河南省洛阳市汝阳县2022-2023学年上学期九年级 期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年河南省洛阳市汝阳县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

5. 如图，，与相交于点，且，，，那么的值等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 若

7. 如图，在中，点在边上，若，，，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在▱中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与▱的面积之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 比较大小： ______填“、、”
12. 当时，化简：______．
13. 两个相邻正偶数的积是，则这两个相邻正偶数中较小的数是______．
14. 一个米高的电线杆的影长是米，它临近的一个建筑物的影长是米．则这个建筑的高度是______
15. 如图，在中，点，分别是边，的中点．若的面积是，则四边形的面积等于______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：．
17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    在网格内画出以点为位似中心，且相似比为的．
    的坐标是______，如果，则______．

19. 本小题分
    关于的方程为．
    证明：方程有两个不相等的实数根；
    已知方程的两个实数根、满足，求出的值．
20. 本小题分
    某产品每件的生产成本为元，原定销售价为元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价将下降，第二季度又将回升该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是多少时，才能使半年后的销售利润不变．
21. 本小题分
    如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点．
    求的长．
    的长为______．

22. 本小题分
    如图所示，在等腰中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动时间为，解答下列问题：
    当为何值时，；
    在点，的运动中，是否存在时间，使得与相似？若存在，请求出对应的时间；若不存在，请说明理由．

23. 本小题分
    观察下列各式：，，，
    猜想： ______ ．
    ______ ，其中为正整数．
    计算：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：．
先把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
解得．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数，即．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项正确，符合题意；
B、无法计算，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选：．
分别利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
整理得：，
，
或，
，，
故选：．
整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接开平方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
【解答】
解：是关于的一元二次方程的一个根，
，即，
整理得，
解得，．
即的值是或．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
∽，
，
，
，
，
解得：．
故选：．
证明∽，根据相似三角形的判定与性质即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的有关知识，根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得：
，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
根据镜面反射的性质，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：，是的中点，
∽，
，即，
同理可得，，
，
，
、分别是边、的中点，
，，
∽，
，
，
图中阴影部分图形的面积，
即图中阴影部分图形的面积与▱的面积之比为：，
故选：．
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到，进而得出；依据三角形中位线定理，即可得到，据此可得阴影部分图形的面积与▱的面积之比．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，，
原式

．
故答案为．
根据绝对值和二次根式的性质解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟悉绝对值的性质和二次根式的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这两个相邻正偶数中较小的数是，则较大的数是，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两个相邻正偶数中较小的数是．
故答案为：．
这两个相邻正偶数中较小的数是，则较大的数是，根据两个数之积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设建筑物的高度为，由题意得，
实际长与影长的比例为，所以，解得．
故填．
先求出实际长与影长的比例，进而可求解．
本题主要考查的是比例线段的应用，要熟练掌握比例线段的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线．
，且．
∽．
，
的面积与四边形的面积比为：．
的面积是，
四边形的面积等于．
故答案是：．
根据面积比等于相似比平方求出与的比，继而可得出的面积与四边形的面积比，进而求得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出是的中位线，判断∽，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
 

16.【答案】解：因为，，，分
所以，分
代入公式，得，分
所以原方程的根为，每个根各分分 

【解析】观察原方程，可用公式法求解，首先确定，，的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
把方程化为一般形式，确定、、的值；求出的值；
若，则把、、及的值代入一元二次方程的求根公式，求出、；若，则方程没有实数根．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求．

由图知，的坐标是，
，且：：，
，
故答案为：，．
延长到，使，同理得到点的对应点，再与点首尾顺次连接即可；
结合图形可得点的坐标，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．
本题主要考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质．
 

19.【答案】证明：关于的方程为．
，
方程有两个不相等的实数根；
解：，，
；
又，
，
． 

【解析】直接利用一元二次方程根的判别式和完全平方数的非负性，即可得出结论；
利用根与系数的关系建立方程即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，
依题意，得：，
解得：舍去，．
答：该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是． 

【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
 

21.【答案】 

【解析】解：四边形的是菱形，
，，
，
∽，
，
，
；
，，
，
四边形的是菱形，
，，
．
故答案为：．
根据菱形的性质证明∽，可得，即可解决问题；
根据四边形的是菱形，可得，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是得到∽．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，
在等腰中，，，则．
在直角中，由勾股定理得到：．
，，
．
∽．
，即．
解得；

存在．理由如下：
当时，∽，
，即，
解得，
当时，∽，
，即，
解得．
答：存在时间为或时，使得与相似． 

【解析】如图，当时，过点作于点，构造直角三角形和相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例列出关于的方程并解答；
根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
 

23.【答案】   

【解析】解：猜想．
，
故答案为：，；
原式
．
根据已知等式得出答案；
将原式变形为，再进一步求解即可．
本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据已知等式得出，并熟练加以运用．