覆盖网络，2021年武汉市新建了一批口袋公园（规模很小的城市开放空间）．在某一区域2020年已有口袋公园面积120万平方米，2021年新建口袋公园34万平方米，人均口袋公园面积比2020年增加了2平方米，人口增加了10%，请回答下列问题：
（1）求2020年该区域人口为多少万人？
（2）每个口袋公园面积平均为5万平方米，预计2022年该区域人口比2021年再增加10%，为了达到人均口袋公园面积比2021年再增加1平方米的目标，至少应新建多少个口袋公园？
23．（10分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝ ；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1+x≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
3．（3分）一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00002用科学记数法表示为2×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故A不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，故B不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，故C符合题意；
D、2xy2+3yx2＝2xy2+3yx2，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解．
【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由FG∥HM可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件FG∥HM，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）÷计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•x（x﹣2）
＝．
故选：B．
7．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；
B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；
C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；
D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
【分析】分两种情况：①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，
∵AB＝AC＝，BC＝3，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝；
②当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD′＝BD′，
∵AB2+AD′2＝BD′2，
∴3+AD′2＝4AD′2，
∴AD′＝1，
综上所述，AD的长度是或1，
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB＝75°，∠BAC＝∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE、CF相交于点G．DC＝m，AF＝n，则线段EG的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用AAS证明△AFG≌△CFD可得CF＝AF＝n，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得FG＝DF＝m，进而可求CG＝CF﹣FG＝n﹣m，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠ACB＝120°﹣75°＝45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠DAC＝45°，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠CDF+∠DCF＝∠CGE+∠DCF＝90°，
∴∠CDF＝∠CGE，
又∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠CDF，
∵在△AFG和△CFD中，
∠AFC＝∠AED，∠AGF＝∠CDF，AF＝CF，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF＝AF＝n，
在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
∴DF＝CD＝m，
∴FG＝DF＝m，
∴CG＝CF﹣FG＝n﹣m，
在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，
∴EG＝CG＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x＝2．
故答案为：2．
12．（3分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝ 13 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝1980°，然后解方程即可求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1980°，
解得n＝13．
故答案为：13．
13．（3分）若（x+6）（x+8）＝x2+mx+48，则m＝ 14 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+6）（x+8）＝x2+14x+48，
∴m＝14，
故答案为：14．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，连接AM、AN，若∠MAN＝10°，则∠BAC＝ 95 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴∠BAM＝∠B，
∵AC的垂直平分线交BC于N，
∴∠CAN＝∠C，
∵∠BAN＝∠BAM﹣∠NAM＝∠B﹣10°，
∴∠CAM＝∠C﹣10°，
∴∠BAC＝∠CAM+∠BAN+∠MAN＝∠B﹣10°+10°+∠C﹣10°＝180°﹣∠BAC+10°，
∴∠BAC＝95°，
故答案为：95．
15．（3分）已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 4 ．
【分析】首先对于x﹣3y＝1，等式两边平方得x2﹣6xy+9y2＝1，，把x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，分项，拆项后，提取公因，再把x﹣3y＝1，x2﹣6xy+9y2＝1，整体代入变形后的等式，求出结果．
【解答】解：∵x﹣3y＝1，
∴x2﹣6xy+9y2＝1，
∴x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，
∴x2（x﹣3y）﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴1﹣xy＝﹣3，
∴xy＝4．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ 120°+α ．（用含α的式子表示）
【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．
【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
在△ADC与△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，
∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，
∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，
∴∠EDC＝∠ADC＝150°，
∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵ED＝AD，
∴△EDA为等边三角形，
∴∠EAD＝∠AED＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB是∠EAD的角平分线，
∵AB是ED的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，
∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EDC＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∴∠BED＝∠BED＝30°﹣α，
∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α
＝120°+α，
故答案为：120°+α．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）（a+2）；
（2）因式分解：4xy2﹣4xy+x．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝a2+2a﹣a﹣2
＝a2+a﹣2；
（2）原式＝x（4y2﹣4y+1）
＝x（2y﹣1）2．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x+2＝3x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）去分母得：3+x（x+3）＝x2﹣9，
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
19．（8分）已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【分析】首先证得△ADC和△AEB全等，利用全等三角形的性质得到AD＝AE，然后得到BD＝CE；
【解答】解：在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE
即：BD＝CE．
20．（8分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2a2+4a，
当a＝2时，原式＝2×22+4×2
＝8+8
＝16．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 （3，2），（4，﹣1） ；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）①构造等腰直角三角形解决问题即可；
②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；
（2）①如图1在，点P即为所求；
②如图2中，线段AQ即为所求．
22．（10分）为了健全武汉市的公园服务覆盖网络，2021年武汉市新建了一批口袋公园（规模很小的城市开放空间）．在某一区域2020年已有口袋公园面积120万平方米，2021年新建口袋公园34万平方米，人均口袋公园面积比2020年增加了2平方米，人口增加了10%，请回答下列问题：
（1）求2020年该区域人口为多少万人？
（2）每个口袋公园面积平均为5万平方米，预计2022年该区域人口比2021年再增加10%，为了达到人均口袋公园面积比2021年再增加1平方米的目标，至少应新建多少个口袋公园？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可，注意x的值为整数．
【解答】解：（1）设2020年该区域人口为a万人，
由题意可得：+2＝，
解得a＝10，
经检验，a＝10是原分式方程的解，
答：2020年该区域人口为10万人；
（2）设应新建x个口袋公园，
由题意可得：＝+1，
解得x＝5.5，
∵x为整数，
∴x至少为6，
答：至少应新建6个口袋公园．
23．（10分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝ 127° ；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，由三角形内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得DP＝DH＝DG，由“AAS”可证△DMG≌△DEH，可得DM＝DE；
（3）由“SAS”可证△MGC≌△NGQ，可得∠Q＝∠MCG＝20°，即点N在直线QN上运动，则当DN⊥QN时，DN有最小值为DN'，由等腰直角三角形的性质和外角的性质可求解．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝74°，
∴∠ABC+∠ACB＝106°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝53°，
∴∠BDC＝127°，
故答案为：127°；
（2）证明：如图2，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，DP⊥BC于P，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，DP⊥BC于P，
∴DP＝DH＝DG，
∵MD⊥BE，
∴∠MDE＝∠A＝90°，
∴∠AMD+∠AED＝180°，
∵∠AMD+∠DMG＝180°，
∴∠DMG＝∠AED，
又∵∠DGA＝∠DHE＝90°，
∴△DMG≌△DEH（AAS），
∴DM＝DE；
（3）如图3，过点G作GQ⊥DC，且GQ＝GC，连接QN，
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BCD＝20°，
∵将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，
∴MG＝GN，∠MGN＝90°＝∠QGC，
∴∠MGC＝∠QGC，
又∵GQ＝GC，MG＝GN，
∴△MGC≌△NGQ（SAS），
∴∠Q＝∠MCG＝20°，
∴点N在直线QN上运动，
∴当DN⊥QN时，DN有最小值为DN'，
此时，∵GM'＝GN'，∠M'GN'＝90°，
∴∠GN'M'＝45°，
∴∠QGN'＝25°，
∵∠QGC＝∠M'GN'＝90°，
∴∠M'GC＝∠QGN'＝25°，
∴当DN最短时，∠MGC的度数度数为25°．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 EF＝CE ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
【分析】（1）如图1中，设AF交BE于点J．首先证明AB＝AE，再证明∠AEF＝∠ABF＝90°，可得结论；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．由OA＝OC，BO⊥AC，推出BA＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，设∠BAC＝∠BCA＝2α，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可．
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．证明∠GOH′＝GOH＝45°，推出点H与点H′重合，可得结论．
【解答】解：（1）结论：EF＝EC．
理由：如图1中，设AF交BE于点J．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵BE⊥AF，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，∠CAF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵A，C关于y轴对称，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
∴EF＝EC；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．
∵AO＝OC，FT＝TC，
∴OT∥AF，OT＝AF，
∵AF＝2OB，
∴OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∵OA＝OC，BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，
设∠BAC＝∠BCA＝2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝α，
∵OT∥AF，
∴∠TOC＝∠CAF＝α，
∴∠OBT＝∠OTB＝∠TOC+∠TCO＝3α，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴5α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠OBC＝36°，
∴∠ABC＝2∠OBC＝72°；
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．
理由：如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．
设∠OGB＝m，∠OGH′＝n，
∵GD垂直平分线段OB，
∴GB＝GO，∠DGB＝∠DGO＝m，
∵GB＝GO＝GH′，
∴∠GH′O＝（180°﹣n）＝90°﹣n，∠GH′B＝（180°﹣m﹣n）＝90°﹣m﹣n，
∴∠KH′O＝∠GH′O﹣∠GH′B＝90°﹣n﹣（90°﹣m﹣n）＝m，
∴∠KH′O＝∠KGW，
∵∠GKW＝∠H′KO，
∴∠H′OK＝∠GWK，
∵DG∥OA，
∴∠GWK＝∠OAB＝45°，
∴∠COH′＝45°，
∵∠COH＝45°，
∴∠COH＝∠COH′，
∴点H与点H′重合，
∴OG＝GH，
∴∠GHO＝∠GOH＝45°，
∴∠OGH＝90°，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
3．（3分）一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
5．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
6．（3分）÷计算结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
8．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
10．（3分）如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB＝75°，∠BAC＝∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE、CF相交于点G．DC＝m，AF＝n，则线段EG的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 ．
12．（3分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝ ．
13．（3分）若（x+6）（x+8）＝x2+mx+48，则m＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，连接AM、AN，若∠MAN＝10°，则∠BAC＝ °．
15．（3分）已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ ．（用含α的式子表示）
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）（a+2）；
（2）因式分解：4xy2﹣4xy+x．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
20．（8分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 ；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．
22．（10分）为了健全武汉市的公园服务覆盖网络，2021年武汉市新建了一批口袋公园（规模很小的城市开放空间）．在某一区域2020年已有口袋公园面积120万平方米，2021年新建口袋公园34万平方米，人均口袋公园面积比2020年增加了2平方米，人口增加了10%，请回答下列问题：
（1）求2020年该区域人口为多少万人？
（2）每个口袋公园面积平均为5万平方米，预计2022年该区域人口比2021年再增加10%，为了达到人均口袋公园面积比2021年再增加1平方米的目标，至少应新建多少个口袋公园？
23．（10分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝ ；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1+x≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
3．（3分）一种微粒的半径是0.00002米，数0.00002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00002用科学记数法表示为2×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故A不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，故B不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，故C符合题意；
D、2xy2+3yx2＝2xy2+3yx2，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解．
【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由FG∥HM可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件FG∥HM，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）÷计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•x（x﹣2）
＝．
故选：B．
7．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；
B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；
C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；
D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
【分析】分两种情况：①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，
∵AB＝AC＝，BC＝3，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝；
②当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD′＝BD′，
∵AB2+AD′2＝BD′2，
∴3+AD′2＝4AD′2，
∴AD′＝1，
综上所述，AD的长度是或1，
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB＝75°，∠BAC＝∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE、CF相交于点G．DC＝m，AF＝n，则线段EG的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用AAS证明△AFG≌△CFD可得CF＝AF＝n，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得FG＝DF＝m，进而可求CG＝CF﹣FG＝n﹣m，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠ACB＝120°﹣75°＝45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠DAC＝45°，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠CDF+∠DCF＝∠CGE+∠DCF＝90°，
∴∠CDF＝∠CGE，
又∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠CDF，
∵在△AFG和△CFD中，
∠AFC＝∠AED，∠AGF＝∠CDF，AF＝CF，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF＝AF＝n，
在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
∴DF＝CD＝m，
∴FG＝DF＝m，
∴CG＝CF﹣FG＝n﹣m，
在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，
∴EG＝CG＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x＝2．
故答案为：2．
12．（3分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝ 13 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝1980°，然后解方程即可求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1980°，
解得n＝13．
故答案为：13．
13．（3分）若（x+6）（x+8）＝x2+mx+48，则m＝ 14 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+6）（x+8）＝x2+14x+48，
∴m＝14，
故答案为：14．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，连接AM、AN，若∠MAN＝10°，则∠BAC＝ 95 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴∠BAM＝∠B，
∵AC的垂直平分线交BC于N，
∴∠CAN＝∠C，
∵∠BAN＝∠BAM﹣∠NAM＝∠B﹣10°，
∴∠CAM＝∠C﹣10°，
∴∠BAC＝∠CAM+∠BAN+∠MAN＝∠B﹣10°+10°+∠C﹣10°＝180°﹣∠BAC+10°，
∴∠BAC＝95°，
故答案为：95．
15．（3分）已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 4 ．
【分析】首先对于x﹣3y＝1，等式两边平方得x2﹣6xy+9y2＝1，，把x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，分项，拆项后，提取公因，再把x﹣3y＝1，x2﹣6xy+9y2＝1，整体代入变形后的等式，求出结果．
【解答】解：∵x﹣3y＝1，
∴x2﹣6xy+9y2＝1，
∴x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，
∴x2（x﹣3y）﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴1﹣xy＝﹣3，
∴xy＝4．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝ 120°+α ．（用含α的式子表示）
【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．
【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
在△ADC与△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，
∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，
∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，
∴∠EDC＝∠ADC＝150°，
∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵ED＝AD，
∴△EDA为等边三角形，
∴∠EAD＝∠AED＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB是∠EAD的角平分线，
∵AB是ED的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，
∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EDC＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∴∠BED＝∠BED＝30°﹣α，
∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α
＝120°+α，
故答案为：120°+α．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）（a+2）；
（2）因式分解：4xy2﹣4xy+x．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝a2+2a﹣a﹣2
＝a2+a﹣2；
（2）原式＝x（4y2﹣4y+1）
＝x（2y﹣1）2．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x+2＝3x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）去分母得：3+x（x+3）＝x2﹣9，
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
19．（8分）已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【分析】首先证得△ADC和△AEB全等，利用全等三角形的性质得到AD＝AE，然后得到BD＝CE；
【解答】解：在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE
即：BD＝CE．
20．（8分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2a2+4a，
当a＝2时，原式＝2×22+4×2
＝8+8
＝16．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 （3，2），（4，﹣1） ；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）①构造等腰直角三角形解决问题即可；
②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；
（2）①如图1在，点P即为所求；
②如图2中，线段AQ即为所求．
22．（10分）为了健全武汉市的公园服务覆盖网络，2021年武汉市新建了一批口袋公园（规模很小的城市开放空间）．在某一区域2020年已有口袋公园面积120万平方米，2021年新建口袋公园34万平方米，人均口袋公园面积比2020年增加了2平方米，人口增加了10%，请回答下列问题：
（1）求2020年该区域人口为多少万人？
（2）每个口袋公园面积平均为5万平方米，预计2022年该区域人口比2021年再增加10%，为了达到人均口袋公园面积比2021年再增加1平方米的目标，至少应新建多少个口袋公园？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可，注意x的值为整数．
【解答】解：（1）设2020年该区域人口为a万人，
由题意可得：+2＝，
解得a＝10，
经检验，a＝10是原分式方程的解，
答：2020年该区域人口为10万人；
（2）设应新建x个口袋公园，
由题意可得：＝+1，
解得x＝5.5，
∵x为整数，
∴x至少为6，
答：至少应新建6个口袋公园．
23．（10分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝ 127° ；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，由三角形内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得DP＝DH＝DG，由“AAS”可证△DMG≌△DEH，可得DM＝DE；
（3）由“SAS”可证△MGC≌△NGQ，可得∠Q＝∠MCG＝20°，即点N在直线QN上运动，则当DN⊥QN时，DN有最小值为DN'，由等腰直角三角形的性质和外角的性质可求解．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝74°，
∴∠ABC+∠ACB＝106°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝53°，
∴∠BDC＝127°，
故答案为：127°；
（2）证明：如图2，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，DP⊥BC于P，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，DP⊥BC于P，
∴DP＝DH＝DG，
∵MD⊥BE，
∴∠MDE＝∠A＝90°，
∴∠AMD+∠AED＝180°，
∵∠AMD+∠DMG＝180°，
∴∠DMG＝∠AED，
又∵∠DGA＝∠DHE＝90°，
∴△DMG≌△DEH（AAS），
∴DM＝DE；
（3）如图3，过点G作GQ⊥DC，且GQ＝GC，连接QN，
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BCD＝20°，
∵将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，
∴MG＝GN，∠MGN＝90°＝∠QGC，
∴∠MGC＝∠QGC，
又∵GQ＝GC，MG＝GN，
∴△MGC≌△NGQ（SAS），
∴∠Q＝∠MCG＝20°，
∴点N在直线QN上运动，
∴当DN⊥QN时，DN有最小值为DN'，
此时，∵GM'＝GN'，∠M'GN'＝90°，
∴∠GN'M'＝45°，
∴∠QGN'＝25°，
∵∠QGC＝∠M'GN'＝90°，
∴∠M'GC＝∠QGN'＝25°，
∴当DN最短时，∠MGC的度数度数为25°．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 EF＝CE ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
【分析】（1）如图1中，设AF交BE于点J．首先证明AB＝AE，再证明∠AEF＝∠ABF＝90°，可得结论；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．由OA＝OC，BO⊥AC，推出BA＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，设∠BAC＝∠BCA＝2α，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可．
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．证明∠GOH′＝GOH＝45°，推出点H与点H′重合，可得结论．
【解答】解：（1）结论：EF＝EC．
理由：如图1中，设AF交BE于点J．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵BE⊥AF，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，∠CAF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵A，C关于y轴对称，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
∴EF＝EC；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．
∵AO＝OC，FT＝TC，
∴OT∥AF，OT＝AF，
∵AF＝2OB，
∴OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∵OA＝OC，BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，
设∠BAC＝∠BCA＝2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝α，
∵OT∥AF，
∴∠TOC＝∠CAF＝α，
∴∠OBT＝∠OTB＝∠TOC+∠TCO＝3α，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴5α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠OBC＝36°，
∴∠ABC＝2∠OBC＝72°；
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．
理由：如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．
设∠OGB＝m，∠OGH′＝n，
∵GD垂直平分线段OB，
∴GB＝GO，∠DGB＝∠DGO＝m，
∵GB＝GO＝GH′，
∴∠GH′O＝（180°﹣n）＝90°﹣n，∠GH′B＝（180°﹣m﹣n）＝90°﹣m﹣n，
∴∠KH′O＝∠GH′O﹣∠GH′B＝90°﹣n﹣（90°﹣m﹣n）＝m，
∴∠KH′O＝∠KGW，
∵∠GKW＝∠H′KO，
∴∠H′OK＝∠GWK，
∵DG∥OA，
∴∠GWK＝∠OAB＝45°，
∴∠COH′＝45°，
∵∠COH＝45°，
∴∠COH＝∠COH′，
∴点H与点H′重合，
∴OG＝GH，
∴∠GHO＝∠GOH＝45°，
∴∠OGH＝90°，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
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