2022-2023学年河北省石家庄市晋州市七年级(上)期中数学试卷(解析版)
展开2022-2023学年河北省石家庄市晋州市七年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本大题共16个小题,1~10小题,每小题3分;11~16小题,每小题3分,共42分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,在数轴上,点O表示原点,则点M表示的数可能为( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
2.﹣2的倒数的相反数是( )
A. B. C.2 D.﹣2
3.如图所示,∠AOB的大小可由量角器测得,则图中∠AOB的度数为( )
A.60° B.75° C.120° D.150°
4.如图所示,下列说法正确的是( )
A.∠ADE就是∠D
B.∠ABC可以用∠B表示
C.∠ABC和∠ACB是同一个角
D.∠BAC和∠DAE不是同一个角
5.如图所示,是一副三角尺,上边三角尺的三个角分别为45°,45°,90°,下边三角尺的三个角分别为30°,60°,90°,那么,在①15°,②55°,③75°,④105°中,可以用这副三角尺画出来的是( )
A.②④ B.①②④ C.②③④ D.①③④
6.下列运算正确的是( )
A.34.5°=34°5′ B.90°﹣23°45′=66°15′
C.12°34′×2=25°18′ D.24°24′=24.04°
7.下列计算结果最小的是( )
A.(﹣1﹣2)2 B.3×(﹣) C.﹣52÷(﹣5)3 D.(﹣1)2023
8.如表是某水库一周内水位高低的变化情况(相对于前一日,用正数记上升数,用负数记下降数),那么本周水位最低的是星期几( )
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
0.23
0.05
﹣0.31
﹣0.10
﹣0.15
﹣0.03
0.28
A.星期二 B.星期四 C.星期六 D.星期日
9.如图所示,∠AOD=∠BOC,若∠AOB=100°,∠COD=40°,则∠BOD的度数为( )
A.100° B.40° C.30° D.25°
10.如图所示,钟表上显示的时刻是10点10分,再过20分钟,时针与分针所成的角是( )
A.75° B.120° C.135° D.150°
11.若|3﹣x|与|y+1|的值互为相反数,则xy﹣(x+y)的值是( )
A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1
12.已知射线OC在∠AOB的内部,下列4个表述中:①∠AOC=∠AOB,②∠AOC=∠BOC,③∠AOB=2∠BOC,④∠AOC+∠BOC=∠AOB,能表示射线OC是∠AOB的角平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.若α是锐角,β是钝角,则计算(α+β)的结果可能是( )
A.15° B.36° C.60° D.75°
14.北京与莫斯科的时差为5小时,例如,北京时间16:00时,同一时刻的莫斯科时间是11:00,嘉嘉和淇淇分别在北京和莫斯科,二人相约在各自当地时间11:00~18:00范围内选择一个时刻开始通话,这个时刻可以是北京时间( )
A.12:00 B.15:00 C.17:00 D.19:00
15.若三个有理数a,b,c满足,则a,b,c的大小关系是( )
A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a
16.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,F(n)=5n+3;②当n为偶数时,F(n)=(其中,k是使F(n)为奇数的正整数),……,两种运算交替重复进行,例如,取n=20,则运算过程如图所示:
若n=3,则第2023次“F”运算的结果是( )
A.3 B.9 C.18 D.48
二、填空题(本大题共3个小题,每小题3分,共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分;19小题每空1分。请把答案写在题目中的横线上)
17.把一根绳子对折并拉直成线段AB,从点P处把AB剪断,若AP=3PB,且剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,则绳子的原长为 cm.
18.在算式3﹣|﹣2□4|中的“□”里,填入运算符号“+”,则算式的值为 ;在“□”里,填入运算符号 (在符号“+”“﹣”“×”“÷”中选择一个),可使算式的值最大.
19.有理数a≠1,我们把称为a的差倒数.如:3的差倒数是,﹣1的差倒数是,如果a1=2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,……,依此类推,那么a5= ,a6= ,a2023= .
三、解答题(本大题共7个小题,共69分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤)
20.(1)计算:﹣1×3+2×(1﹣4);
(2)计算:27÷(﹣3)2+9×[(﹣)].
21.已知:a是最大的负整数;b,c互为相反数;t的绝对值是1.
求a2﹣t+(b+c﹣1)2023﹣1的值.
22.(1)已知线段AB,按如下要求作图(尺规作图,不用写出作法):
反向延长线段AB到点C,使AC=3AB;再延长BA到点D,使BD=2AB.
(2)在(1)中所画的图中,点A是线段CD的中点吗?请予以判断,并简单说明理由.
(3)在(1)中所画的图中,若线段BC=8cm,请直接写出线段CD的长.
23.(1)比较大小(用“<”“>”或“=”填空).
①|+2|+|﹣3| |(+2)+(﹣3)|;
②|﹣2|+|﹣3| |(﹣2)+(﹣3)|;
③|0|+|﹣3| |0+(﹣3)|.
(2)在(1)的基础上,嘉淇又举出若干个例子,并归纳得出以下结论,请你补充完整:
①当a,b (填“同号”或“异号”)时,有|a|+|b|>|a+b|;
②当a,b (填“同号”或“异号”)时,有|a|+|b|=|a+b|;
③当a,b中至少有一个为0时,有|a|+|b| |a+b|.
总之,对于有理数a,b,有|a|+|b| |a+b|.
(3)根据上述结论,请你直接写出当|x|+2023=|x﹣2023|时,x的取值范围.
24.如图所示,已知∠AOB=20°,从点O出发的一条射线OC满足∠AOC=60°,OM是∠AOB的平分线,ON是∠AOC的平分线,请补全图形(画出符合题意的草图即可),并求出∠MON的大小.
25.如图所示,以直线AB上的一点O为端点,在直线AB的上方作射线OP,使∠BOP=68°,将一块直角三角尺(∠MON=90°)的直角顶点放在点O处,且直角三角尺在直线AB的上方.设∠BOM=n°(0<n<90).
(1)当n=30时,求∠PON的大小;
(2)当OP恰好平分∠MON时,求n的值;
(3)当n≠68时,嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值,淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值,且二人求得的定值相同,均为22°,老师说,要使两人的说法都正确,需要对n分别附加条件.请你补充这个条件:
当n满足 时,∠AON﹣∠POM=22°;
当n满足 时,∠AON+∠POM=22°.
26.规定:求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方.如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3).
类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2★3★,读作“2的星3次方”;把(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)★4★,读作“﹣3的星4次方”.
一般地,把记作a★n★(其中,a≠0,n≥3,n为整数),读作“a的星n次方”.
(1)直接写出计算结果:2★3★= ,(﹣3)★4★= ,(﹣)★5★= ;
(2)结合(1)中的运算,尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算,可以归纳如下:
一个非零有理数的星n(n≥3,n为整数)次方等于 (从以下四个选项中选择最合适的一个,填写序号即可).
①这个数的相反数的(n﹣2)次方;
②这个数的绝对值的(n﹣2)次方;
③这个数的倒数的(n﹣2)次方;
④这个数的(n﹣2)次方.
(3)关于“除方”运算,下列说法错误的是 ;
A.任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数;
B.对于任何不小于3正整数n,1★n★=1;
C.4★5★=5★4★;
D.负数的星5次方的结果是负数,负数的星6次方的结果是正数.
(4)结合上述探究结果,计算下式的值.
2×(﹣)★5★﹣(﹣3)★3★.
参考答案
一、选择题(本大题共16个小题,1~10小题,每小题3分;11~16小题,每小题3分,共42分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,在数轴上,点O表示原点,则点M表示的数可能为( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
【分析】根据点在数轴上的位置判断求解.
解:∵M在原点的左边,
∴M表示的数为负数,
故选:D.
【点评】本题考查了数轴,数和数轴上的点的关系是解题的关键.
2.﹣2的倒数的相反数是( )
A. B. C.2 D.﹣2
【分析】首先找到:﹣2的倒数是﹣,再找到﹣的相反数即可.
解:﹣2的倒数是﹣,﹣的相反数是,
故选:A.
【点评】此题主要考查了倒数与相反数的定义,关键是熟练掌握倒数的定义:乘积是1的两数互为倒数;相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
3.如图所示,∠AOB的大小可由量角器测得,则图中∠AOB的度数为( )
A.60° B.75° C.120° D.150°
【分析】由图形可直接得出.
解:由题意,可得∠AOB=120°,
故选:C.
【点评】本题主要考查了角的度量,量角器的使用方法,正确使用量角器是解题的关键.
4.如图所示,下列说法正确的是( )
A.∠ADE就是∠D
B.∠ABC可以用∠B表示
C.∠ABC和∠ACB是同一个角
D.∠BAC和∠DAE不是同一个角
【分析】根据角的定义一一判断即可.
解:A、错误.理由∠D在图中,不能明确表示哪一个角,必须由三个字母表示,本选项不符合题意.
B、∠ABC可以用∠B表示,正确,本选项符合题意.
C、∠ABC和∠ACB不是同一个角,本选项不符合题意.
D、∠BAC和∠DAE是同一个角,本选项不符合题意,
故选:B.
【点评】本题考查角的定义,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
5.如图所示,是一副三角尺,上边三角尺的三个角分别为45°,45°,90°,下边三角尺的三个角分别为30°,60°,90°,那么,在①15°,②55°,③75°,④105°中,可以用这副三角尺画出来的是( )
A.②④ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【分析】根据三角板的特点即可得出结论.
解:上边三角尺的三个角分别为45°,45°,90°,下边三角尺的三个角分别为30°,60°,90°,
∵45°﹣30°=15°,45°+30°=75°,45°+60°=105°,
∴用这副三角尺画出来的是:15°,75°,105°,
∴①③④正确.
故选:D.
【点评】本题考查的是角的计算,熟知一副三角板的特点是解题的关键.
6.下列运算正确的是( )
A.34.5°=34°5′ B.90°﹣23°45′=66°15′
C.12°34′×2=25°18′ D.24°24′=24.04°
【分析】根据1°=60′,1′=60″进行计算即可.
解:A、34.5°=34°30′,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、90°﹣23°45′=66°15′,原计算正确,故此选项符合题意;
C、12°34′×2=24°68′=25°8′,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、24°24′=24.4°,原计算错误,故此选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查了度分秒的换算,掌握1°=60′,1′=60″是解题的关键.
7.下列计算结果最小的是( )
A.(﹣1﹣2)2 B.3×(﹣) C.﹣52÷(﹣5)3 D.(﹣1)2023
【分析】各式计算得到结果,比较即可.
解:(﹣1﹣2)2=(﹣3)2=9,3×(﹣)=﹣3××=﹣,﹣52÷(﹣5)3=,(﹣1)2023=﹣1,
∵﹣<﹣1<<9,
∴计算结果最小的是3×(﹣).
故选:B.
【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8.如表是某水库一周内水位高低的变化情况(相对于前一日,用正数记上升数,用负数记下降数),那么本周水位最低的是星期几( )
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
0.23
0.05
﹣0.31
﹣0.10
﹣0.15
﹣0.03
0.28
A.星期二 B.星期四 C.星期六 D.星期日
【分析】设上周日水位为a米,求出本周每天水位,即可解答.
解:设上周日水位为a米,
则周一水位为(a+0.23)米,
周二水位为a+0.23+0.05=(a+0.28)米,
周三水位为a+0.28﹣0.31=(a﹣0.03)米,
周四水位为a﹣0.03﹣0.01=(a﹣0.04)米,
周五水位为a﹣0.04﹣0.15=(a﹣0.19)米,
周六水位为a﹣0.19﹣0.03=(a﹣0.22)米,
周日水位为a﹣0.22+0.28=(a+0.08)米,
可见,周六数值最小,故选C.
【点评】本题考查了有理数大小比较,将应用题转化为数学问题是解题的关键.
9.如图所示,∠AOD=∠BOC,若∠AOB=100°,∠COD=40°,则∠BOD的度数为( )
A.100° B.40° C.30° D.25°
【分析】由∠AOD=∠BOC可得∠BOD=∠AOC,即可求解.
解:∵∠AOD=∠BOC,
∴∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,
∴∠AOC=∠BOD,
∵∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD,
∴∠AOC+∠BOD=100°﹣40°=60°,
∴∠BOD=30°,
故选:C.
【点评】本题考查有关角的计算,关键是由∠AOD=∠BOC得到∠BOD=∠AOC.
10.如图所示,钟表上显示的时刻是10点10分,再过20分钟,时针与分针所成的角是( )
A.75° B.120° C.135° D.150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数,可得答案.
解:10点10分,再过20分钟就是10点30分,
30°×(4+)=135°,
故选:C.
【点评】本题考查了钟面角,确定时针与分针相距的份数是解题关键.
11.若|3﹣x|与|y+1|的值互为相反数,则xy﹣(x+y)的值是( )
A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1
【分析】根据非负数的性质可得方程3﹣x=0,y+1=0,据此可得x、y的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
解:∵|3﹣x|与|y+1|的值互为相反数,
∴|3﹣x|+|y+1|=0,
∵|3﹣x|≥0,|y+1|≥0,
∴3﹣x=0,y+1=0,
解得x=3,y=﹣1,
∴xy﹣(x+y)
=3×(﹣1)﹣(3﹣1)
=﹣3﹣2
=﹣5.
故选:B.
【点评】本题考查的是非负数的性质,熟知任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键.
12.已知射线OC在∠AOB的内部,下列4个表述中:①∠AOC=∠AOB,②∠AOC=∠BOC,③∠AOB=2∠BOC,④∠AOC+∠BOC=∠AOB,能表示射线OC是∠AOB的角平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据OC是∠AOB的角平分线,得出∠AOC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC(或2∠AOC),∠AOC(或∠BOC)=∠AOB.
解:①∵∠AOC=∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述正确.
②∵∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述正确;
③∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述正确;
④∵∠AOC+∠BOC=∠AOB,
∴假如∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°,符合上式,但是OC不是∠AOB的角平分线,此表述错误.
故选:C.
【点评】本题考查了角平分线的定义,注意:角平分线的表示方法,①OC是∠AOB的角平分线,②∠AOC=∠BOC,③∠AOB=2∠BOC(或2∠AOC),④∠AOC(或∠BOC)=∠AOB.
13.若α是锐角,β是钝角,则计算(α+β)的结果可能是( )
A.15° B.36° C.60° D.75°
【分析】根据α和β的范围,判断出(α+β)即可.
解:由题意可知,
0°<α<90°,
90°<β<180°,
∴90°<α+β<270°,
∴22.5°<(α+β)<54°,
故选:B.
【点评】本题考查角的计算,了解锐角和钝角的范围是解答本题的关键.
14.北京与莫斯科的时差为5小时,例如,北京时间16:00时,同一时刻的莫斯科时间是11:00,嘉嘉和淇淇分别在北京和莫斯科,二人相约在各自当地时间11:00~18:00范围内选择一个时刻开始通话,这个时刻可以是北京时间( )
A.12:00 B.15:00 C.17:00 D.19:00
【分析】分别求出莫斯科11:00~18:00时的北京时间,选出符合条件的值即可.
解:∵北京与莫斯科的时差为5小时,
∴莫斯科11:00时,北京时间为:11+5=16:00;
莫斯科18:00时,北京时间为:18+5=23:00.
∵二人相约在各自当地时间11:00~18:00,
∴这个时刻可以是北京时间17:00.
故选:C.
【点评】本题考查的是正数和负数,根据北京与莫斯科的时差为5小时得出斯科11:00~18:00时的北京时间是解答此题的关键.
15.若三个有理数a,b,c满足,则a,b,c的大小关系是( )
A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a
【分析】根据题意列出关于a,b,c的式子,再进行比较即可.
解:∵由题意得,a+1=b﹣2=c+3,
∴a=b﹣3=c+2,
∴c<a<b.
故选:A.
【点评】本题考查的是有理数的大小比较,熟知有理数比较大小的法则是解题的关键.
16.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,F(n)=5n+3;②当n为偶数时,F(n)=(其中,k是使F(n)为奇数的正整数),……,两种运算交替重复进行,例如,取n=20,则运算过程如图所示:
若n=3,则第2023次“F”运算的结果是( )
A.3 B.9 C.18 D.48
【分析】根据题意计算出“F”运算结果的循环性,然后得出结论即可.
解:根据题意知,第一次“F”运算的结果是:3×5+3=18;
第二次“F”运算的结果是:=9;
第三次“F”运算的结果是:9×5+3=48;
第四次“F”运算的结果是:=3;
……
∴“F”运算结果每四次一循环,
∵2023÷4=505……1,
∴第2023次“F”运算的结果是18,
故选:C.
【点评】本题主要考查数字的变化规律,熟练根据数字的变化得出“F”运算结果的循环性是解题的关键.
二、填空题(本大题共3个小题,每小题3分,共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分;19小题每空1分。请把答案写在题目中的横线上)
17.把一根绳子对折并拉直成线段AB,从点P处把AB剪断,若AP=3PB,且剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,则绳子的原长为 80或160 cm.
【分析】利用AP=3PB,可设BP=xcm,AP=3xcm,讨论:若一根绳子沿A点对折成线段AB,则剪断后的三段绳子中分别为6xcm,xcm,xcm,接着利用6x=60cm计算出x,然后计算8x得到绳子的原长;若一根绳子沿B点对折成线段AB,则剪断后的三段绳子中分别为3xcm,3xcm,2xcm,接着利用3x=60求出x,然后计计算8x得到绳子的原长.
解:可设BP=xcm,则AP=3xcm,
①当点A是绳子的对折点时,三段长为6xcm,xcm,xcm,
∵剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,
∴6x=60,
x=10,
∴AP=30cm,BP=10cm,
绳子的原长为2×(30+10)=80(cm);
②当点B是绳子的对折点时,
三段长为3xcm,3xcm,2xcm,
∵剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,
∴3x=60,
解得x=20,
∴AP=60cm,BP=20cm,
绳子的原长为2×(60+20)=160(cm).
综上所述,绳子的原长为80cm或160cm.
故答案为:80或160.
【点评】本题考查了两点间的距离:连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.平面上任意两点间都有一定距离,它指的是连接这两点的线段的长度.也考查了分类讨论思想的应用.
18.在算式3﹣|﹣2□4|中的“□”里,填入运算符号“+”,则算式的值为 1 ;在“□”里,填入运算符号 ÷ (在符号“+”“﹣”“×”“÷”中选择一个),可使算式的值最大.
【分析】将“+”代入题目中的式子,计算即可;再将“+”“﹣”“×”“÷”分别代入|﹣2□4|中,观察哪个值最小,就可以得到使得算式3﹣|﹣2□4|的值最大的运算符号.
解:算式3﹣|﹣2□4|中的“□”里,填入运算符号“+”,则算式的值为:
3﹣|﹣2+4|
=3﹣2
=1;
∵|﹣2+4|=2,|﹣2﹣4|=6,|﹣2×4|=8,|﹣2÷4|=,绝对值里的结果越小,原式的结果越大,
∴在“□”里,填入运算符号“÷”,可使算式的值最大;
故答案为:1;÷.
【点评】本题考查有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
19.有理数a≠1,我们把称为a的差倒数.如:3的差倒数是,﹣1的差倒数是,如果a1=2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,……,依此类推,那么a5= ﹣1 ,a6= ,a2023= 2 .
【分析】根据题意,可以写出这列数的前几项,从而可以发现数字的变化特点,然后即可得到a5,a6,a2021的值.
解:由题意可得,
a1=2,
a2==﹣1,
a3=,
a4==2,
a5==﹣1,
a6==,
…,
由上可得,这列数依次以2,﹣1,循环出现,
∵2023÷3=674……1,
∴a2023的值是2,
故答案为:﹣1,,2.
【点评】本题主要考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现数字的变化特点,求出相应项的值.
三、解答题(本大题共7个小题,共69分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤)
20.(1)计算:﹣1×3+2×(1﹣4);
(2)计算:27÷(﹣3)2+9×[(﹣)].
【分析】(1)先算括号内的式子,然后计算括号外的乘法,最后算加法即可;
(2)先算括号内的式子和乘方,再算括号外的乘除法,最后算加法即可.
解:(1)﹣1×3+2×(1﹣4)
=﹣1×3+2×(﹣3)
=﹣3+(﹣6)
=﹣9;
(2)27÷(﹣3)2+9×[(﹣)]
=27÷9+9×(﹣)
=3+(﹣1)
=2.
【点评】本题考查有理数的混合运算,熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键.
21.已知:a是最大的负整数;b,c互为相反数;t的绝对值是1.
求a2﹣t+(b+c﹣1)2023﹣1的值.
【分析】根据a是最大的负整数,b,c互为相反数,t的绝对值是1,可以得到a=﹣1,b+c=0,t=±1,然后代入所求式子计算即可.
解:∵a是最大的负整数,b,c互为相反数,t的绝对值是1,
∴a=﹣1,b+c=0,t=±1,
当t=1时,a2﹣t+(b+c﹣1)2023﹣1
=(﹣1)2﹣1+(0﹣1)2023﹣1
=1﹣1+(﹣1)2023﹣1
=1﹣1+(﹣1)﹣1
=﹣2;
当t=﹣1时,a2﹣t+(b+c﹣1)2023﹣1
=(﹣1)2﹣(﹣1)+(0﹣1)2023﹣1
=1+1+(﹣1)2023﹣1
=1+1+(﹣1)﹣1
=0;
由上可得,a2﹣t+(b+c﹣1)2023﹣1的值是﹣2或0.
【点评】本题考查有理数的混合运算,解答本题的关键是求出a=﹣1,b+c=0,t=±1,利用分类讨论的方法解答.
22.(1)已知线段AB,按如下要求作图(尺规作图,不用写出作法):
反向延长线段AB到点C,使AC=3AB;再延长BA到点D,使BD=2AB.
(2)在(1)中所画的图中,点A是线段CD的中点吗?请予以判断,并简单说明理由.
(3)在(1)中所画的图中,若线段BC=8cm,请直接写出线段CD的长.
【分析】(1)根据要求画出图形即可;
(2)根据中点的定义判断即可;
(3)根据CD=4AB,求解即可.
解:(1)图形如图所示:
(2)点A不是线段CD的中点.
理由:设AB=a,则AC=3a,AD=a,
∴AD≠AC,
∴点A不是CD的中点.
(3)设AB=mcm,则AC=3mcm,AD=mcm,CD=4mcm,
∵BC=2m=8cm,
∴m=4,
∴CD=4m=16cm.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,两点间距离,线段的中点等知识,解题关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
23.(1)比较大小(用“<”“>”或“=”填空).
①|+2|+|﹣3| > |(+2)+(﹣3)|;
②|﹣2|+|﹣3| = |(﹣2)+(﹣3)|;
③|0|+|﹣3| = |0+(﹣3)|.
(2)在(1)的基础上,嘉淇又举出若干个例子,并归纳得出以下结论,请你补充完整:
①当a,b 异号 (填“同号”或“异号”)时,有|a|+|b|>|a+b|;
②当a,b 同号 (填“同号”或“异号”)时,有|a|+|b|=|a+b|;
③当a,b中至少有一个为0时,有|a|+|b| = |a+b|.
总之,对于有理数a,b,有|a|+|b| ≥ |a+b|.
(3)根据上述结论,请你直接写出当|x|+2023=|x﹣2023|时,x的取值范围.
【分析】(1)计算,比较大小即可;
(2)观察(1)可得答案;
(3)根据(2)的结论可得答案.
解:(1)①|+2|+|﹣3|>|(+2)+(﹣3)|;
②|﹣2|+|﹣3|=|(﹣2)+(﹣3)|;
③|0|+|﹣3|=|0+(﹣3)|,
故答案为:①>,②=,③=;
(2)①当a,b异号时,有|a|+|b|>|a+b|;
②当a,b同号时,有|a|+|b|=|a+b|;
③当a,b中至少有一个为0时,有|a|+|b|=|a+b|.
总之,对于有理数a,b,有|a|+|b|≥|a+b|,
故答案为:①异号;②同号;③=;≥;
(3)由(2)可知,若|x|+2023=|x﹣2023|,则x≤0,
∴x的取值范围是x≤0.
【点评】本题考查有理数加法和有理数的绝对值,解题的关键是掌握相关概念和法则.
24.如图所示,已知∠AOB=20°,从点O出发的一条射线OC满足∠AOC=60°,OM是∠AOB的平分线,ON是∠AOC的平分线,请补全图形(画出符合题意的草图即可),并求出∠MON的大小.
【分析】根据题意画出图形,再根据角平分线的定义进行解答即可.
解:如图1所示,
∵∠AOB=20°,OM是∠AOB的平分线,
∴∠AOM=∠AOB=10°.
∵∠AOC=60°,ON是∠AOC的平分线,
∴∠AON=∠AOC=×60°=30°,
∴∠MON=∠AON﹣∠AOM=30°﹣10°=20°;
如图2所示,
∵∠AOB=20°,OM是∠AOB的平分线,
∴∠AOM=∠AOB=10°.
∵∠AOC=60°,ON是∠AOC的平分线,
∴∠AON=∠AOC=×60°=30°,
∴∠MON=∠AON+∠AOM=30°+10°=40°.
∴∠MON等于20°或40°.
【点评】本题考查的是角的计算和角平分线的定义,在解答此题时要注意进行分类讨论,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
25.如图所示,以直线AB上的一点O为端点,在直线AB的上方作射线OP,使∠BOP=68°,将一块直角三角尺(∠MON=90°)的直角顶点放在点O处,且直角三角尺在直线AB的上方.设∠BOM=n°(0<n<90).
(1)当n=30时,求∠PON的大小;
(2)当OP恰好平分∠MON时,求n的值;
(3)当n≠68时,嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值,淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值,且二人求得的定值相同,均为22°,老师说,要使两人的说法都正确,需要对n分别附加条件.请你补充这个条件:
当n满足 0<n<68 时,∠AON﹣∠POM=22°;
当n满足 68<n<90 时,∠AON+∠POM=22°.
【分析】(1)根据角的和差关系可得答案;
(2)根据角平分线的定义与角的和差关系可得答案;
(3)分两种情况:OM在OP的左侧和右侧时,根据角的和差关系可得结论.
解:(1)当n=30°时,∠BOM=30°,
∵∠POB=68°,
∴∠POM=68°﹣30°=38°,
∵∠MON=90°,
∴∠PON=90°﹣38°=52°;
(2)∵OP恰好平分∠MON,∠MON=90°,
∴∠POM=45°,
∵∠POB=68°,
∴n=68﹣45=23;
(3)当0<n<68时,如图1,∠AON﹣∠POM=22°,理由如下:
∵∠POB=68°,
∴∠POM=68°﹣n°,
∵∠MON=90°,
∴∠AON=180°﹣90°﹣n°=90°﹣n°,
∴∠AON﹣∠POM=(90°﹣n°)﹣(68°﹣n°)=22°;
当68<n<90时,如图2,理由如下:
∵∠POB=68°,
∴∠POM=n°﹣68°,
∵∠MON=90°,
∴∠AON=180°﹣90°﹣n°=90°﹣n°,
∴∠AON+∠POM=(90°﹣n°)+(n°﹣68°)=22°;
故答案为:0<n<68,68<n<90.
【点评】本题考查了角的和差,平角的定义,角平分线的定义,熟练掌握角的和与差关系,角平分线的定义的应用,分情况讨论是解题关键.
26.规定:求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方.如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3).
类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2★3★,读作“2的星3次方”;把(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)★4★,读作“﹣3的星4次方”.
一般地,把记作a★n★(其中,a≠0,n≥3,n为整数),读作“a的星n次方”.
(1)直接写出计算结果:2★3★= ,(﹣3)★4★= ,(﹣)★5★= ﹣64 ;
(2)结合(1)中的运算,尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算,可以归纳如下:
一个非零有理数的星n(n≥3,n为整数)次方等于 ③ (从以下四个选项中选择最合适的一个,填写序号即可).
①这个数的相反数的(n﹣2)次方;
②这个数的绝对值的(n﹣2)次方;
③这个数的倒数的(n﹣2)次方;
④这个数的(n﹣2)次方.
(3)关于“除方”运算,下列说法错误的是 C ;
A.任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数;
B.对于任何不小于3正整数n,1★n★=1;
C.4★5★=5★4★;
D.负数的星5次方的结果是负数,负数的星6次方的结果是正数.
(4)结合上述探究结果,计算下式的值.
2×(﹣)★5★﹣(﹣3)★3★.
【分析】(1)根据除方的运算进行求解即可;
(2)根据除方的运算,对运算进行总结即可;
(3)根据除方的运算进行分析即可;
(4)利用(2)的结果进行求解即可.
解:(1)2★3★
=2÷2÷2
=;
(﹣3)★4★
=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)
=;
(﹣)★5★
=(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)
=﹣64,
故答案为:;;﹣64;
(2)由题意得:
=
=()n﹣2,
则一个非零有理数的星n(n≥3,n为整数)次方等于这个数的倒数的(n﹣2)次方,
故答案为:③;
(3)A.任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数,故A说法正确;
B.对于任何不小于3正整数n,1★n★=1,故B说法正确;
C.4★5★=,
5★4★=,
故C说法错误;
D.负数的星5次方的结果是负数,负数的星6次方的结果是正数,故D说法正确.
故选:C;
(4)2×(﹣)★5★﹣(﹣3)★3★
=2×(﹣2)5﹣2﹣(﹣)3﹣2×3
=2×(﹣2)3﹣(﹣)×3
=2×(﹣8)+1
=﹣16+1
=﹣15.
【点评】本题主要考查数字的变化规律,有理数的混合运算,解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律.
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