2023届陕西省咸阳市高新一中高三上第五次质量检测文科数学试题

咸阳市高新一中2023届高三第五次质量检测文科数学

满分: 150分

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 设集合，则（）

A. B. C. D.

2. 在复平面内，复数所对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 将函数的图象上所有的点向左平移个的单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）

A.B.C.D.

4. 若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）

A. B. C. D.

5. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）

A. B. C. D.

6. 直线被圆截得的弦长为（）

A. B. C. D.

7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）

A. B. C. D.

8.如图是甲、乙两个商场统计同一时间段各自每天的销售额（单位：万元）的茎叶图，假设销售额的中位数为，平均值为，则下列正确的是（）

A.B.

C.D.

9. 函数的图象在点处的切线斜率的最小值是（）

A. B. C. D.

10. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）

A.9 B.121 C.130 D.17021

11.函数且过定点，且角的终边过点，则的值为（）

A. B. C. D.

12. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13.己知向量，且，则__________．

14.已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率__________．

15.有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为__________．

16.设的内角所对边的长分别为．若，则__________．

三．解答题（本题共6小题，共 70 分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. ( 本题满分12分）已知数列满足，其中为的前项和，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．

18. ( 本题满分12分）在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：

（1）求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；

（2）老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下列联表：

请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．

附：，其中．

19. ( 本题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，，点是中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20. ( 本题满分12分）已知焦点在轴上的双曲线经过点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长．

21. ( 本题满分12分）设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

22(本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数），曲线（为参数，实数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点．当时，；当时，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值．

咸阳市高新一中2023届高三第五次质量检测文科数学

满分: 150分参考答案及解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1.  【答案】C

【解析】集合或．

又．

．

2.  【答案】A

【解析】复数．

所对应的点位于第一象限．

3.  【答案】B

【解析】将函数的图象上所有的点向左平移个的单位长度．

可得的图象．

再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）．

则所得图象的解析式为．

4.  【答案】C

【解析】设两个球的半径分别为．

根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为，．

两个球的表面积之比为．

．解得（舍负）．

因此，这两个球的体积之比为．

即两个球的体积之比为．

5.  【答案】D

【解析】双曲线的右焦点为．

即抛物线的焦点为．．．

6.  【答案】C

【解析】由，得．

所以圆的圆心坐标是，半径．

圆心到直线的距离为．

所以直线被圆截得的弦长为．

7.  【答案】C

【解析】依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示．

原几何体为四棱锥，且其底面积为，高为．

所以其体积．

所以．

8.  【答案】B

【解析】由已知中茎叶图可得，甲运动员的成绩分别为：．

故甲的中位数为．

平均数为．

乙运动员的成绩分别为：．

故乙的中位数是．

平均数为．

．

9.  【答案】D

【解析】由，得．

．

．

当且仅当，即时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．

10. 【答案】B

【解析】模拟执行程序，可得．

满足条件．

满足条件．

满足条件．

不满足条件，退出循环，输出的值为121．

11. 【答案】A

【解析】函数过定点，且角的终边过点．

．

．

．

12. 【答案】B

【解析】令，可得．

所以曲线与曲线有三个交点．

当时，曲线与曲线只有一个交点，不合乎题意．

当时，若使得曲线与曲线有三个交点．

则，解得．

二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13.【解析】因为向量，且．所以．解得．

14.【解析】由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为．双曲线的一条渐近线方程为：，即．据此可得：．则，椭圆的离心率．

15.【解析】乙丙丁所说为假甲拿4，甲乙所说为假丙拿1，甲所说为假乙拿2．故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3．

16.【解析】由正弦定理得．又，则．由余弦定理得．又．则．

三．解答题（本题共6小题，共 70 分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17.  【解析】（1）．

当时，可得．

当时，．

则，即，且．

故是以1为首项，2为公比的等比数列．

所以．

（2）由题意．

所以．

设的前项和为．

18.【解析】（1）平均值为．

8个指标中分数为4.93的指标有3个，故从8个指标中任选1个，指标分数为4.93的概率为．

（2）如图所示：

由于．

所以有的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．

19.【解析】（1）设为的中点．

是的中点．

．

．

．

四边形是平行四边形．

．

平面平面．

平面．

（2）是的中点．

．

，且与相交于．

平面．

．

平面．

点到平面的距离即为．

．

20.【解析】（1）设双曲线的方程为．

则，解得．

所以，双曲线的方程为．

（2）由（1）得双曲线的方程为．

设．

由，得．

．

．

故弦长为8．

21.【解析】（1）的定义域为．

当时，恒成立，

所以单调增区间为，无单调减区间．

当时，令，得．

令，得．

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由题设可得，即①恒成立．

令，得．

由（1）的结论可知，函数是增函数．

又因为．

所以函数的唯一零点（该零点就是的隐零点）．

当时，．

当时，．

所以.．

又．

所以且．

则．

由于①式等价于，故整数的最大值为2．

22.【解析】（Ⅰ）由曲线（为参数，实数）．

化为普通方程为，展开为：．

其极坐标方程为，即．

由题意可得当时，．

．

曲线（为参数，实数）．

化为普通方程为，展开可得极坐标方程为：．

由题意可得当时，．

．

（Ⅱ）由上一问可得的方程分别为．

．

．

的最大值为．

当时，时取到最大值．