小学五年级数学思维 奥数预备 （一级）讲义

这是一份小学五年级数学思维 奥数预备 （一级）讲义，共66页。教案主要包含了新知探索等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_TOC_250009" 第一讲分数加减1
\l "_TOC_250008" 第二讲分数乘除6
\l "_TOC_250007" 第三讲定义新运算11
\l "_TOC_250006" 第四讲长方体与正方体18
\l "_TOC_250005" 第五讲操作问题26
\l "_TOC_250004" 第六讲风筝中的三角形33
\l "_TOC_250003" 第七讲工程问题40
\l "_TOC_250002" 第八讲时间推导与计算47
\l "_TOC_250001" 第九讲位值原理54
\l "_TOC_250000" 第十讲数字谜问题58
一、新知探索
第一讲分数加减
知识点睛
分数的性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数(0 除外)，分数的大小不变。
通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数，叫做通分。通分一般找分母的最小公倍数。
约分：把分数化成最简分数的过程就叫约分。
最简分数：分子、分母只有公因数 1 的分数，或者说分子、分母互质的分数。
分数的加减：
同分母分数加减的计算方法: 同分母分数相加、减,分母不变，只把分子相加、减。计算的结果,能约分的要约成最简分数。
异分母分数加减的计算方法: 异分母分数相加、减,先通分，然后按照同分母分数加、减法进行计算。
含有整数的分数加减的计算方法: ①整数和真分数相加，直接写成带分数。②整数和假分数相加，先把假分数写成带分数或整数，再相加。
③整数和真分数相减，把整数写成与分数同分母的假分数，再相减。
【例题 1】
通分：把异分母分数分别化为和原来分数相等的分数的方法，叫做通分. 根据
分数的基本性质，我们可以把分数的分子分母同时乘一个,分数大小不变.通过这种
方法，我们可以把这两个分数变成相同的数；
两个分数比较大小，如果分母一样，的分数大；如果分子一样，的
分数小，如果分子分母都不一样，可以先通分把它们变成一样的分数，再比较
大小.
【例题 2】
同分母分数加减法：
232 + 46 1=355+647=256-32=37 5 -1211=
3399771313
【例题 3】
计算下列各题：
7 + 4 =5 + 9 =12- 7 =22+11=
15 21
12 16
35 28
45 60
42+4=35+75=7213-26 1 =63 1 - 3 =
5 769
1435
18 10
【例题 4】
同分母分数加减：不变, 相加减结果要化成最简分数
异分母分数加减：分母不同，分数单位不同，不能直接相加减需要先变
为分母相同的分数，再将分子相加减，同样，结果要化成最简分数
带分数的加减法，整数加减整数,分数加减分数即可.但是分数部分超过 1 需要进整数
部分，分数不够减需要向部分借 1.
【例题 5】
请回答下列问题：
(1)1 + 11 + 17 =(2) 1 − 1 + 1 − 1 =
52024
1115
165
726
【例题 6】
(1) 11 + 1 − 1 =(2) 5 + 3 + 3 + 8 − 7 − 6 =
6136
16114
111313
(3)10 5 − 5 1 + 30 13 − 8 =(4)9 4 + 99 4 + 999 4 + 9999 4 + 99999 4 =
1162255555
【例题 7】
计算：
 111  222  333  88 9
++...+
  
 ... 
  
 ... 
  ...  
 
 2310  3410  4510  910 10
第一讲 课后作业
计算：
计算：
计算：
计算：
计算：
计算：
第二讲分数乘除
一、课前热身
【课前练 1】
1 − 3 + 2的结果是（ ）
55
A．4
5
B. 2 5
C. 3 5
D.0
【课前练 2】
2 5 − 1 1 = ( )
63
4 7
6
5 1
6
1 1
2
1 3
6
【课前练 3】
7 + 8 - 5 + 1 =
117 117 117 117
7 - 5 + 7 + 6 =

92  89 92  89
二、新知探索
知识点睛
假分数化成整数或带分数：分子除以分母，能整除，所得商就是整数；不能整
除的，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变；
带分数化成假分数：把带分数化成假分数，用原来的分母作分母，用分母和整数的乘积在加上原来的分子作分子。
分数乘法：分数的分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的要先约分。
分数除法：用被除数乘以除数的倒数。
倒数：分子和分母颠倒，两个乘积是 1 的数互为倒数，0 没有倒数。
【例题 1】
假分数化成带分数:用分子除以分母，如果分子是分母的倍数，则化成；如
果分子不是分母的倍数，则是带分数整数部分，是分数部分的分子,分母 不
变；
带分数化成假分数:用整数部分乘分母再加原分子为假分数的，分母不变.
【例题 2】
分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的和相乘的积当作分子，
分母不变；分数乘分数，用相乘的积作分子，相乘的积作分母.但，分子分母不
能为零.
分数的倒数：把这个分数的分子和分母交换位置把原来的做分母，原来的
做分子.
分数除法计算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的.
【例题 3】
计算下列各题：
5 2 =7  3 =
3 15=27  5 =
9142518
3  5 =
3  5 =
2  5 =
35  42 
47561564855
1 2  1 
2 1  14 
22  4 1 
3 1  2 2 
71872556413
【例题 4】
计算下列各题：
3  15 
15  5 
17
1 
2 1  3 6 
711282165611
2 1  25 
7
5 1  6 1  4 
3  15  5 13 
52741665
【例题 5】
计算：123 × 123
124
【例题 6】
计算： 1+2+3+4+...+100
3  6  9 12 ...  300
【例题 7】
计算：
1 2+2 4+3 6+...+30 60
3 4+68+912+...+90120
【例题 8】
2318
2+1 +1 +
计算： 3579 =
1111
+++
3579
【例题 9】
16−17+18−19
计算：13 14 15 16
1 − 1 + 1 − 1
13 14 15 16
第二讲 课后作业
请回答下列问题：
分母是 5 的所有最简真分数的和是？
分母是 20 的最简真分数的个数有几个？
一个最简真分数，分子与分母的和是 15，这样的分数一共有几个？
计算：
计算：
1 3  5  ... 199 
2  4  6  ...  200
1 2  3... 9 10 11 
27  25 24  22
计算：
第三讲定义新运算
一、课前热身
【课前练 1】
9  8 
427
A. 72
108
18 27
8 12
2 3
【课前练 2】
5  9 
320
3 4
1 2
2 3
3 5
【课前练 3】
下面各式中计算结果最大的算式是？
A. 5 × 4B. 4 ÷ 5C. 5 ÷ 4
999
知识点睛
新定义计算是用一个“新定义的运算符号”和运算表达式表示一种新的运算
新定义符号：以图形为主
新定义计算：根据规则把带有特殊符号的式子转化为普通四则运算
二、新知探索
【例题 1】
观察 5*2=5+55=60,7*4=7+77+777+7777=8638,推知 9*5 的值是
【例题 2】
设 a*b 表示? + ? + 1。计算:(1992*996)*（996*498）=
??2
【例题 3】
2
如果规定2??2 = ?? − ??，那么7 3
6
77 = .
??
0.214 5
【例题 4】
羊和狼在一起时,狼要吃掉羊所以关于羊和狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼:狼△狼=狼
以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示：羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼
这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法规是从左到右,括号内先算运算的结果或是羊,或是狼。
求下列的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼）
【例题 5】
一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发,沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B 点,左图中的路线对应下面的算式 1-2+1+2+2-1+2+1=6.请在右图中用粗线画出对应于算式-2- 1+2+2+2+1+1+1 的路线.
【例题 6】
已知 A={1, 3, 5, 7},B={1, 4, 7},C={2, 5, 7, 8)}.规定：A∩B={1, 3, 5, 7} ∩{1,
4, 7}={1, 7} ; A∪B= {1, 3, 5, 7}∪{1, 4, 7} = {1, 3, 4, 5, 7} .
根据此规定可求得：（A∪C)∩B={｝。
【例题 7】
定义x☆y=3x+7y.(1☆1)+(2☆2)+(3☆3)+…+(10☆10)=
有时我们也需要根据给?的运算去反推新定义的规则哦！
【例题 8】
已知：10Δ3=14, 8Δ7=2, 3Δ1=1,根据这几个算式找规律，如果5Δx=1,那么 x=
448
【例题 9】
已知 A*B=AB+A+B,则 1*9*9*9.9*9（共 16 次运算）=
【例题 10】
一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为 S(n),为偶数的那些数字的和记为 E(n),例如S(134)=1+3=4，E(134)=4。
S (1)+S (2) +...+S (100) =
E (1)+E (2) +...+E (100) =
第三讲课后作业
1. “&”表示一种新的运算，规定 A&B=2A+3B，求 0.3&1.4.
2. 如果规定2??2 = ?? − ??，那么2126 2 = 7.2，求?的值
???2.4
3. 如果 2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知 x□3=5973，求 x。
4. 已知 1∆3=1×2×3，6∆5=6×7×8×9×10，求 2∆5.
5. 两个正数♀、♂满足：♀=♂×♂+2♂+1.例如：当♂=3 时，♀=3×3+2×3+1=16.那么，当♀=36 时，♂=。
如果 a※b=ab+a，若 x※5 比 5※x 大 100 时，x 是多少？
7. ※对于任意自然数，定义 n!=1×2×3××n。例如 3！=1×2×3=6，5！=1×2×
3×4×5=120.求：1！+2！+3！++100！的个位数字。
第四讲长方体与正方体
一、课前热身
【课前练 1】
设a、b 都表示数，规定：a○b=6a-2b。试计算 3○4.
【课前练 2】
规定 a&b=3a-2b，如果 x&4=7。求 x 的值。
【课前练 3】
对于两个数 a 与b，规定 a※b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知 x※4=122，求 x。
二、新知探索
知识点睛
1.长方体：由六个长方形围成的封闭立体图形叫做长方体
1)8 个顶点，6 个面，12 条棱
2)表面积=2×长×宽+2×长×高+2×高×宽
3)体积=长×宽×高
2.正方体：特殊的长方体，每个面都是正方形
8 个顶点，6 个面，12 条棱
表面积=6×边长×边长
体积=边长×边长×边长
3.切片问题：切一刀，多两面
模块一：切片问题
【例题 1】
一个小正方体棱长是 3 厘米，这个小正方体的表面积与体积各是多少？爱琳把三个这样的小正方体拼成一个长方体，求这个长方体的表面积与体积。
【例题 2】
一个正方体形状的木块，棱长 1 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每
条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块。如图所示。那么，这 60 块长方体表面积的和是平方米?
知识点睛
立体图形挖洞（洞为正方体或长方体）：
挖在角上：面积不变
挖在边上：增加 2 个面
挖在面上：增加 4 个面
棱上挖穿、面上挖穿等
【例题 3】
如图，有一个棱长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大
小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的棱长是
厘米?
知识点睛
三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画?的图形。一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
模块二 三视图
【例题 4】
回答下列各题。
下列立体图形都是由若干个棱长为 1 的小正方体堆砌而成的（左 9 个，中间 19 个，右 14 个），请分别画出它们的三视图，并求出表面积。
下列立体图形也都是由若干个棱长为 1 的小正方体堆砌而成的（左 17 个，右 13个），请求出它们的表面积。注意这些立体图形与上一问中的立体图形有何不同，在计算时需要注意什么问题。
【例题 5】
一个由若干棱长为 1 的小正方体堆砌而成的立体图形，三视图如图，请你在俯视图的方格内，标上该位置的小正方体个数，并求出这个立体图形的体积是。
【例题 6】
地上有一堆小立方体，从上面看时如左图所示，从前面看时中间图片所示，从左边看时如下图所示。请问∶这一堆立方体一共有 个?如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为平方厘米?
模块三 立体图形展开图
【例题 7】
把下面这个正方体展开之后，图（）的展开图是正确的。
A. B.
C. D.
【例题 8】
右图为左图中的正方体的展开图。左图中 M、N 分别是 FG、GH 的中点，CM、CN、MN 是
三条线段，试在右图中画出这些线段。
第四讲课后作业
某长方体形状房间，其长、宽、高分别是 5 米、4 米、3 米;若要给这个房间辅地砖，则需要铺 平方米的地砖;若要粉刷这个房间的墙壁和天花板，需要粉刷 平方米的墙面。
把一个棱长 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个长方体，已知长方体的长为 12 厘米，宽为 4 厘米，那么它的高为厘米。（不考虑损耗）
切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点 A，B，C 均是棱的中点，如图所示，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）。
B.
C.D.
如图，长方体的长、宽、高分别为 4 厘米，3 厘米，6 厘米，上下底面的两条对角线长度均为 5 厘米。沿着上底面的两条对角线以及平行于长、宽的两条线竖直切下去，分成的 8 块几何体的表面积总共是多少?
由若干个大小相同的正方体木块堆成的立体图形的主视图（图 1）及俯视图（图 2）如图所示：但是现在知道这个俯视图图形可能被旋转、翻折过；请问：组成这个立体图形所用的小木块最多可能有块。
第五讲操作问题
一、课前热身
【课前练 1】
如果正方体的棱长缩小到原来的1，那么它的体积缩小到原来的（）。
3
1 27
1 9
1 3
1 6
【课前练 2】
把一个棱长是 3 分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是
平方分米。
A.108B.96C.72D.54
【课前练 3】
下面图形中不能折叠成正方形的是（）。
A.B.C.
知识点睛
操作问题是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例
如，对任意一个自然数，是奇数就加 1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
操作问题不要一味地去“操作”，而要在操作中找到规律，找到解决问题的窍门。
二、新知探索
【例题 1】
向电脑输入汉字,每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字,将它
复制后粘贴到该页面,就得到 2 个字;再将这 2 个字复制后粘贴到该页面,就得到 4 个字。每
次复制和粘贴为 1 次操作,要使整个页面都排满五号字,至少需要操作多少次?
【例题 2】
黑板上写着 8，9，10，11，12，13，14 七个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减 1.例如，擦掉 9 和 13，要写上 21.经过几次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是 .
【例题 3】
口袋里装有 99 张小纸片，上面分别写着 1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是 .
【例题 4】
在一块长黑板上写着 450 位数 123456789123456789…（将 123456789 重复 50 次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是 .
【例题 5】
把写有 1,2,3,…，25 的 25 张卡片按顺序叠齐，写有 1 的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；…按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写的是 .
【例题 6】
对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上 121;当 n 为偶数时，除以 2。这算一次操作。现在对 231 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现 100?为什么?
【例题 7】
黑板上写着一个形如 777…77 的数,每次擦掉一个末位数,把前面的数乘以 3,然后再加上刚才擦掉的数字.对所得的新数继续这样操作下去,证明:最后必获得数 7。
【例题 8】
有 10 只茶杯，杯口都朝上摆在桌上。每次操作将其中任意 3 只茶杯同时翻转（杯口朝
上的翻成杯口朝下的，杯口朝下的翻成杯口朝上）。至少需要几次这样的操作，才能使这 10只杯子全部变成杯口朝下？
第五讲课后作业
一副扑克共 54 张,最上面的一张是红桃 K.如果每次把最上面的 4 张牌,移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过 次移动,红桃 K 才会出现在最上面.
对自然数 n,作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到一个一位数为止，现对 1,2,3…,1998 如此操作,最后得到的一位数是 7 的数一共有 个.
在 1,2,3,4,5,…,59,60 这 60 个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是 .
5 个自然数和为 100，对这 5 个自然数进行如下变换，找出一个最小数加上 2，找出一个最大数减 2.连续进行这种变换，直至 5 个数不发生变化为止，最后的 5 个数可能是
.
在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替换这个数,称为一次操作,那么最多经过次操作,黑板上就会出现 2.
第六讲风筝中的三角形
一、课前热身
【课前练 1】
有 9 个表面完全相同的零件，其中 8 个是一等品，只有一个是次品较轻。现在有一架天平，最少几次就可保证将次品找到？怎么称？
【课前练 2】
对于 324 和 612，把第一个数加上 3，同时把第二个数减 3，这算一次操作，操作
次后两个数相等.
【课前练 3】
在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，
例如 a=5+3=8.问:填入的 81 个数字中,奇数多还是偶数多?
知识点睛
①等高模型
②风筝模型（普通四边形）：
?△??? ：?△??? ：?△??? = ??：??：??
?△??? ：?△??? = ??：??
二、新知探索
模块一 三角形中的风筝模型
三角形当中很多时候并不存在完整的风筝，那么这时候我们该如何运用风筝模型来进行
解题呢。请同学们通过接下来的学习，试着总结一下。
【例题 1】
四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交与 O 点，OA、OB、OC、OD 的长度分别为 1、2、3、4。
SADB ∶ SCDB =∶， SADC ∶ SABC =∶。
【例题 2】
四边形 ABCD 中，已知 ABC 为直角,AB=5，BC=12，连接对角线 AC，BD，相交于点 O，
并且 AO=3，OC=10，△ABD 的面积为 18，求∶
△BCD 的面积；
BO∶OD。
【例题 3】
△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，则 AO∶OD=；EO∶OC=。
△ABC 中，D 是 BC 上的三等分点，E 是 AB 的中点，则 AO∶OD=；
EO∶OC=。
模块二 正方形中的风筝模型
正方形当中我们也经常使用风筝模型，那么正方形当中的风筝模型和三角形相比有什么
区别呢?请同学们通过接下来的学习试着总结一下。
【例题 4】
如图，正方形 ABCD 中，DE=2AE，F 是 CD 中点，三角形 AEG 的面积是 1，则正方形 ABCD
的面积是。
【例题 5】
如图，正方形 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点。其中 E 是 AB 中点，F 是 BC
上靠近C 的三等分点，G 是CD 上靠近D 点的四等分点。AF、EG 相交于点O，那么AO∶OF=
（请写出最简整数比）。
【例题 6】
如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点。AH=4HD，DG=3GC，
CF=2FB，BE=EA。EG、FH 相交于点 O，那么 EO∶OG=（请写出最简整数比）。
第六讲课后作业
如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已知△ADO 面积为 15，AO∶OC=3∶2，四边形 ABCD 的面积为 60。请你用上课所学的知识，分别求出三角形 ABD 与三角形 BCD的面积，最后再求出三角形 OBC 的面积。
图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么三角形 ABE 的面积是公顷。
三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，延长 BE 交 AC 于 F，那么 AF：FC=
：。
如图，在三角形 ABC 中，AD：DB=1：2，BE：EC=1：1，AF：FC=1：1，已知三角形 ABC 的面积是 168，则阴影部分面积是。
如右图，已知正方形 ABCD 的面积为 60，E、F 分别是 AB、BC 的中点；阴影四边形 BFHG
的面积是。
第七讲工程问题
一、课前热身
【课前练 1】
如图，正方形 ABCD 的边长为 3，CE=CF=1，求 AG∶GE。 A. 9:2
B. 7:2
C. 9:5
D. 7:5
【课前练 2】
如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且?∆A?? = 3，那么
?∆C??5
OC 的长是（）。
4 3
5 3
7 3
2
【课前练 3】
如下图所示，在正方形 ABCD 中，E 为线段 BC 中点，F 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，那么 DO∶OE=（）。
A. 2∶3
B. 3∶2
C. 3∶1
D. 1∶3
二、新知探索
知识点睛
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题。工程问题三要素：工作总量，
工作时间，工效。
工作总量=1，工作总量=工效×时间
工效是单位时间完成的工作量，工效=工作量÷时间时间=工作量÷工效
模块一：基础工程问题
工程问题当中我们接触了工效、时间、工程量等几个量，这几个量当中有些可以直接加减，有些不能直接加减。那么请同学们通过接下来的学习，试着总结一下哪些可以加减。
【例题 1】
甲、乙两队修一条公路，甲队单独修需要 28 天，乙队单独修需要 21 天，那么甲乙两队
合修需要天完成。
【例题 2】
一项工程，如果由甲工程队单独做，需要 40 天。如果甲乙两个工程队合作，需要 15 天，那么如果只由乙工程队来做，需要天。
【例题 3】
一件工作，甲、乙合做 12 天完成，甲 3 天可以完成全工程的五分之一，乙单独做
天完成。
【例题 4】
一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。现甲乙合作，中途甲请假 2 天，
乙请假若干天，从开工到完成任务共用了 16 天。那么乙请假天。
【例题 5】
有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要 6 小时，乙需要 7 小时，丙需
要 14 小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲小时，帮乙小时。
模块二 多人轮替问题
多人轮替的问题当中，我们计算出结果之后，还应该注意什么问题。请同学们通过接下来的学习，试着总结一下。
【例题 6】
一份文件，如果甲抄 10 小时，乙抄 10 小时可以抄完;如果甲抄 8 小时，乙抄 13 小时也可以抄完。
若乙单独抄，多少小时可以抄完?
若乙先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成?
【例题 7】
规定两人轮流做一项工程，要求第一个人先做 1 个小时，第二个人接着做一个小时，然
后再由第一个人做 1 个小时，然后又由第二个人做 1 个小时，如此反复，做完为止。如果
甲、乙轮流做这项工程需要 9.8 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 9.6 小时，那乙单
独做这项工程需要小时。
【例题 8】
某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天才能完成;如果由第一、三、五小队合干
需要 9 天才能完成;如果由第二、四、五小队合干需要 8 天才能完成;如果由第一、三、四小
队合干需要 18 天才能完成。那么这五个小队一起合干需要天才能完成这项工程。
第七讲课后作业
一项工程，甲队独做 15 天完成，乙队独做 12 天完成。现在甲、乙合作 4 天后，剩下的
工程由丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需天完成。
甲、乙两队挖一条水渠。甲队单独挖要 8 天完成，乙队单独挖要 12 天完成。现在两队
同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 3 天内挖完。甲队共挖了天。
一件工程，甲、乙两人合作 8 天可以完成，乙、丙两人合作 6 天可以完成，丙、丁两人
合作 12 天可以完成。那么甲、丁合作天可以完成。
一项工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要 12 天，由丙单独做需要 36 天完
成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天?
搬运一个仓库的货物，甲需 10 小时，乙需 12 小时，丙需 15 小时。有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了 小时，帮乙搬运了小时。
一项工程，甲单独做需要 6 小时完成，乙单独做需要 10 个小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次工作时间为 1 小时，需要多少小时才能完成?
第八讲时间推导与计算
一、课前热身
【课前练 1】
一项工程，甲、乙合做 12 天完工，乙、丙合做 10 天完工，甲、丙合做 15 天完工.如果三人合做几天完工？
【课前练 2】
修一条路，甲、乙合修 8 天完成，乙、丙合修 6 天完成，甲、丙合修 12 天完成.现在三队合修几天完成？
【课前练 3】
有一水池，装有甲、乙两个注水管，下面装有丙管放水.池空时，单开甲管 5 分钟可注
满水池，单开乙管 10 分钟可注满水池．水池装满水后，单开丙管 15 分钟可将水放完．如果在水池空时，将甲、乙、丙三管齐开，2 分钟后关闭乙管，还要多少分钟可注满水池？
二、新知探索
知识点睛
1. 公元纪年法
年：平年：365 天；闰年：366 天。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
月： 大月：31 天，一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月；小月：30 天；
2 月：28 或 29 天
日：周一到周日，周期性
2. 干支纪年法
天干地支
①十天干：甲（jiǎ）、乙（yǐ）、丙（bǐng）、丁（dīng）、戊（wù）、己（jǐ）、
庚（gēng）、辛（xīn）、壬（rén）、癸（guǐ）
②十二地支：子（zǐ）、丑（chǒu）、寅（yín）、卯（mǎ）、辰（chén）、巳（sì）、
午（wǔ）、未（wèi）、申（shēn）、酉（yǒu）、戌（xū）、亥（hài）
公元 4 年甲子年
模块一：平闰年的计算
现行的公历当中存在闰年和平年的区别，请同学们通过接下来的学习，试着简述一下如果我们想判断下 20XX 年是不是闰年，应该怎么样计算？
【例题 1】
闰年怎么算?
闰年（Leap Year）是为了弥补因人为历法规定造成的年度天数与地球实际公转周期的时间差而设立的。补上时间差的年份为闰年。通俗的解释是说一年有多少天多少小时多少分，取整数 365 还有多余的，累积达到一天 24 小时后，就多加一天的年是闰年。
最根本的原因是：地球绕太阳的运行周期为 365 天 5 小时 48 分 46 秒（合 365.24219 天）即一回归年（trpical year）。公历的平年只有 365 日，比回归年短约 0.24219 日， 0.24219  4  0.96876  1 ，所余下的时间约为每四年累计一天，故第四年于 2 月末加 1 天，
使当年的历年长度为 366 日，这一年就为闰年。这就是我们日常所说的“四年一闰”。通过上面的阅读，试回答：
在闰年算法中还有句话叫“百年不闰”，即是 100 的倍数(不是 400 的倍数)的年份不是闰年，解释一下其中的原理。
在闰年算法中，最后一句话叫“四百年再闰”，即是 400 的倍数的年份是闰年，解释一下其中的原理。
【例题 2】
2018 年的元旦是周一，那么 2019 年的元旦是周几？2020 年的元旦是周几？2021 年的元旦是周几？
【例题 3】
2018 年的元旦是周一，那么 2002 年的元旦是周几？
模块二：年月日中的推理
【例题 4】
小明和小强常去图书馆看书，小明在一月份的第一个星期三去图书馆，此后每隔 4 天去一次（即第 2 次去是星期一），小强是一月份的第一个星期四去图书馆，此后每隔 3 天去一次； 如果一月份两人只有一次同时去了图书馆，那么这一天是 1 月 号。
【例题 5】
小明和小强都是张老师的学生，2 人都不知道张老师的生日。生日是下列 10 组中的一天：
3 月 4 日、3 月 5 日、3 月 8 日；
6 月 4 日、6 月 7 日；
9 月 1 日、9 月 5 日；
12 月 1 日、12 月 2 日、12 月 8 日。
张老师把月份 M 告诉了小明，把日子 N 告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一
天吗？
小明说：我不知道，小强肯定也不知道。
小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了。小明说：哦，那我也知道了。
请根据以上对话推断出张老师生日是哪一天？
模块三：年月日中的计数
在汉语中，我们一般会将 1960 年 1 月 1 日记作 1960/1/1，但是实际上世界各国还有不同的记录方式，请同学们通过接下来的学习，来总结下年月日的数字记录还有什么形式。
【例题 6】
人们将 1/10 表示为 1 月 10 日，也有人将 1/10 表示为 10 月 1 日，这样一年中就有不少混淆不清的日期了，当然，8/15 和 15/8 只能表示为 8 月 15 日，那么一年中像这样不会搞错的日期最多会有多少天？（ ）
A.221 B.222 C.234 D.144
【例题 7】
有一种用六位数表示日期的方法，如：890817 表示的是 1989 年 8 月 17 日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有天。
第八讲 课后作业
2020 年的劳动节是周五，那么 2048 年的劳动节是周几？
某单位实行五天工作制，即星期一至星期五上班，星期六和星期日休息。现已知某月有 31 天，且该单位职工小王在该月休息了 9 天(该月没有其他节日)。则这个月的六号可能是下列四天中的哪一天？（ ）
星期五B. 星期四C. 星期三D. 星期一
小明和小刚都是王老师的学生，王老师告诉他们自己的生日是： 1 月 2 日、1 月 3 日、1 月 9 日；
4 月 5 日、4 月 6 日、4 月 9 日；
7 月 5 日、7 月 8 日；
10 月 2 日、10 月 6 日。
这 10 组日期中的一天，并且把生日的月份告诉了小明，把生日的日子告诉了小刚，王老师问他们知道自己的生日是哪一天吗？
小明说：我不知道，小刚肯定也不知道。
小刚说：本来我也不知道，但是现在我知道了。小明说：哦，那我也知道了。
请根据以上对话，推断出王老师的生日是哪一天。（ ）
月 9 日B.7 月 5 日 C.10 月 2 日 D.4 月 6 日
农历龙年的第一天（即大年初一）是 01 月 23 日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是 0123。我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有 02 月 13 日，03 月 12 日等。那么 2012 年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第天。
2018 年的元旦是周一，那么 2048 年的元旦是周几？
某一天秘书发现办公桌上的台历已经有 9 天没有翻了，就一次翻了九张，这 9 天的
日期加起来，得数恰好是 108，问这一天是几号？
第九讲位值原理
一、课前热身
【课前练 1】
2019 年元旦是星期二，那么 2019 年 1 月 15 日是（）。 A.星期二 B.星期三 C.星期四
【课前练 2】
6 月份最多有个星期日，最少有个星期日。
【课前练 3】
今天是星期三，再过264 天，是。
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 E.星期五 F.星期六 G.星期日
知识点睛
1. 位值原理：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不
同。
（1）完整分拆∶?DDD?D?DD?D=1000a+100b+10c+d
（2）部分分拆∶?DD?DD?DD?D?DD?D=10000?DD?D+100?DD?D+D?D?D
（3）特殊分拆：A 为 3 位数，B 为 4 位数，?DDD?D=10000A+B
二、新识探索
【例题 1】
aaa =； abc =； aabb 。
【例题 2】
abcd  abc  ab  a  a   b   c   d 。
【例题 3】
ab1234
 a   b   1  2   3  4
 ab   12   34  。
【例题 4】
用数字 1、2、3 各一个可以组成个三位数，所有这样的三位数之和是。
【例题 5】
三个不同的非零数字 a，b，c 可以组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数之和是(用
字母表示）。
A. 222(a + b + c)B. 333(a + b + c)C. 222abcD. 333abc
【例题 6】
填空：
(1)三个互不相同的数字，可以组成 6 个不同的三位数，知道这 6 个三位数的和为 2886，那么：这三个数字的和为；这个三位数最小可能值是；最大可能值。 (2)a，b，c 分别是 0~9 中不同的数码，用 a，b，c 共可组成六个三位数，如果其中五
个三位数之和是 2234，那么另一个三位数是。
【例题 7】
已知一个四位数加上它的各位数字之和等于 2014 ，则所有这样的四位数之和是
。
第九讲 课后作业
如果 ab  7  a0b ，那么 ab 等于。
从 1~9 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之
和是 3330，则这六个三位数中最小可能值是，最大可能值是。
李老师比张老师大 18 岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，那么李老师和张老师的年龄和最少是岁。（注：老师年龄都在 20 岁以上）。
有一个两位数，如果把数字 3 写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把 3 写在它的后面，则可得到另一个三位数，如果在它前后各写一个数字 3，则可得到一个四位数。将这两个三位数和一个四位数相加等于 3600。原来的两位数是。
abcd ， abc ， ab ， a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足
abcd  abc  ab  a  1796，则四位数 abcd =或。
第十讲数字谜问题
一、课前热身
【课前练 1】
abab  ab  ； abcabcabc  abc  ； abcdabcdabcd  abcd  。
【课前练 2】
一个三位数是其数字和的 15 倍，这个三位数是。
A. 107 B. 115 C. 127 D. 135
【课前练 3】
有 4 个数 a、b3 、1c26 、 d 341，其中 a、b、c、d 均是数字，他们的平均数是 1837，则 acdb 等于。
知识点睛
数字谜：含有未知数的算式谜题。
数字谜分类：竖式数字谜、横式数字迷、数阵图
方法：先找突破口，确定唯一取值，再尝试计算。
抓五位：首位、末位、进位、借位、数位。
找四值：已知数、特殊数、最值、估值。
二、新知探索
模块一：乘法竖式数字谜
【例题 1】
下图竖式中，在每个方框中填入适当的数字使竖式成立，乘积最大可以是多少？最小可以是多少？
【例题 2】
在下图算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得竖式成立。
【例题 3】
将 1-9 这 9 个数字填入下面的 9 个口中，使得算式成立.秒的计算结果如超过 60 秒时，
每 60 秒进位到分，因此分和秒中填入的最大数均为 59 以下。
模块二：除法竖式数字谜
【例题 4】
在方框内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是。
【例题 5】
在下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小。那么，
商的最小值是。
模块三：横式数字谜
【例题 6】
将 1、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，2、4、6、8 填入等号右边的 4 个方框中，每个数字只能被使用一次，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为多少？
【例题 7】
将 1、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，0、2、4、6、8 填入等号右边的 5 个方框中，每个数字只能被使用一次，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小是多少？
【例题 8】
将1 ~ 5 这 5 个数字分别填入下式的各个方框内，每个数字只能被使用一次，则下式的计算结果最大可能是。
【例题 9】
将0 ~ 9 这 10 个数字分别填入下式的各个方框内，每个数字只能被使用一次，则下式的计算结果最大可能是。
第十讲 课后作业
1991 乘自然数 M 的结果的末四位为 8888，M 的最小值是。
填入合适的数字，使下面的乘法竖式成立，那么乘积的最大值是。
在“口”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是。
下边的除法算式中，商最大等于。
在算式：2×□□□=□□□的六个方框中，分别填入 2、3、4、5、6、7 这六个数字，
使算式成立，那么这个乘积最大是，最小是。