陕西省咸阳市高新一中2022-2023学年高三理科数学上学期第三次质量检测试题（Word版附解析）

咸阳市高新一中2023届高三第三次质量检测 数学理科

满分：150分  时间：120分钟

一、选择题，本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】，

.

故选：B.

3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

4. 函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种

【答案】C

【解析】

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.

【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

8. 已知曲线在点处切线方程为，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

9. “”是“”的（    ）条件．

A. 充要 B. 必要不充分

C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】由对数函数的性质，解不等式，根据充分条件和必要条件的关系，可得答案.

【详解】由，得，则“”是“”的充分不必要条件，

故选：C.

10. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

11. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．

【详解】是R的偶函数，．

，

又在(0，+∞)单调递减，

∴，

，故选C．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．

12. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. ______．

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和差正弦公式直接求解可得结果.

【详解】.

故答案为：.

14. 记为等差数列的前项和，若，则___________.

【答案】100

【解析】

【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

【详解】得

【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．

15. 函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数等价于在的方程根个数，解出方程可得答案．

【详解】函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数等价于在的方程根个数，即

解得或，，即函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数为个，

故答案为：

【点睛】本题考查函数的零点问题，考查三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想，属于中档题．

16. 已知，，则求= _____

【答案】

【解析】

【详解】，，.

.

三.解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

【详解】（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18. 的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，

由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.

故的取值范围是

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.

19. 如图，在三棱锥 中， ．

（1）求证： ．

（2）求平面和平面 夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取中点，易知、，根据线面垂直的判定及性质即可证结论；

（2）应用线面垂直的判定和性质证两两垂直，构建空间直角坐标系，求出面、面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

如图，取中点，

因为，所以，

又，所以，

由，面，

所以面，而面，

所以 ．

【小问2详解】

因为，，面，

所以面，而面，则，

又，则，故两两垂直，

以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．

则，故，，

易知：是平面 的一个法向量，

若为平面 的一个法向量，则，易知，

所以平面 和平面 夹角的余弦值为．

20. 已知椭圆两个焦点为，，椭圆上一点，满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆有不同交点，，且为坐标原点），求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意得：，，．从而写出椭圆方程即可；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得的范围，从而解决问题．

【详解】解：（1）由题意得：设，，则，

因为，所以

所以，，

又再椭圆上，所以，又

解得，．

椭圆方程为

（2）由，消去整理得

设，，，，所以，，，解得

则

，解得

．

【点晴】本小题主要考查椭圆的应用、向量的数量积的应用、不等式的解法等基础知识，解答的关键在于学生的运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．利用了常见方法即在直线与圆锥曲线相交时，联立直线的方程与圆锥曲线的方程，运用韦达定理结合整体代换设而不求的思想，在运用过程中且需注意，得到满足的不等式.

21. 已知函数．

（1）当时，试求在处的切线方程；

（2）当时，试求的单调区间；

（3）若在内有极值，试求的取值范围．

【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）求导，利用导数几何意义求解；（2）求导，研究导函数的取值情况即可求解；（3）问题等价于有解，求导后分析其取值情况即可．

试题解析：（1）当时，，，．方程为；（2）0，当时，对于，恒成立，所以，；，，所以单调增区间为，单调减区间为；（3）若在内有极值，则在内有解，令，，，设，，所以， 当时，恒成立，所以单调递减，又因为，又当时，，即在上的值域为，

所以当时， 有解．

设，则，，所以单调递减，

因为，，

所以在有唯一解，

所以有：

所以当时，在内有极值且唯一，当时，当时，恒成立，单调递增，不成立，综上，的取值范围为．

考点：导数的综合运用．

选做题：第22题，第23题

选作题：考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为.已知点Q是曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足，动点P的轨迹为C2.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.

【答案】（1），不包含点；（2）

【解析】

【分析】

（1）设P的极坐标为，Q的极坐标为，可得，，结合，可得到C2的极坐标方程，进而得到C2的直角坐标方程；

（2）设点B的极坐标为，由题可得|OA|＝2，，从而△AOB的面积，利用三角函数求最值即可.

【详解】（1）设P的极坐标为，Q的极坐标为，

则，，

由，即，则，

故C2的极坐标方程为，

展开得，则，

化为直角坐标方程为，

所以C2的直角坐标方程为，但不包含点.

（2）设点B的极坐标为，

由题设及（1）知|OA|＝2，

，

则△AOB的面积＝，

当时，S取得最大值.

所以△AOB面积的最大值为.

【点睛】本题考查极坐标方程的求法，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.

23. 设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；(2) .

【解析】

【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．

详解：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．