小学五年级数学思维 奥数创新A +（四级）讲义

这是一份小学五年级数学思维 奥数创新A +（四级）讲义，共77页。教案主要包含了课前热身，新知探索等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_TOC_250009" 第一讲循环小数与分数1
\l "_TOC_250008" 第二讲巧用单位“1”7
\l "_TOC_250007" 第三讲比较与估算14
\l "_TOC_250006" 第四讲新定义运算21
\l "_TOC_250005" 第五讲长方体与正方体29
\l "_TOC_250004" 第六讲操作问题38
\l "_TOC_250003" 第七讲时针与分针46
\l "_TOC_250002" 第八讲风筝中的三角形53
\l "_TOC_250001" 第九讲工程问题61
\l "_TOC_250000" 第十讲染色与覆盖问题69
第一讲循环小数与分数
一、课前热身
【课前练 1】
判断下列分数能否化成有限小数.
5 ， 3 ，
7 ， 12 ， 11 ， 9
126
20152432
知识点睛
循环小数，就是指一个小数的小数部分，如果从某一位起它的一个或几个数字
依次不断地重复出现，像 0.33…，1.1255255255…，10.121212…这样的小数，就叫循环小数.
循环小数可以简单记作 0.33…＝0. 3̇ ，1.1255255255…＝1.12̇ 55̇ ，10.121212…
＝10. 1̇ 2̇ ， 0. 3̇ 读作零点三三循环，1.12̇ 55̇ 读作一点一二五五二五五循环，10. 1̇ 2̇ 读作十点一二一二循环，这里依次不断重复出现的数 3，255，12 叫循环节。循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数（如0. 3̇ 、10. 1̇ 2̇ ），不从第一位开始的叫混
循环小数（如1.12̇ 55̇ ）.
二、新知探索
【例题 1】将下列分数化成循环小数.
22 ， 1 ， 1 ， 5 ， 11， 1
7366911
【例题 2】
11 化成小数后，它的小数部分第 2018 位数字是多少？
13
【例题 3】
把 1 化成小数，求小数部分前 100 位数字的和.
7
【例题 4】
将下列分数化成小数（用计算器算），然后找一找，你有什么发现？
（1） 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6
77
（2） 1 ＝
9
5 ＝
9
7777
2 ＝3 ＝4 ＝
999
6 ＝7 ＝8 ＝
999
【例题 5】
有 8 个分数，0. 5̇1̇ ， 2 ， 5 ，0.51̇ ， 24 ， 13 是其中 6 个.如果按从小到大顺利排列
394725
时，第四个数是0.51̇ ，那么从大到小排列时，第四个数是哪个数？
有限小数化成分数比较容易，而循环小数是一种无限小数，要把无限小数化为分数，如果能够化无限为有限，去掉循环小数的小数部分，就可以解决问题了.
【例题 6】
把10. 1̇ 2̇ 化成分数.
【例题 7】
把2. 1̇ ，0. 2̇ 25̇ 化成分数.
【例题 8】
把0.72̇ ，1.12̇ 55̇，0.322̇ 5̇化成分数.
【例题 9】
把0. 2̇ 7̇ ，4.26̇，0.32̇ 5̇ 化成分数.
【例题 10】
计算：0.253̇＋0. 5̇ 13̇＋0.413̇ －0. 1̇80̇ .
第一讲课后作业
1.请你将下列各数按从大到小的顺序排列.
22 ，3.14，3. 1̇ 4̇，3.14̇ ， 3 47 ，π（圆周率）
7333
2.计算：1. 2̇×
3 ＋2. 3̇×0. 4̇ 28571̇ .
22
将下列循环小数化成分数.
1. 2̇ ，21. 2̇ 3̇ ，0.32̇，101. 3̇ 32̇ ，30.02̇5
求分母是 31 的所有最简真分数的和是0.16̇ 的多少倍？
1 化成小数后，它的小数部分前 2008 位数字之和是多少吗？
13
2 化成小数后，它小数部分前 1000 位数字奇位数字之和与偶位数字之和的差是多少吗？
13
第二讲巧用单位“1”
一、课前热身
【课前练 1】
什么样的分数可以化成有限小数?
【课前练 2】
把!化成小数，求小数部分的第 100 位数字。
"
【课前练 3】
把0.36̇ 化成分数.
知识点睛
分率=部分量÷总量；部分量=总量×分率；总量=部分量÷分率
单位“1”的选择：
有两种量，知道了这两种量之间的分率关系，其中一种量发生了变化，另一种量没有发生变化，从而使这两种量的分率关系也发生变化，这种情况可以把不变的量看作单位“1”.
两种量都发生了变化，一种量增加，同时另一种量减少，但两种量的总和没有发生变化，可以把两种量的总和看作单位“1”.
比较复杂的相遇问题，可以把路程的若干倍看作单位“1”，解答起来会比较简便.
根据题目的具体情况，选择合适的量看作单位“1”，便于思考和解题.
二、新知探索
【例题 1】
某班学生中，男生人数是女生的#，这学期又转进一名男生，现在该班男生人数是女生
$
的$。问这个班原来共有多少名学生？
%
【例题 2】
有一包糖，奶糖的块数是水果糖的&，又放入 18 块水果糖后，奶糖的块数是水果糖的
!
!，两种糖原来共有多少块？ "
【例题 3】
小明在看一本小说，第一天，已看的页数是未看的&，第二天，他又看了 5 页，这时已
'
看的页数是未看的&。小明一共看了多少页？
"
【例题 4】
煤气收款员到一幢楼收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的
&，如果少收 2 户，则没交款的户数占已交款户数的&。问该幢楼有多少住户？
%$
【例题 5】
四个孩子为希望工程捐款，一共捐了 120 元．甲捐的钱数是其他三人捐款总数的&，乙
!
捐的钱数是其他三人捐款总数的&，丙捐的钱数是其他三人捐款总数的&，丁捐了多少元？
(#
【例题 6】
一辆军车从甲地出发开往乙地执行任务，每小时行 60 千米，当军车行了全程的&时，
!
为提前赶到乙地，剩下的路程每小时行 75 千米，那么，这辆军车从甲地到乙地的平均速度
是每小时多少千米？
【例题 7】
有两所学校，甲校比乙校多 50 人，甲校人数的(与乙校人数的!相等，两校共有多少
'$
人？
【例题 8】
乐乐文具店共运来毛笔和钢笔 13000 支，其中毛笔的(与钢笔的&的支数相等，乐乐文
"!
具店运来毛笔和钢笔各多少支？
【例题 9】
两车同时从甲、乙两地出发相向而行，当两车相遇后又继续前进，快车到达乙地后，
慢车到达甲地后都立即返回．两车再次相遇的地点距乙地 140 千米，已知慢车的速度是快
车的(，甲、乙两地之间相距多少千米？
$
【例题 10】
甲、乙两车同时分别从 A、B 两地出发，在 A、B 两地之间不断往返行驶.乙车的速度
是甲车速度的(，并且甲、乙两车第三次相遇地点距 A 地 120 千米．则 A、B 两地相距
#
千米.
【例题 11】
某行人沿 1 路公共汽车路线以一定的速度步行回家，沿途每隔 10 分钟就有一辆 1 路车
从后面超过他，而迎面每隔 6 分钟有一辆 1 路车驶来.如果 1 路公共汽车发车的间隔时间一
定，并以同一速度行驶，那么 1 路车每隔多少时间发车一辆？
第二讲课后作业
有一批苹果分给幼儿园大、小两个班的小朋友，平均每人可得 6 个；如果只分给大班小朋友，平均每人可得 10 个；如果只分给小班小朋友，平均每人可得 个.
小方从A 地到 B 地，先骑自行车行完全程的&，每小时行 15 千米。然后步行，每小时
(
行 4 千米.求小方全程平均每小时行多少千米？（得数保留一位小数）
一杯盐水，盐占盐水的&，再加入 18 克盐后，盐占盐水的&，则原来盐水有克.
$#
有甲、乙两根木棒插入水池中，两根木棒的长度和为 230 厘米，甲有(在水面外，乙有
$
&在水面外.则水有厘米深.
#
一天，有人问李林：”你奶奶活了多大岁数？“李林说：我在父亲 30 岁时出生，在我
的岁数是父亲岁数的!时奶奶去世，这时奶奶的岁数恰好等于我们父子年龄之和.”请
$
你算一算，李林的奶奶活了多大岁数.
甲、乙两个仓库存放一批化肥，甲仓库存放的化肥袋数是乙仓库的$·如果从乙仓库搬
"
出 10 袋化肥放进甲仓库，那么甲仓库存放的化肥袋数是乙仓库的#。那么甲仓库原来
$
有化肥 袋，乙仓库原来有化肥 袋.
甲、乙两车同时从 A、B 两地出发相向而行，当甲、乙两车相遇后又继续前进，甲到
达B 地后，乙到达 A 地后都立即返回．两车再次相遇的地点距 A 地 30 千米，已知乙
车的速度是甲车的!，求 A、B 两地之间的距离.
(
一、课前热身
【课前练 1】
比较大小：&!
&(
第三讲比较与估算
&& &!
【课前练 2】
在&" 、3.14、3 &中，第二小的数是？
$(
【课前练 3】
知识点睛
比较大小常用方法：
1.公式法：?! − ?! = (? − ?)(? + ?)
和一定差小积大；积一定差小和小
分数比较大小：通分母、同分子、相除法，划整法，作差法、倒数法，化为小数法，差等法，中间分数法
二、新知探索
模块一 比较
【例题 1】
下图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：平方厘米）.黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大？请说明理由。
【例题 2】
如果 X = 135679 × 975431,Y = 135678 × 975432,那么（）
A. X>YB. X【例题 3】
分数( , # , &" , &*& , &$&中最大的一个是？
" ) ($ !*( (*&
【例题 4】
【例题 5】
A、B、C 三队比赛篮球,A 队以 83 : 73 战胜 B 队,B 队以 88 : 79 战胜 C 队,C 队以 84 : 76 战胜 A 队，三队中得失分率最高的出线,一队得失分率为（得的总分/失的总分），如 A 队
得失分率为'(+"%，三队中（）队出线。
"(+'#
【例题 6】
将下面 4 个分数按从小到大的顺序依次排列起来，正确的顺序是：
【例题 7】
已知3 是个最简分数，并且" > 3 > 1，那么方框里的数可以有（）种不同得填法。
□)□5
知识点睛
估算常用方法：放缩法，“放”即放大，“缩”即缩小；通过适合的放大和缩小，缩小式子的取值范围。一般有首尾放缩和中项放缩两种。
模块二 估算
【例题 8】
A = 8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，A 的整数部分是
【例题 9】
【例题 10】
! ! ! !
已知：? = &，求S 的整数部分。
++⋯+
!"#$ !"#!!""$ !""!
【例题 11】
第三讲课后作业
找出一个比4大，比5小的分数。
56
这里有 5 个分数：2 , 5 , 5 , 10 , 12，如果按照大小顺序排列，排中间的数是？
3 8 23 17 19
将下列分数按从小到大顺序排列：
从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，所有分数中，最大的是 ，循环小数有个 。
5. 如果? = 111111110，? = 444444443，?与?哪个比较大？
222222221888888887
6.满足下式的括号里的数字有多少个自然数：& < $ < &
"( )(
7.在? = 20032003 × 2002和? = 20022003 × 2003，较大的数是 。
8.
第四讲新定义运算
一、课前热身
【课前练 1】
【课前练 2】
将下列乘式结果按从小到大排序：661×669，662×668，663×667，664×666，665×
665
【课前练 3】
知识点睛
新定义计算是用一个“新定义的运算符号”和运算表达式表示一种新的运算
新定义符号：以图形为主
新定义计算：根据规则把带有特殊符号的式子转化为普通四则运算
二、新知探索
【例题 1】
观察 5*2=5+55=60,7*4=7+77+777+7777=8638,推知 9*5 的值是
【例题 2】
设a*b 表示: + ; + &。计算:(1992*996)*（996*498）=
;:!
【例题 3】
!
如果规定:??: = ?? − ??，那么= (
%
"= = .
??
0.21#
$
【例题 4】
羊和狼在一起时,狼要吃掉羊所以关于羊和狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼:狼△狼=狼
以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示：
羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼
这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法规是从左到右,括号内先算运算的结果或是羊,或是狼。
求下列的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼）
【例题 5】
一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发,沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B 点,左图中的路线对应下面的算式 1-2+1+2+2-1+2+1=6.请在右图中用粗线画出对应于算式-2- 1+2+2+2+1+1+1 的路线.
【例题 6】
已知 A={1, 3, 5, 7},B={1, 4, 7},C={2, 5, 7, 8)}.规定：A∩B={1, 3, 5, 7} ∩{1,
4, 7}={1, 7} ; A∪B= {1, 3, 5, 7}∪{1, 4, 7} = {1, 3, 4, 5, 7} .
根据此规定可求得：（A∪C)∩B={｝。
【例题 7】
定义x☆y=3x+7y.(1☆1)+(2☆2)+(3☆3)+…+(10☆10)=
有时我们也需要根据给出的运算去反推新定义的规则哦！
【例题 8】
已知：10Δ3=14, 8Δ7=2, (Δ&=1,根据这几个算式找规律，如果$Δx=1,那么 x=
##'
【例题 9】
左下图是一个运算器的示意图,A、B 是输入的两个数据,C 是输出的结果.右下表是输入A、B 数据后,运算器输出 C 的对应值.请你据此判断,当输入 A 值是 1999,输入 B 值是 9 时, 运算器输出的 C 值是
【例题 10】
已知 A*B=AB+A+B,则 1*9*9*99*9（共 16 次运算）=
【例题 11】
一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为 S(n),为偶数的那些数字的和记为 E(n), 例如 S(134)=1+3=4，E(134)=4。
S (1)+S (2) +...+S (100) =
E (1)+E (2) +...+E (100) =
【例题 12】
规定:
1*2=0.1+0.2=0.3,
2*3=0.2+0.3+0.4=0.9,
5*4=0.5+0.6+0.7+0.8＝2.6,
如果 a*15=16. 5,那么 a 等于
【例题 13】
规定一种运算“~”：a~b 表示求 a,b 两个数的差，即 a,b 中较大的数减较小的数，例如
5~4=5-4=1, 1~4=4-1=3, 6~6=6-6=0,那么当 x= 时，y=(x~1)+(x~2)+（x~3)的值最
小．
【例题 14】
如果 a＝a×(a+1),a＝a×(a+1),···,那么 1＝
第四讲课后作业
1.“&”表示一种新的运算，规定 A&B=2A+3B，求 0.3&1.4.
2.如果规定:??: = ?? − ??，那么:126 : = 7.2，求?的值
???2.4
3.如果 2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知 x□3=5973，求 x。
4.已知 1∆3=1×2×3，6∆5=6×7×8×9×10，求 2∆5.
5.两个正数♀、♂满足：♀=♂×♂+2♂+1.例如：当♂=3 时，♀=3×3+2×3+1=16.那么，
当♀=36 时，♂= 。
6.如果 a※b=ab+a，若 x※5 比 5※x 大 100 时，x 是多少？
7.对于任意自然数，定义 n!=1×2×3××n。例如 3！=1×2×3=6，5！=1×2×3×
4×5=120.求：1！+2！+3！++100！的个位数字。
8.对于任意的两个自然数 a 和b，规定新运算*：a*b=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1），其中
a、b 表示自然数。(1)求 1*100 的值：
(2)已知 x*10=75，求 x 为多少？
(3)如果（x*3）*2=121，那么 x 等于儿？
第五讲长方体与正方体
一、课前热身
【课前练 1】
设a、b 都表示数，规定：a○b=6a-2b。试计算 3○4.
【课前练 2】
规定 a&b=3a-2b，如果 x&4=7。求 x 的值。
【课前练 3】
对于两个数 a 与b，规定 a※b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知 x※4=122，求 x。
知识点睛
1.长方体：由六个长方形围成的封闭立体图形叫做长方体
1)8 个顶点，6 个面，12 条棱
2)表面积=2×长×宽+2×长×高+2×高×宽
3)体积=长×宽×高
2.正方体：特殊的长方体，每个面都是正方形
8 个顶点，6 个面，12 条棱
表面积=6×边长×边长
体积=边长×边长×边长
3.切片问题：切一刀，多两面
二、新知探索
模块一 切片问题
【例题 1】
一个小正方体棱长是 3 厘米，这个小正方体的表面积与体积各是多少？爱琳把三个这样的小正方体拼成一个长方体，求这个长方体的表面积与体积。
【例题 2】
一个正方体形状的木块，棱长 1 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每
条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块。如图所示。那么，这 60 块长方体表面积的和是 平方米?
知识点睛
立体图形挖洞（洞为正方体或长方体）：
挖在角上：面积不变
挖在边上：增加 2 个面
挖在面上：增加 4 个面
棱上挖穿、面上挖穿等
【例题 3】
如图，有一个棱长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大
小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的棱长是
厘米?
【例题 4】
一个正方体木块，棱长是 15，从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、2、3、4、5、6、
7、8 的小正方体。则这个木块剩下部分的表面积最少是 。
知识点睛
三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形。一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
模块二 三视图
【例题 5】
回答下列各题。
（1）下列立体图形都是由若干个棱长为 1 的小正方体堆砌而成的（左 9 个，中间 19 个，
右 14 个），请分别画出它们的三视图，并求出表面积。
下列立体图形也都是由若干个棱长为 1 的小正方体堆砌而成的（左 17 个，右 13 个），请求出它们的表面积。注意这些立体图形与上一问中的立体图形有何不同，在计算时需要注意什么问题。
【例题 6】
一个由若干棱长为 1 的小正方体堆砌而成的立体图形，三视图如图，请你在俯视图的方格内，标上该位置的小正方体个数，并求出这个立体图形的体积是 。
【例题 7】
地上有一堆小立方体，从上面看时如左图所示，从前面看时中间图片所示，从左边看时如右图所示。请问∶这一堆立方体一共有 个?如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为 平方厘米?
【例题 8】
求下列各题
用一些棱长为 1 的小正方体码放成一个立体图形，主视图与俯视图如图所示，则这个立体图形的体积最大是 ，最小是 。
用若干棱长为 1 的正方体积木堆成一个几何体，这个几何体的主视图、俯视图和
左视图如图所示，问∶所堆的几何体的体积最大是 ，最小是 。
由一些小立方体堆叠成的立体图形，主视图和左视图如图所示，请问当这个立体
图形的体积取最小值时，其俯视图应当怎么画?
模块三 立体图形展开图
【例题 9】
把下面这个正方体展开之后，图（）的展开图是正确的。
A. B.
C. D.
【例题 10】
右图为左图中的正方体的展开图。左图中 M、N 分别是 FG、GH 的中点，CM、CN、MN 是三条线段，试在右图中画出这些线段。
【例题 11】
现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，用它做一个深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计），这个铁皮盒的容积最大是 立方厘米?
第五讲课后作业
某长方体形状房间，其长、宽、高分别是 5 米、4 米、3 米;若要给这个房间辅地砖，则需要铺 平方米的地砖;若要粉刷这个房间的墙壁和天花板，需要粉刷 平方米的墙面。
把一个棱长 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个长方体，已知长方体的长为 12 厘米，宽为4 厘米，那么它的高为 厘米。（不考虑损耗）
切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点 A，B，C 均是棱的中点，如图所示，现将
纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）。
B.
C.D.
由若干个大小相同的正方体木块堆成的立体图形的主视图（图 1）及俯视图（图 2）如图所示：但是现在知道这个俯视图图形可能被旋转、翻折过；请问：组成这个立体图形所用的小木块最多可能有 块。
如图，长方体的长、宽、高分别为 4 厘米，3 厘米，6 厘米，上下底面的两条对角线长度均为 5 厘米。沿着上底面的两条对角线以及平行于长、宽的两条线竖直切下去，分成的 8 块几何体的表面积总共是多少?
一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）。将这个长方体切成 12 个小长方体，这些小长方体的表面积之和为 600 平方分米。则这个大长方体的体积是 立方分米。
将 2015 个棱长为 1 的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小可能是多少?
第六讲操作问题
一、课前热身
【课前练 1】
如果正方体的棱长缩小到原来的&，那么它的体积缩小到原来的（）。
(
&
!"
&
)
& (
&
%
【课前练 2】
把一个棱长是 3 分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是
平方分米。
A.108B.96C.72D.54
【课前练 3】
下面图形中不能折叠成正方形的是（）。
A.B.C.
知识点睛
操作问题是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例
如，对任意一个自然数，是奇数就加 1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
操作问题不要一味地去“操作”，而要在操作中找到规律，找到解决问题的窍门。
二、新知探索
【例题 1】
向电脑输入汉字,每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字,将它
复制后粘贴到该页面,就得到 2 个字;再将这 2 个字复制后粘贴到该页面,就得到 4 个字。每
次复制和粘贴为 1 次操作,要使整个页面都排满五号字,至少需要操作多少次?
【例题 2】
黑板上写着 8，9，10，11，12，13，14 七个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减 1.例如，擦掉 9 和 13，要写上 21.经过几次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数 是 .
【例题 3】
口袋里装有 99 张小纸片，上面分别写着 1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是 .
【例题 4】
一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换，例如自然数 5636， 各位数字之和为 5+6+3+6=20，对 20 再作这样的变换得 2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数，变成一个一位数.对数 123456789101112…272829 作连续变换，最终得到的一位数是 .
【例题 5】
在一块长黑板上写着 450 位数 123456789123456789…（将 123456789 重复 50 次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是 .
【例题 6】
把写有 1,2,3,…，25 的 25 张卡片按顺序叠齐，写有 1 的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；…按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写的 是 .
【例题 7】
在黑板上写两个不同的自然数，擦去较大数，换成这两个数的差，我们称之为一次变换. 比如(15，40)，40-15=25，擦去 40，写上 25，两个数变成(15，25)，对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换，直到两个数变得相同为止，比如对(15，40)作这样的连续变换:(15， 40)，(15，25)，(15，10)，(5，10)，(5，5).
对(1024，111…1(20 个 1))作这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是 .
【例题 8】
对于任意一个自然数 n，当n 为奇数时，加上 121;当n 为偶数时，除以 2。这算一次操
作。现在对 231 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现 100?为什么?
【例题 9】
黑板上写着一个形如 777…77 的数,每次擦掉一个末位数,把前面的数乘以 3,然后再加上刚才擦掉的数字.对所得的新数继续这样操作下去,证明:最后必获得数 7。
【例题 10】
有 10 只茶杯，杯口都朝上摆在桌上。每次操作将其中任意 3 只茶杯同时翻转（杯口朝
上的翻成杯口朝下的，杯口朝下的翻成杯口朝上）。至少需要几次这样的操作，才能使这 10 只杯子全部变成杯口朝下？
【例题 11】
写出一个自然数 A,把 A 的十位数字与百位数字相加,再乘以个位数字,把所得之积的个位数字续写在A 的末尾,称为一次操作.如果开始时A=1999,对1999 进行一次操作得到19992， 再对 19992 进行一次操作得到 199926，如此进行下去直到得出一个 1999 位数为止，这个
1999 位数的各位数字之和是 .
【例题 12】
黑板上写有 1987 个数:1,2,3,…，1986，1987.任意擦去若干个数,并添上被擦去的这些数的和被 7 除的余数,称为一个操作.如果经过若干次这种操作,黑板上只剩下了两个数,一个是 987,那么,另一个数是 .
第六讲课后作业
一副扑克共 54 张,最上面的一张是红桃 K.如果每次把最上面的 4 张牌,移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过 次移动,红桃 K 才会出现在最上面.
对自然数 n,作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到一个一位数为止，现对 1,2,3…,1998 如此操作,最后得到的一位数是 7 的数一共有 个.
在 1,2,3,4,5,…,59,60 这 60 个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是 .
5 个自然数和为 100，对这 5 个自然数进行如下变换，找出一个最小数加上 2，找出一个最大数减 2.连续进行这种变换，直至 5 个数不发生变化为止，最后的 5 个数可能是
.
在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替换这个数,称为一次操作,那么最多经过 次操作,黑板上就会出现 2.
在圆周上写上数 1,2,4 然后在每两个相邻的数之间写上它们的和(于是共得到 6 个数:1,3,2,6,4,5)再重复这一过程 5 次,圆周上共出现 192 个数,则所有这些数的和是
.
甲盒中放有 1993 个白球和 1994 个黑球，乙盒中放有足够多个黑球.现在每次从甲盒中任取两球放在外面,但当被取出的两球同色时,需从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，便将其中的白球再放回甲盒，这样经过 3985 次取、放之后，甲盒中剩下几个球？各是什么颜色的球？
第七讲时针与分针
一、课前热身
【课前练 1】
有 9 个表面完全相同的零件，其中 8 个是一等品，只有一个是次品较轻。现在有一架天
平，最少几次就可保证将次品找到？怎么称？
【课前练 2】
对于 324 和 612，把第一个数加上 3，同时把第二个数减 3，这算一次操作，操作
次后两个数相等.
【课前练 3】
在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中。
问:填入的 81 个数字中,奇数多还是偶数多?
知识点睛
时钟类问题一般是研究时针和分针的相对运动的问题，其本质我们可以将其看
成环形跑道的行程问题。那么。对于时针和分针，路程我们可以用角度来衡量，比如运动一圈即路程为 360°。
时针 12 小时运动一圈 360°，则速度为：360÷（12×60）=0.5（度/分）
分针 1 小时运动一圈 360°，则速度为：360÷60=6（度/分）
二、新知探索
模块一 指针位置
我们都知道时针和分针始终是朝一个方向运动的，那么时钟问题是否都是追及问题呢? 请同学们通过接下来的学习，解决这个问题。
【例题 1】
6∶14 时，时针和分针夹角是 度?
【例题 2】
钟面上 5 时 45 分，时针与分针的夹角为（）。
A.97 度B.97.5 度C.98 度D.98.5 度
【例题 3】
五点分的时候，时针和分针会重合在一起?
【例题 4】
在 7 时与 8 时之间，时针与分针在什么时刻互相垂直?
【例题 5】
在下面的横线处填入正确的答案。
每过
分钟，两针会重合一次;一天（24 小时）内，两针会重合 次。
每过 分钟，两针会垂直一次;一天内，两针会垂直 次。
【例题 6】
爱琳晚上去超市买东西，到的时候是 7 点 24 分，买完出来的时候仍然是 7 点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同。请问∶爱琳出来的时候是 7 点 分。买东西一共花了 分钟。
【例题 7】
点多的某个时刻，数字 6 恰好在时针和分针的正中央，即两针的位置正好关于数字 6
对称，这时是 6 点多少分?
A. 26 9
13
B. 27 9
13
C. 28 9
13
D. 29 9
13
【例题 8】
点多的某个时刻，数字 6 恰好在时针和分针的正中央，即两针的位置正好关于数字 6
对称，这时是 7 点多少分?
A. 21 1 分B. 22 1 分C. 23 1 分D. 24 1 分
13131313
模块二 怪钟问题
怪钟问题与普通钟表问题不同，有自己独特的规律。请同学们通过接下来的学习，试着总结下怪钟问题的突破口。
【例题 9】
标准时钟每走 1 小时，毛毛的手表只走 59 分钟，10 点整毛毛将手表调准。
标准时钟 11 点整时，手表显示的时间是 点 分。
手表显示 11 点整时，标准时钟是 点 分（填带分数）。
【例题 10】
小枫在 1 月 1 日新闻联播开始时把自己的表调准，1 月 2 日 19∶00 新闻联播开始时发现自己的表显示为 18∶55，如果他 1 月 2 日看到自己的表到 19∶00 才开电视，那么他会错过 分钟新闻联播（填带分数）。
【例题 11】
有一台钟的时针和分针每过标准时间的 65 分钟就重合一次，那么这台钟每过标准时间
1 天就快 分钟（填带分数）。
第七讲课后作业
2 点到 3 点之间，在 2 点 分时，时针与分针成 180°。（请填写假分数）
4 时 分时，数字“4”在时针和分针的正中间。
九点多时候有两次时针和分针夹角为 60 度，这两次之间相隔多少分钟？
早上 6 点 20 分，贝贝开始晨跑；晨跑结束时仍是 6 点多，且分针与时针的夹角与开始
晨跑时相同。那么贝贝一共跑了多长时间?
小艾晚上 7 点把闹钟调准，设定第二天早上 7 点起床，结果闹钟响的晚了 10 分钟，让他迟到了，那么她应该把闹钟设在什么时间，才能恰好在标准时间 7 点响?
小艾的闹钟每走 1 小时，他的手表就过了 61 分钟，他的手表每走 1 小时，标准时间才走了 58 分钟。爱琳在下午 4 点把闹钟调准，并设定明天早上 7 点起床，那么闹钟响的时候实际是 点 分。
有两只坏表，标准时间显示过了一天时，第一只坏表显示只过了 23 小时;第一只坏表显
示过了一天时，第二只坏表显示过了 25 小时。那么：
第一只坏表显示过了一天时，标准时间显示过了多久？
标准时间显示过了一天时，第二只坏表显示过了多久？第二只坏表是快了还是慢
了?
第八讲风筝中的三角形
一、课前热身
【课前练 1】
6 时 45 分，钟面上的时针和分针所成的角是（）角。
A.锐B.直C.钝D.平
【课前练 2】
元元去伦敦游玩，到了大本钟。他到的时候刚好下午 3∶00，时针与分针垂直，那么他再等 ，就可以等到下一次时针与分针垂直。
A.一个小时B.半个小时C.大于一个小时D.大于半个小时
【课前练 3】
上午 9 点钟整的时候，时针与分针构成直角，那么下一次时针与分针构成直角的时间是
（）。
A.9 时32 ' 分B.10 时5 $ 分
&&&&
C.9 时 30 分D.10 时 5 分
知识点睛
①等高模型
②风筝模型（普通四边形）：
A
A
B
O
B
D
E
C
D
C
?△=>?：?△=>@ ：?△=?@ = ??：??：??
?△=>@ ：?△>?@ = ??：??
二、新知探索
模块一 三角形中的风筝模型
三角形当中很多时候并不存在完整的风筝，那么这时候我们该如何运用风筝模型来进行解题呢。请同学们通过接下来的学习，试着总结一下。
【例题 1】
四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交与 O 点，OA、OB、OC、OD 的长度分别为 1、2、3、4。
SADB ∶ SCDB = ∶ ， SADC ∶ SABC = ∶ 。
【例题 2】
四边形 ABCD 中，已知∠ABC 为直角,AB=5，BC=12，连接对角线 AC，BD，相交于点 O，
并且 AO=3，OC=10，△ABD 的面积为 18，求∶
△BCD 的面积；
BO∶OD。
【例题 3】
△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，则 AO∶OD= ；EO∶OC= 。
△ABC 中，D 是 BC 上的三等分点，E 是 AB 的中点，则 AO∶OD= ；
EO∶OC= 。
【例题 4】
△ABC 中，BF∶FC=3∶2，BD∶DA=2∶1，E 是 AC 上的中点，DE 与 AF 交于 O，则
AO∶OF= 。
模块二 正方形中的风筝模型
正方形当中我们也经常使用风筝模型，那么正方形当中的风筝模型和三角形相比有什么
区别呢？请同学们通过接下来的学习试着总结一下。
【例题 5】
如图，正方形 ABCD 中，DE=2AE，F 是 CD 中点，三角形 AEG 的面积是 1，则正方形 ABCD
的面积是 。
【例题 6】
如图，正方形 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点。其中 E 是 AB 中点，F 是 BC
上靠近C 的三等分点，G 是CD 上靠近D 点的四等分点。AF、EG 相交于点O，那么AO∶OF=
（请写出最简整数比）。
【例题 7】
如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点。AH=4HD，DG=3GC，
CF=2FB，BE=EA。EG、FH 相交于点 O，那么 EO∶OG= _（请写出最简整数比）
【例题 8】
如图，正方形 ABCD 的面积为 1，E、F 分别是 BC 和 CD 的中点，DE 与 BF 相交于 M 点，
DE 与 AF 相交于 N 点，那么阴影三角形 MFN 的面积是 。
【例题 9】
在面积为 360 的正方形 ABCD 中，E 是 AD 中点，H 是 FG 中点，且 DF=CG，那么三角形
AGH 的面积是 。
【例题 10】
等腰梯形 ABCD 的面积为 2014，BA=AD=DC，BC=2AD，DE 和 CF 都可以平分梯形面积，那么四块面积中最大块面积与最小块面积的差是 。
第八讲课后作业
如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已知△ADO 面积为 15，AO∶OC=3∶2，四边形 ABCD 的面积为 60。请你用上课所学的知识，分别求出三角形 ABD 与三角形 BCD 的面积，最后再求出三角形 OBC 的面积。
图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2
个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么三角形 ABE 的面积是 公顷。
三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，延长 BE 交 AC 于 F，那么 AF：FC=
： 。
如图，在三角形 ABC 中，AD：DB=1：2，BE：EC=1：1，AF：FC=1：1，已知三角形 ABC 的
面积是 168，则阴影部分面积是 。
如右图，已知正方形 ABCD 的面积为 60，E、F 分别是 AB、BC 的中点；阴影四边形 BFHG
的面积是 。
如右图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，E、F 分别是 BC、CD 的中点。求阴影部分
面积是 。
如图，正方形 ABCD 的面积是 1，CE=2BE，BF=2AF，DG=2CG。请求出：
三角形 CDE 的面积是 。
FH：HG= ： 。
四边形 BEHF 的面积= 。
第九讲工程问题
一、课前热身
【课前练 1】
如图，正方形 ABCD 的边长为 3，CE=CF=1，求 AG∶GE。
A. 9:2
B. 7:2
C. 9:5
D. 7:5
【课前练 2】
如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且A△&'( = (，那么
A△)'($
OC 的长是（）。
# (
$ (
" (
2
【课前练 3】
如下图所示，在正方形 ABCD 中，E 为线段 BC 中点，F 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，那么 DO∶OE=（）。
A. 2∶3
B. 3∶2
C. 3∶1
D. 1∶3
知识点睛
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题。工程问题三要素：工作总量，
工作时间，工效。
工作总量=1，工作总量=工效×时间
工效是单位时间完成的工作量，工效=工作量÷时间时间=工作量÷工效
二、新知探索
模块一 基础工程问题
工程问题当中我们接触了工效、时间、工程量等几个量，这几个量当中有些可以直接加减，有些不能直接加减。那么请同学们通过接下来的学习，试着总结一下哪些可以加减。
【例题 1】
甲、乙两队修一条公路，甲队单独修需要 28 天，乙队单独修需要 21 天，那么甲乙两队合修需要 天完成。
【例题 2】
一项工程，如果由甲工程队单独做，需要 40 天。如果甲乙两个工程队合作，需要 15 天， 那么如果只由乙工程队来做，需要 天。
【例题 3】
一件工作，甲、乙合做 12 天完成，甲 3 天可以完成全工程的五分之一，乙单独做
天完成。
【例题 4】
一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。现甲乙合作，中途甲请假 2 天，
乙请假若干天，从开工到完成任务共用了 16 天。那么乙请假 天。
【例题 5】
有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要 6 小时，乙需要 7 小时，丙需
要 14 小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮
乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲 小时，帮乙 小时。
模块二 多人轮替问题
多人轮替的问题当中，我们计算出结果之后，还应该注意什么问题。请同学们通过接下来的学习，试着总结一下。
【例题 6】
一份文件，如果甲抄 10 小时，乙抄 10 小时可以抄完;如果甲抄 8 小时，乙抄 13 小时也可以抄完。
若乙单独抄，多少小时可以抄完?
若乙先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成?
【例题 7】
规定两人轮流做一项工程，要求第一个人先做 1 个小时，第二个人接着做一个小时，然
后再由第一个人做 1 个小时，然后又由第二个人做 1 个小时，如此反复，做完为止。如果
甲、乙轮流做这项工程需要 9.8 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 9.6 小时，那乙单
独做这项工程需要 小时。
【例题 8】
一件工程按甲、乙、丙各一天的顺序工作，恰需要整天数工作完毕。如果按丙、甲、乙各一天的顺序工作，比原计划晚 0.5 天完成;如果按乙、丙、甲各一天的顺序工作，比原计
划晚 1 天完成。乙单独完成这件工作需要 30 天。甲、乙、丙同时做需要 天完成。
【例题 9】
公园水池每周需换一次水。水池有甲、乙、丙三根进水管。第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙...的顺序轮流打开 1 小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池。第二周他
按丙、甲、乙、丙、甲、乙...的顺序轮流打开 1 小时，灌满一池水比第一周少用了 15 分钟;
第三周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲...的顺序轮流打开 1 小时，灌满一池水比第一周多用
了 15 分钟。第四周他只打开甲管，灌满一池水用了 24 小时，第五周他打开甲管和乙管，那么灌满一池水需用 小时。
【例题 10】
一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入 18 吨水时， 水箱已满;若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是
甲管每分钟注水量的 2 倍。则该水箱最多可容纳吨水。
【例题 11】
某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天才能完成;如果由第一、三、五小队合干
需要 9 天才能完成;如果由第二、四、五小队合干需要 8 天才能完成;如果由第一、三、四小
队合干需要 18 天才能完成。那么这五个小队一起合干需要天才能完成这项工程。
第九讲课后作业
一项工程，甲队独做 15 天完成，乙队独做 12 天完成。现在甲、乙合作 4 天后，剩下的
工程由丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需 天完成。
甲、乙两队挖一条水渠。甲队单独挖要 8 天完成，乙队单独挖要 12 天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 3 天内挖完。甲队共挖了 天。
一件工程，甲、乙两人合作 8 天可以完成，乙、丙两人合作 6 天可以完成，丙、丁两人合作 12 天可以完成。那么甲、丁合作 天可以完成。
一项工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要 12 天，由丙单独做需要 36 天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天?
一件工作甲先做 6 小时，乙接着做 12 小时可以完成;甲先做 8 小时，乙接着做 6 小时也可以完成。如果甲做 3 小时后由乙接着做，还需要 小时完成。
搬运一个仓库的货物，甲需 10 小时，乙需 12 小时，丙需 15 小时。有同样的仓库 A 和B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了 小时，帮乙搬运了 小时。
一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 30 吨水时，水箱已满;如果只打开乙、丙两管，乙管注入 40 吨水时，水箱才满。已知乙管每分钟注水量是甲管的 1.5 倍，则该水箱注满时可容纳 吨水。
一项工程，甲单独做需要 6 小时完成，乙单独做需要 10 个小时完成，如果按甲、乙、
甲、乙……的顺序交替工作，每次工作时间为 1 小时，需要多少小时才能完成?
第十讲染色与覆盖问题
一、课前热身
【课前练 1】
一项工程，甲、乙合做 12 天完工，乙、丙合做 10 天完工，甲、丙合做 15 天完工.如果三人合做几天完工？
【课前练 2】
修一条路，甲、乙合修 8 天完成，乙、丙合修 6 天完成，甲、丙合修 12 天完成.现在三队合修几天完成？
【课前练 3】
有一水池，装有甲、乙两个注水管，下面装有丙管放水.池空时，单开甲管 5 分钟可注
满水池，单开乙管 10 分钟可注满水池．水池装满水后，单开丙管 15 分钟可将水放完．如果在水池空时，将甲、乙、丙三管齐开，2 分钟后关闭乙管，还要多少分钟可注满水池？
二、新知探索
知识点睛
染色问题
染色是分类的直观表现，这类问题的特点是知识点少，逻辑性强，技巧性强，其内部蕴藏着深刻的数学思想。解答染色问题，需要有缜密的思考能力和较强的分析能力，各种染色试题，它与我们经常使用的数学方法紧密联系，大体上有以下几种方法：奇偶分析、归纳法、抽屉原理、构造法、组合计数等.
染色方法
将对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色方法.常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和区域染色.
覆盖
对一个有若干行、若干列的方格网用某种形状的卡片按一定要求将其覆盖住。这类问题称为覆盖问题。覆盖问题通常分为两类：一是回答能不能覆盖的问题，另一类是有多少种不同的覆盖方法的问题.
【例题 1】
某地区管辖 7 个县，这 7 个县的位置如图所示，现要对该地图着色，要求任意相邻的两个县涂上不同的颜色.
用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色对该地图着色.
用红、黄、蓝、绿四种颜色对该地图着色。
用红、黄、蓝三种颜色对该地图着色，能否办到？如果能办到，给出涂色方案；如果不能办到，说明理由.
【例题 2】
用红、黄、蓝三种颜色涂一个正方体的六个面，如图（a）所示，两个面涂一种颜色， 那么共有几种涂法？
【例题 3】
如图，有 5 种不同的颜色分别给 A、B、C、D、E 染色，要求相邻两区域所染的颜色不同， 求共有多少种不同的染色方法？
【例题 4】
如图由 22 个 1×1 的小正方形拼成，能不能用若干个 2×1 的长方形将这个图形不重叠地全部覆盖？
【例题 5】
图中的 8×8 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用 31 个 2×1 骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
【例题 6】
有一次车展共 6×6=36 个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？
【例题 7】
五（1）班全班有 35 名学生，共分成 5 排，每排 7 人，每个座位的前后左右四个位置都
叫做它的邻座。如果要让这 35 名学生每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？
【例题 8】
如图(1)，对相邻的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作。经过若干次操作后由 1 变成图 2，则图 2 中A 处的数是多少？
【例题 9】
把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色.问：有无可能使得在同一直线上的红圆圈数都是奇数？请说明理由.
【例题 10】
用 1×1，2×2，3×3 的正方形纸板拼成一个 11×11 的大正方形，最少要用 1×1 的正方形纸板 个.
【例题 11】
圆上的 100 个点将该圆等分为 100 段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有 4 个红点是一个正方形的 4 个顶点，至少要染红 个点.
【例题 12】
现有写有 1，2，3，…，10 的卡片各两张，问能否将这些卡片排成一排使得两个 1 之间有一张卡片，两个 2 之间有两张卡片，两个 3 之间有三种卡片，…，两个 10 之间有 10 张卡片？
第十讲课后作业
最少要用 张形如 的卡片刚好可以摆放成一个正方形.
某班有 45 名同学按 9 行 5 列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座（前后左右）
上去，问这能否办到？
右图是某一套房子的平面图，共 12 个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？
中国象棋中，马走“日”字，车走横线或竖线，如右图是半张中国象棋盘，试回答：一
只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后一步跳回起点.正确答案是 .
能否用一个田字型纸片和 15 个 1×4 矩形纸片覆盖 8×8 棋盘？正确答案是 .
用 6 个 1×2 的长方形卡片覆盖 2×6 的长方形，共有 种不同的覆盖方法.
能否用 9 个 1×4 的长方形卡片拼成一个 6×6 的正方形？
正确答案是 .
8×8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2×2 的正方形和 9 个 4×1 的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由.